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1.(教材P148练习T2原题呈现)如图,点D,E在$△ ABC$的底边BC上,$AB=AC,AD=AE$.求证:$BD=CE$.(利用等腰三角形“三线合一”证明)
答案
证明:过点 A 作 AF⊥BC 于点 F.
∵AB=AC,AD=AE,
∴BF=CF,DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF.
∴BD=CE.
∵AB=AC,AD=AE,
∴BF=CF,DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF.
∴BD=CE.
解析
【分析】
要证明BD=CE，题目要求利用等腰三角形“三线合一”求证，首先观察图形可知△ABC和△ADE是共顶点、底边共线的两个等腰三角形。我们可以过点A作BC的垂线，这条垂线同时是两个等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可分别得到BC和DE的中点，再利用等式的性质对线段作差，即可推出BD=CE。
【解析】
证明：过点A作AF⊥BC于点F。
∵AB=AC，AF⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得BF=CF。
∵AD=AE，AF⊥BC，同理可得DF=EF。
根据等式的性质，BF-DF=CF-EF，
即BD=CE。
【答案】
证明:过点 A 作 AF⊥BC 于点 F.
∵AB=AC,AD=AE,
∴BF=CF,DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF.
∴BD=CE.
【知识点】
等腰三角形“三线合一”；等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是抓住共顶点、底边共线的等腰三角形的特征，作公共底边上的高为辅助线，即可通过三线合一快速得到线段相等关系，再结合线段和差运算得证，能够帮助学生掌握“三线合一”的典型应用场景。
【难度系数】
0.8
要证明BD=CE，题目要求利用等腰三角形“三线合一”求证，首先观察图形可知△ABC和△ADE是共顶点、底边共线的两个等腰三角形。我们可以过点A作BC的垂线，这条垂线同时是两个等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可分别得到BC和DE的中点，再利用等式的性质对线段作差，即可推出BD=CE。
【解析】
证明：过点A作AF⊥BC于点F。
∵AB=AC，AF⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得BF=CF。
∵AD=AE，AF⊥BC，同理可得DF=EF。
根据等式的性质，BF-DF=CF-EF，
即BD=CE。
【答案】
证明:过点 A 作 AF⊥BC 于点 F.
∵AB=AC,AD=AE,
∴BF=CF,DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF.
∴BD=CE.
【知识点】
等腰三角形“三线合一”；等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是抓住共顶点、底边共线的等腰三角形的特征，作公共底边上的高为辅助线，即可通过三线合一快速得到线段相等关系，再结合线段和差运算得证，能够帮助学生掌握“三线合一”的典型应用场景。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ ABC$是等边三角形，D是AC的中点，延长BC至点E，使$CE=CD$，连接DE，作$DF⊥ BC$于点F，求证：$BF=EF$.
答案
证明:连接 BD.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵D 是 AC 的中点,
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠E+∠CDE=60°,
∴∠E=30°=∠DBE.
∴BD=DE.
∵DF⊥BE,
∴BF=EF.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵D 是 AC 的中点,
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠E+∠CDE=60°,
∴∠E=30°=∠DBE.
∴BD=DE.
∵DF⊥BE,
∴BF=EF.
解析
【分析】
要证BF=EF，已知DF⊥BE，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明△BDE是等腰三角形即BD=DE，进一步可转化为证明∠DBE=∠E。首先利用等边三角形的性质，结合D是AC中点，可求出∠DBE的度数；再根据CE=CD，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质求出∠E的度数，即可证明两角相等得到BD=DE，最后借助等腰三角形三线合一的性质即可得证。
【解析】
证明：连接BD。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵D是AC的中点，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E（等腰三角形等边对等角）。
又
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE=60°，
代入∠CDE=∠E可得2∠E=60°，即∠E=30°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=DE（等角对等边），即△BDE为等腰三角形。
∵DF⊥BE，根据等腰三角形三线合一的性质，DF是BE边上的中线，
∴BF=EF。
【答案】
证明:连接 BD.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵D 是 AC 的中点,
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠E+∠CDE=60°,
∴∠E=30°=∠DBE.
∴BD=DE.
∵DF⊥BE,
∴BF=EF.
