1.(2024－2025·无为期中)如图,在△ABC中,BE,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过点E作DF//BC交AB于点D,交AC于F点,若AB=6,AC=4,则△ADF的周长为 ()

A.6
B.7
C.8
D.10

（第1题图）
（第2题图）

1.D

【分析】
解题时先从已知条件入手：题目给出了角平分线和平行线两个关键条件，这两个条件结合可推导出等腰三角形，这是本题的突破口。我们可以先利用角平分线的定义和平行线的内错角相等的性质，推导得出两个等腰三角形，得到相等的线段，再将△ADF的周长中的线段进行等量替换，最终将周长转化为AB与AC的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE=∠CBE，
∵DF//BC，
∴∠DEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB（等角对等边）。
同理，
∵CE平分∠ACB，
∴∠FCE=∠BCE，
∵DF//BC，
∴∠FEC=∠BCE，
∴∠FCE=∠FEC，
∴FE=FC。
△ADF的周长 = AD + DF + AF，
又
∵DF = DE + EF，
∴周长 = AD + DE + EF + AF = AD + DB + FC + AF = (AD + DB) + (AF + FC) = AB + AC，
代入AB=6，AC=4，得周长=6+4=10。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线构造等腰三角形”模型的典型应用，无需单独求解各段边长，通过等量转换就能快速求出周长，掌握这类常见几何模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8

2.(2024－2025·阜阳期中)如图,在$△ ABC$中,$DE// BC$,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线分别交$DE$于点$G$,$F$,$BG$,$CF$相交于点$O$.
(1)若$∠ A＝50°$,则$∠ BOC$的度数为________;
(2)若$FG＝5$,$ED＝8$,则$EB＋DC$的值为________.

2.(1)115° (2)13

【分析】
(1) 求∠BOC的度数时，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线的性质得到△BOC中两个底角的和，最后再次用三角形内角和即可算出∠BOC的度数。
(2) 求EB+DC的值时，先根据平行线的内错角相等、角平分线的定义，推出△EBG和△DFC均为等腰三角形，得到EB=EG、DC=DF，再通过线段的和差关系转化计算即可得到结果。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=50°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 130° = 65°$
在△BOC中，$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 65° = 115°$
(2)
∵DE//BC
∴∠GBC=∠EGB，∠FCB=∠DFC（两直线平行，内错角相等）
又
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB
∴∠ABG=∠GBC，∠ACF=∠FCB
∴∠ABG=∠EGB，∠ACF=∠DFC
∴EB=EG，DC=DF（等角对等边）
∴$EB + DC = EG + DF$
∵$EG = EF + FG$，$DF = FG + GD$
∴$EG + DF = EF + FG + FG + GD = (EF + FG + GD) + FG = ED + FG$
将FG=5，ED=8代入得：$EB + DC = 8 + 5 = 13$
【答案】
(1)$115°$ (2)13
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题是基础综合题，将角平分线、平行线、等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推导等腰三角形，熟悉相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3. 一题多解 思维发散 如图,在$△ ABC$中,$CA=CB$,点$D$在$AC$的延长线上,点$E$在$BC$上,且$CD=CE$,求证:$DE⊥ AB$.
证法一:过点$D$作$DM// AB$,交$BC$的延长线于点$M$.(请将证明过程补充完整)

证法二:过点$B$作$BN// DE$,交$AC$的延长线于点$N$.(请将证明过程补充完整)

思考:本题还有多种作底的平行线构造等腰三角形 解题的方法,也可用等腰三角形的“三线合一”作辅 助线解题,跟同学们交流一下吧.

3.证法一:证明:$\because CA=CB,\therefore ∠ A=∠ B.\because DM// AB,$$\therefore ∠ CDM=∠ A,∠ M=∠ B.\therefore ∠ CDM=∠ M.\because CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ CED.$$\because ∠ CDM+∠ M+∠ CDE+∠ CED=180^{\circ },\therefore ∠ CDM+∠ CDE=90^{\circ }$,即$∠ EDM=90^{\circ }.$$\therefore DE\bot DM.\because DM// AB,\therefore DE\bot AB.$
证法二:证明:$\because CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ CED.$$\because BN// DE,\therefore ∠ N=∠ CDE,∠ CBN=∠ CED.\therefore ∠ CBN=∠ N.\because CA=CB,$$\therefore ∠ A=∠ ABC.\because ∠ A+∠ ABC+∠ CBN+∠ N=180^{\circ },\therefore ∠ ABC+∠ CBN=90^{\circ }$,即$∠ ABN=90^{\circ }.\therefore BN\bot AB.\because BN// DE,\therefore DE\bot AB.$

【分析】
要证明$DE⊥AB$，可通过平行线传递垂直关系，或直接证明夹角为$90°$。证法一：作$DM// AB$后，先利用等腰$△ ABC$等边对等角得$∠ A=∠ B$，再由平行线同位角相等将$∠ A、∠ B$转化到$△ CDM$中，得到$△ CDM$为等腰三角形，结合$△ CDE$的等腰性质，利用三角形内角和推出$∠ EDM=90°$，即$DE⊥ DM$，最后由平行线性质得到$DE⊥ AB$。证法二：作$BN// DE$后，先由等腰$△ CDE$等边对等角得$∠ CDE=∠ CED$，再由平行线同位角相等将两角转化到$△ CBN$中，得到$△ CBN$为等腰三角形，结合等腰$△ ABC$的角的关系，利用三角形内角和推出$∠ ABN=90°$，即$BN⊥ AB$，最后由平行线性质得到$DE⊥ AB$。
【解析】
证法一：
证明：$\because CA=CB,\therefore ∠ A=∠ B$。
$\because DM// AB$，$\therefore ∠ CDM=∠ A,∠ M=∠ B$，$\therefore ∠ CDM=∠ M$。
$\because CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ CED$。
$\because ∠ CDM+∠ M+∠ CDE+∠ CED=180^{\circ }$，$\therefore 2(∠ CDM+∠ CDE)=180°$，即$∠ CDM+∠ CDE=90^{\circ }$，也就是$∠ EDM=90^{\circ }$。
$\therefore DE\bot DM$。
$\because DM// AB,\therefore DE\bot AB$。
证法二：
证明：$\because CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ CED$。
$\because BN// DE,\therefore ∠ N=∠ CDE,∠ CBN=∠ CED$，$\therefore ∠ CBN=∠ N$。
$\because CA=CB,\therefore ∠ A=∠ ABC$。
$\because ∠ A+∠ ABC+∠ CBN+∠ N=180^{\circ }$，$\therefore 2(∠ ABC+∠ CBN)=180°$，即$∠ ABC+∠ CBN=90^{\circ }$，也就是$∠ ABN=90^{\circ }$。
$\therefore BN\bot AB$。
$\because BN// DE,\therefore DE\bot AB$。
【答案】
证明过程见上述解析，最终可证得$DE⊥ AB$。
【知识点】
等腰三角形性质、平行线的性质、垂直的判定
【点评】
本题通过构造平行线得到新的等腰三角形，将待证的垂直关系转化为平行线间的垂直传递，体现了几何证明中的转化思想，可通过多种辅助线作法拓展解题思路，加深对等腰三角形、平行线性质的应用理解。
【难度系数】
0.6