9.如图，$∠ ABC$的平分线$BF$，与$△ ABC$的外角$∠ ACG$的平分线相交于点$F$，过点$F$作$DF // BC$交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，若$BD=8$，$CE=6$，则$DE$的长为（）

A.4
B.2.5
C.2
D.1.5
（第9题图）
（第10题图）

9. C

【分析】
解决本题的核心是识别“角平分线+平行线”的等腰三角形构造模型：首先利用角平分线的定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等进行等量代换，得到两个等腰三角形，从而将已知的BD、CE转化为DF、EF的长度，最后通过线段的差计算DE的长度。
【解析】
解：
1. 证明△BDF为等腰三角形：
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠DBF = ∠CBF，
∵DF//BC，
∴∠DFB = ∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBF = ∠DFB，根据等角对等边，得DF = BD = 8。
2. 证明△CEF为等腰三角形：
∵CF是∠ACG的平分线，
∴∠ECF = ∠GCF，
∵DF//BC，
∴∠EFC = ∠GCF（两直线平行，内错角相等），
∴∠ECF = ∠EFC，根据等角对等边，得EF = CE = 6。
3. 计算DE的长度：
DE = DF - EF = 8 - 6 = 2。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题考查等腰三角形的判定与性质的综合应用，“角平分线+平行线得等腰三角形”是几何中非常常见的模型，熟练掌握该模型能快速解决这类线段长度计算问题。
【难度系数】
0.7

10.(2024－2025·淮南期末)如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有个.

10. 6

【分析】
要确定坐标轴上使△PAB为等腰三角形的点P的个数，需按等腰三角形的顶点不同分三类讨论：①以A为顶角顶点，AB为腰；②以B为顶角顶点，AB为腰；③以P为顶角顶点，AB为底边。每类分别在x轴、y轴上寻找符合条件的点，排除共线不能构成三角形的点和重复的点，最后统计总数即可。
【解析】
我们分三类讨论所有可能的情况：
1. 当AB为腰，A为顶角顶点（即AB=AP）：以点A为圆心，AB的长度为半径画圆，该圆与坐标轴的交点即为可能的P点：
与y轴交于2个点（y轴正半轴1个、负半轴1个）；
与x轴仅交于点B，此时P、A、B共线，无法构成三角形，舍去。
此情况共得到2个符合条件的点。
2. 当AB为腰，B为顶角顶点（即AB=BP）：以点B为圆心，AB的长度为半径画圆，该圆与坐标轴的交点即为可能的P点：
与x轴交于2个点（x轴正半轴1个、负半轴1个）；
与y轴仅交于点A，此时P、A、B共线，无法构成三角形，舍去。
此情况共得到2个符合条件的点。
3. 当AB为底边（即AP=BP）：作线段AB的垂直平分线，垂直平分线上的点到A、B的距离相等，该线与坐标轴的交点即为可能的P点：
垂直平分线与x轴交于1个点，与y轴交于1个点，均不与上述点重合，可构成等腰三角形。
此情况共得到2个符合条件的点。
综上，符合条件的点P总个数为2+2+2=6个。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型题型，解题核心是按照三种顶点情况分类讨论，注意排除三点共线的无效情况和重复计数的点，有效考查分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6

11.如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$，过线段$CD$上一点$E$作$EG // AD$，交$AC$于点$F$，交$BA$的延长线于点$G$。
(1)求证：$△ AFG$是等腰三角形；
(2)若$CE=EF$，$∠ BAC=80°$，求$∠ B$的度数。

11. (1)证明：$\because AD$平分$∠BAC, \therefore ∠BAD=∠CAD. \because EG// AD, \therefore ∠BAD=∠G, ∠CAD=∠AFG. \therefore ∠G=∠AFG. \therefore AF=AG. \therefore △AFG$是等腰三角形.
(2)解：$\because CE=EF, \therefore ∠CFE=∠C. \because ∠CFE=∠AFG=∠CAD, \therefore ∠C=∠CAD. \because ∠BAC=80°, AD$平分$∠BAC, \therefore ∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC=40°. \therefore ∠C=40°. \therefore ∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.$

【分析】
(1) 要证明△AFG是等腰三角形，需证明该三角形有两个内角相等。首先根据角平分线定义得到∠BAD=∠CAD，再结合EG//AD的平行线性质，分别推导出∠G和∠BAD相等、∠AFG和∠CAD相等，通过等量代换得到∠G=∠AFG即可完成证明。
(2) 已知CE=EF，根据等边对等角可得∠C=∠CFE，结合对顶角相等和第一问的角相等结论，可推出∠C=∠CAD；先由角平分线性质算出∠CAD的度数，再利用三角形内角和为180°，即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
∵EG//AD，
∴∠BAD=∠G（两直线平行，同位角相等），∠CAD=∠AFG（两直线平行，内错角相等）。
∴∠G=∠AFG，
∴AF=AG，
∴△AFG是等腰三角形。
(2) 解：
∵CE=EF，
∴∠CFE=∠C（等边对等角）。
∵∠CFE=∠AFG（对顶角相等），且由(1)知∠AFG=∠CAD，
∴∠C=∠CAD。
∵∠BAC=80°，AD平分∠BAC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°，
∴∠C=40°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-40°=60°。
【答案】
(1) △AFG是等腰三角形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠B=60°}$
【知识点】
等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础常考题，核心考察角的等量转化能力，解题关键是灵活运用角平分线、平行线、等腰三角形的性质关联不同角的关系，是等腰三角形判定板块的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.7