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查特殊三角形性质的综合应用，解题关键是通过连接BD构造可推导角度的三角形，通过角度相等证明等腰，再利用三线合一得到线段相等的结论，这类题型要求熟练掌握特殊三角形的性质，学会根据待证结论逆向推导所需条件。
【难度系数】
0.65
要证BF=EF，已知DF⊥BE，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明△BDE是等腰三角形即BD=DE，进一步可转化为证明∠DBE=∠E。首先利用等边三角形的性质，结合D是AC中点，可求出∠DBE的度数；再根据CE=CD，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质求出∠E的度数，即可证明两角相等得到BD=DE，最后借助等腰三角形三线合一的性质即可得证。
【解析】
证明：连接BD。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵D是AC的中点，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E（等腰三角形等边对等角）。
又
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE=60°，
代入∠CDE=∠E可得2∠E=60°，即∠E=30°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=DE（等角对等边），即△BDE为等腰三角形。
∵DF⊥BE，根据等腰三角形三线合一的性质，DF是BE边上的中线，
∴BF=EF。
【答案】
证明:连接 BD.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵D 是 AC 的中点,
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠E+∠CDE=60°,
∴∠E=30°=∠DBE.
∴BD=DE.
∵DF⊥BE,
∴BF=EF.
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查特殊三角形性质的综合应用，解题关键是通过连接BD构造可推导角度的三角形，通过角度相等证明等腰，再利用三线合一得到线段相等的结论，这类题型要求熟练掌握特殊三角形的性质，学会根据待证结论逆向推导所需条件。
【难度系数】
0.65
3. 一题多解思维发散 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB=AC,CD\bot AB$ 于点 $D$。求证：$∠ BAC=2∠ DCB$。
答案
证明:过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,
∴∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠B=180°-∠AEB=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°.
∴∠DCB+∠B=180°-∠CDB=90°.
∴∠DCB=∠BAE.
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴∠BAC=2∠BAE.
∴∠BAC=2∠DCB. 另解:过点 A 作 AE 平分∠BAC,交 BC 于点 E,或取 BC 的中点 E,连接 AE,再结合等腰三角形的“三线合一”解题.
∴∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠B=180°-∠AEB=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°.
∴∠DCB+∠B=180°-∠CDB=90°.
∴∠DCB=∠BAE.
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴∠BAC=2∠BAE.
∴∠BAC=2∠DCB. 另解:过点 A 作 AE 平分∠BAC,交 BC 于点 E,或取 BC 的中点 E,连接 AE,再结合等腰三角形的“三线合一”解题.
解析
【分析】
要证明∠BAC=2∠DCB，可先将∠BAC拆分为两个相等的小角，只需证明其中一个小角等于∠DCB即可。首先利用等腰三角形的性质，通过作辅助线实现顶角的平分：过点A作AE⊥BC于E，结合等腰三角形三线合一可得AE平分∠BAC，即∠BAC=2∠BAE。再结合CD⊥AB、AE⊥BC的垂直条件，可知△CDB和△AEB均为直角三角形，二者有公共锐角∠B，根据直角三角形两锐角互余，可得∠BAE和∠DCB都与∠B互余，由同角的余角相等即可推出∠BAE=∠DCB，最终得到待证结论。也可通过作顶角角平分线、取底边中点连AE的方式，同样利用三线合一解题。
【解析】
证明：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠B=180°-∠AEB=90°。
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCB+∠B=180°-∠CDB=90°，
∴∠DCB=∠BAE。
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠BAC=2∠BAE，
∴∠BAC=2∠DCB。
（另解：过点A作AE平分∠BAC，交BC于点E，或取BC的中点E，连接AE，再结合等腰三角形的“三线合一”同样可证。）
【答案】
过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠B=180°-∠AEB=90°。
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCB+∠B=180°-∠CDB=90°，
∴∠DCB=∠BAE。
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴∠BAC=2∠BAE，
∴∠BAC=2∠DCB。
（其余证明方法合理即可）
【知识点】
等腰三角形三线合一、直角三角形两锐角互余、同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用，解题核心是合理利用“三线合一”作辅助线，将倍角证明问题转化为等角证明问题，也可以尝试不同的辅助线作法拓展解题思路，加深对等腰三角形性质的理解。
【难度系数】
0.7
要证明∠BAC=2∠DCB，可先将∠BAC拆分为两个相等的小角，只需证明其中一个小角等于∠DCB即可。首先利用等腰三角形的性质，通过作辅助线实现顶角的平分：过点A作AE⊥BC于E，结合等腰三角形三线合一可得AE平分∠BAC，即∠BAC=2∠BAE。再结合CD⊥AB、AE⊥BC的垂直条件，可知△CDB和△AEB均为直角三角形，二者有公共锐角∠B，根据直角三角形两锐角互余，可得∠BAE和∠DCB都与∠B互余，由同角的余角相等即可推出∠BAE=∠DCB，最终得到待证结论。也可通过作顶角角平分线、取底边中点连AE的方式，同样利用三线合一解题。
【解析】
证明：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠B=180°-∠AEB=90°。
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCB+∠B=180°-∠CDB=90°，
∴∠DCB=∠BAE。
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠BAC=2∠BAE，
∴∠BAC=2∠DCB。
（另解：过点A作AE平分∠BAC，交BC于点E，或取BC的中点E，连接AE，再结合等腰三角形的“三线合一”同样可证。）
【答案】
过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠B=180°-∠AEB=90°。
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCB+∠B=180°-∠CDB=90°，
∴∠DCB=∠BAE。
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴∠BAC=2∠BAE，
∴∠BAC=2∠DCB。
（其余证明方法合理即可）
【知识点】
等腰三角形三线合一、直角三角形两锐角互余、同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用，解题核心是合理利用“三线合一”作辅助线，将倍角证明问题转化为等角证明问题，也可以尝试不同的辅助线作法拓展解题思路，加深对等腰三角形性质的理解。
【难度系数】
0.7
4.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点A作AE⊥DE,AF⊥DF,垂足分别是E,F,且AE=AF.
求证:∠EDB=∠FDC.
求证:∠EDB=∠FDC.
答案
证明:连接 AD.
∵AB=AC,D 是 BC 的中点,
∴AD⊥BC.
∴∠ADB=∠ADC=90°. 在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中,
∵$\begin{cases} AD=AD, \\ AE=AF, \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴∠ADE=∠ADF.
∴∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF,即∠EDB=∠FDC.
∵AB=AC,D 是 BC 的中点,
∴AD⊥BC.
∴∠ADB=∠ADC=90°. 在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中,
∵$\begin{cases} AD=AD, \\ AE=AF, \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴∠ADE=∠ADF.
∴∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF,即∠EDB=∠FDC.
解析
【分析】
本题需结合等腰三角形性质与全等三角形的判定推导角相等。首先看到等腰三角形ABC底边中点D，优先作辅助线AD，利用等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°。要证∠EDB=∠FDC，可转化为证明二者的余角∠ADE和∠ADF相等；观察到∠ADE、∠ADF分别在Rt△AED和Rt△AFD中，已知AE=AF，AD为公共斜边，可通过HL判定两直角三角形全等得到∠ADE=∠ADF，最后通过等角的余角相等即可推出待证结论。
【解析】
1. 作辅助线：连接AD。
因为AB=AC，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，因此∠ADB=∠ADC=90°。
2. 证明三角形全等：
在Rt△AED和Rt△AFD中，斜边AD为公共边，直角边AE=AF，根据HL判定定理，可得Rt△AED≌Rt△AFD。
3. 推导角的等量关系：
由全等三角形对应角相等，得∠ADE=∠ADF。因为∠EDB=∠ADB-∠ADE，∠FDC=∠ADC-∠ADF，且∠ADB=∠ADC=90°，所以∠EDB=∠FDC。
【答案】
证明:连接 AD.
∵AB=AC,D 是 BC 的中点,
∴AD⊥BC.
∴∠ADB=∠ADC=90°. 在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中,
∵$\begin{cases} AD=AD, \\ AE=AF, \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴∠ADE=∠ADF.
∴∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF,即∠EDB=∠FDC.
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.直角三角形全等判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题关键是正确作出辅助线，灵活运用等腰三角形性质和全等三角形的判定、性质推导角的等量关系，侧重考察学生对基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
本题需结合等腰三角形性质与全等三角形的判定推导角相等。首先看到等腰三角形ABC底边中点D，优先作辅助线AD，利用等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°。要证∠EDB=∠FDC，可转化为证明二者的余角∠ADE和∠ADF相等；观察到∠ADE、∠ADF分别在Rt△AED和Rt△AFD中，已知AE=AF，AD为公共斜边，可通过HL判定两直角三角形全等得到∠ADE=∠ADF，最后通过等角的余角相等即可推出待证结论。
【解析】
1. 作辅助线：连接AD。
因为AB=AC，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，因此∠ADB=∠ADC=90°。
2. 证明三角形全等：
在Rt△AED和Rt△AFD中，斜边AD为公共边，直角边AE=AF，根据HL判定定理，可得Rt△AED≌Rt△AFD。
3. 推导角的等量关系：
由全等三角形对应角相等，得∠ADE=∠ADF。因为∠EDB=∠ADB-∠ADE，∠FDC=∠ADC-∠ADF，且∠ADB=∠ADC=90°，所以∠EDB=∠FDC。
【答案】
证明:连接 AD.
∵AB=AC,D 是 BC 的中点,
∴AD⊥BC.
∴∠ADB=∠ADC=90°. 在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中,
∵$\begin{cases} AD=AD, \\ AE=AF, \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴∠ADE=∠ADF.