12.(教材 P153 习题 T12 变式)如图，$△ ABC$，$△ CDE$都是等边三角形，连接$AD$，$BE$相交于点$O$，$M$，$N$分别是线段$AD$，$BE$的中点。
(1)求证:$AD=BE$；
(2)求$∠ DOE$的度数；
(3)求证:$△ MNC$是等边三角形。

12. (1)证明：$\because △ABC, △CDE$都是等边三角形，$\therefore AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCE=60°. \therefore ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,$即$∠ACD=∠BCE.$在$△ACD$和$△BCE$中，$\because \begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases} \therefore △ACD≌ △BCE(\mathrm{SAS}). \therefore AD=BE.$
(2)解：$\because △ACD≌ △BCE, \therefore ∠ADC=∠BEC. \because$在等边三角形$DCE$中，$∠CED=∠CDE=60°, \therefore ∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠BEC+∠CDE+∠BED=∠CED+∠CDE=120°. \therefore ∠DOE=180°-(∠ADE+∠BED)=60°.$
(3)证明：$\because △ACD≌ △BCE, \therefore ∠CAD=∠CBE, AD=BE.$又$\because M,N$分别是线段$AD,BE$的中点，$\therefore AM=\frac{1}{2}AD, BN=\frac{1}{2}BE. \therefore AM=BN.$在$△ACM$和$△BCN$中，$\because \begin{cases} AC=BC, \\ ∠CAM=∠CBN, \\ AM=BN, \end{cases} \therefore △ACM≌ △BCN(\mathrm{SAS}). \therefore CM=CN, ∠ACM=∠BCN.$又$\because ∠ACB=60°, \therefore ∠ACM+∠MCB=60°. \therefore ∠BCN+∠MCB=60°. \therefore ∠MCN=60°. \therefore △MNC$是等边三角形.

【分析】
(1) 要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。本题中AD在△ACD中，BE在△BCE中，结合已知两个等边三角形的边相等、内角为60°，可推出∠ACD=∠BCE，满足SAS全等的条件，证得全等后即可得到AD=BE。
(2) 求∠DOE的度数，可利用三角形内角和定理，先求△DOE中另外两个内角的和。借助(1)的全等结论得到对应角相等，结合等边△CDE的内角为60°，进行角度转化即可求出∠ADE+∠BED的度数，进而算出∠DOE。
(3) 要证明△MNC是等边三角形，可先证它是等腰三角形，再证有一个内角是60°。结合(1)的全等结论得到对应边、对应角相等，再利用M、N是中点得到AM=BN，证△ACM≌△BCN，得到CM=CN，再推导得∠MCN=60°，即可判定△MNC为等边三角形。
【解析】
(1) 证明：$\because △ABC, △CDE$都是等边三角形，$\therefore AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCE=60°. \therefore ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,$即$∠ACD=∠BCE.$
在$△ACD$和$△BCE$中，$\because \begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases} \therefore △ACD≌ △BCE(\mathrm{SAS}). \therefore AD=BE.$
(2) 解：$\because △ACD≌ △BCE, \therefore ∠ADC=∠BEC. $
$\because$在等边三角形$DCE$中，$∠CED=∠CDE=60°, $
$\therefore ∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠BEC+∠CDE+∠BED=∠CED+∠CDE=120°. $
$\therefore ∠DOE=180°-(∠ADE+∠BED)=60°.$
(3) 证明：$\because △ACD≌ △BCE, \therefore ∠CAD=∠CBE, AD=BE.$
又$\because M,N$分别是线段$AD,BE$的中点，$\therefore AM=\frac{1}{2}AD, BN=\frac{1}{2}BE. \therefore AM=BN.$
在$△ACM$和$△BCN$中，$\because \begin{cases} AC=BC, \\ ∠CAM=∠CBN, \\ AM=BN, \end{cases} \therefore △ACM≌ △BCN(\mathrm{SAS}). $
$\therefore CM=CN, ∠ACM=∠BCN.$
又$\because ∠ACB=60°, \therefore ∠ACM+∠MCB=60°. \therefore ∠BCN+∠MCB=60°. \therefore ∠MCN=60°. $
$\therefore △MNC$是等边三角形.
【答案】
(1) AD=BE，得证；
(2) $\boldsymbol{∠DOE=60°}$；
(3) △MNC是等边三角形，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的经典综合题，设问层层递进，解题的核心是合理利用等边三角形的边角特性寻找全等条件，掌握角度和线段的等量转化技巧，有助于提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6