∴∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF,即∠EDB=∠FDC.
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.直角三角形全等判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题关键是正确作出辅助线，灵活运用等腰三角形性质和全等三角形的判定、性质推导角的等量关系，侧重考察学生对基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线交BC于点E,交AB于点F,D为CE的中点,$BE=AC$.
(1)求证:$AD⊥ BC$;
(2)若$∠ BAC=75°$,求$∠ B$的度数.
(1)求证:$AD⊥ BC$;
(2)若$∠ BAC=75°$,求$∠ B$的度数.
答案
(1)证明:连接 AE.
∵EF 垂直平分 AB,
∴AE=BE.
∵BE=AC,
∴AE=AC.
∵D 为 CE 的中点,
∴AD⊥BC.
(2)解:
∵AE=BE,
∴∠BAE=∠B.
∴∠AEC=∠BAE+∠B=2∠B.
∵AE=AC,
∴∠C=∠AEC=2∠B. 在△ABC 中,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴75°+3∠B=180°.
∴∠B=35°.
∵EF 垂直平分 AB,
∴AE=BE.
∵BE=AC,
∴AE=AC.
∵D 为 CE 的中点,
∴AD⊥BC.
(2)解:
∵AE=BE,
∴∠BAE=∠B.
∴∠AEC=∠BAE+∠B=2∠B.
∵AE=AC,
∴∠C=∠AEC=2∠B. 在△ABC 中,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴75°+3∠B=180°.
∴∠B=35°.
解析
【分析】
(1) 要证明$AD⊥BC$，已知$D$是$CE$的中点，若能得到$△ AEC$是等腰三角形，即可用等腰三角形“三线合一”的性质证明结论。已知$EF$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接$AE$可得$AE=BE$，结合已知$BE=AC$可推出$AE=AC$，即$△ AEC$为等腰三角形，$D$是底边$CE$中点，即可得证$AD⊥BC$。
(2) 要求$∠ B$的度数，可利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角和内角和定理求解：由$AE=BE$可得$∠ BAE=∠ B$，进而推出$∠ AEC=2∠ B$；再由$AE=AC$得$∠ C=∠ AEC=2∠ B$，最后在$△ ABC$中利用内角和为$180°$，代入$∠ BAC=75°$即可列方程求出$∠ B$的度数。
【解析】
(1) 证明：连接$AE$.
$\because EF$垂直平分$AB$,
$\therefore AE=BE$.
$\because BE=AC$,
$\therefore AE=AC$.
$\because D$为$CE$的中点,
$\therefore AD⊥ BC$.
(2) 解:
$\because AE=BE$,
$\therefore ∠ BAE=∠ B$.
$\therefore ∠ AEC=∠ BAE+∠ B=2∠ B$.
$\because AE=AC$,
$\therefore ∠ C=∠ AEC=2∠ B$.
在$△ ABC$中,
$\because ∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$,
$\therefore 75°+3∠ B=180°$.
$\therefore ∠ B=35°$.
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{35°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线连接$AE$，灵活运用线段垂直平分线、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行推导，属于常考的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AD⊥BC$，已知$D$是$CE$的中点，若能得到$△ AEC$是等腰三角形，即可用等腰三角形“三线合一”的性质证明结论。已知$EF$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接$AE$可得$AE=BE$，结合已知$BE=AC$可推出$AE=AC$，即$△ AEC$为等腰三角形，$D$是底边$CE$中点，即可得证$AD⊥BC$。
(2) 要求$∠ B$的度数，可利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角和内角和定理求解：由$AE=BE$可得$∠ BAE=∠ B$，进而推出$∠ AEC=2∠ B$；再由$AE=AC$得$∠ C=∠ AEC=2∠ B$，最后在$△ ABC$中利用内角和为$180°$，代入$∠ BAC=75°$即可列方程求出$∠ B$的度数。
【解析】
(1) 证明：连接$AE$.
$\because EF$垂直平分$AB$,
$\therefore AE=BE$.
$\because BE=AC$,
$\therefore AE=AC$.
$\because D$为$CE$的中点,
$\therefore AD⊥ BC$.
(2) 解:
$\because AE=BE$,
$\therefore ∠ BAE=∠ B$.
$\therefore ∠ AEC=∠ BAE+∠ B=2∠ B$.
$\because AE=AC$,
$\therefore ∠ C=∠ AEC=2∠ B$.
在$△ ABC$中,
$\because ∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$,
$\therefore 75°+3∠ B=180°$.
$\therefore ∠ B=35°$.
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{35°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线连接$AE$，灵活运用线段垂直平分线、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行推导，属于常考的典型题型。
【难度系数】
0.7
