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4.如图,在△ABC中,AB=AC,E为AB上的一点,F是AC延长线上一点,连接EF,交BC于点D.若DE=DF,求证:BE=CF.
答案
4.证明:过点 E 作 $EG// AC$,交BC 于点 G,则$∠ BGE=∠ ACB,∠ GED=∠ F.\because AB=AC,\therefore ∠ ACB=∠ B.\therefore ∠ B=$$∠ BGE.\therefore BE=EG$. 在$△ GDE$和$△ CDF$中,$\because \begin{cases} ∠ GED=∠ F,\\ DE=DF,\\ ∠ EDG=∠ FDC,\end{cases}$$\therefore △ GDE≌ △ CDF$(ASA).$\therefore EG=CF.\therefore BE=CF.$
解析
【分析】
要证明BE=CF，两条线段不存在直接的等量关联，结合已知DE=DF、AB=AC的条件，可通过作辅助线构造全等三角形推导：过点E作AC的平行线，既能利用平行线的性质得到相等的角，结合等腰△ABC底角相等的性质推出BE=EG，又能得到△GDE和△CDF全等的条件，将CF转化为EG，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：过点E作 $EG// AC$，交BC于点G，
则$∠ BGE=∠ ACB$，$∠ GED=∠ F$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ACB=∠ B$，
$\therefore ∠ B=∠ BGE$，$\therefore BE=EG$。
在$△ GDE$和$△ CDF$中，
$\because \begin{cases} ∠ GED=∠ F,\\ DE=DF,\\ ∠ EDG=∠ FDC,\end{cases}$
$\therefore △ GDE≌ △ CDF$(ASA)，
$\therefore EG=CF$，
$\therefore BE=CF$。
【答案】
$BE=CF$
【知识点】
1.等腰三角形的性质与判定
2.全等三角形的判定与性质
3.平行线的性质
【点评】
本题是几何常见的线段相等证明题，通过作平行线构造全等三角形和等腰三角形实现线段的等量转化是解题的核心，这类构造辅助线的方法在几何证明中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明BE=CF，两条线段不存在直接的等量关联，结合已知DE=DF、AB=AC的条件，可通过作辅助线构造全等三角形推导：过点E作AC的平行线，既能利用平行线的性质得到相等的角，结合等腰△ABC底角相等的性质推出BE=EG，又能得到△GDE和△CDF全等的条件，将CF转化为EG，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：过点E作 $EG// AC$，交BC于点G，
则$∠ BGE=∠ ACB$，$∠ GED=∠ F$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ACB=∠ B$，
$\therefore ∠ B=∠ BGE$，$\therefore BE=EG$。
在$△ GDE$和$△ CDF$中，
$\because \begin{cases} ∠ GED=∠ F,\\ DE=DF,\\ ∠ EDG=∠ FDC,\end{cases}$
$\therefore △ GDE≌ △ CDF$(ASA)，
$\therefore EG=CF$，
$\therefore BE=CF$。
【答案】
$BE=CF$
【知识点】
1.等腰三角形的性质与判定
2.全等三角形的判定与性质
3.平行线的性质
【点评】
本题是几何常见的线段相等证明题，通过作平行线构造全等三角形和等腰三角形实现线段的等量转化是解题的核心，这类构造辅助线的方法在几何证明中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
5.如图，在$△ ABC$中，$AB＜ BC$，$BP$平分$∠ ABC$，$AP ⊥ BP$于点$P$，连接$PC$。若$△ ABC$的面积为4，则$△ BPC$的面积为
（第5题图）
（第6题图）
2
。（第5题图）
（第6题图）
答案
5.2
解析
【分析】
遇到角平分线与角边上的高线组合的图形，首先考虑构造全等三角形：延长AP交BC于点D，利用BP是角平分线、AP⊥BP的条件，可证△ABP和△DBP全等，得到AP=PD，即P是AD中点。再根据等底同高的三角形面积相等，可推出△BPC的面积是△ABC面积的一半，代入数值即可求解。
【解析】
延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP = ∠DBP。
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB = ∠DPB = 90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP = ∠DBP \\BP = BP \\∠APB = ∠DPB\end{array} $
∴ △ABP ≌ △DBP（ASA），
∴ AP = DP。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABP} = S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP} = S_{△ DCP}$。
∴ $S_{△ BPC} = S_{△ DBP} + S_{△ DCP} = \frac{1}{2}(S_{△ ABD} + S_{△ ACD}) = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ $S_{△ ABC}=4$，
∴ $S_{△ BPC} = \frac{1}{2}×4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是构造等腰三角形解题的典型题型，解题的核心是掌握“角平分线+垂线”类题型的辅助线做法，通过延长垂线构造全等三角形得到线段中点，再结合面积的和差关系即可快速求出结果，熟练掌握这类辅助线的构造技巧能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线与角边上的高线组合的图形，首先考虑构造全等三角形：延长AP交BC于点D，利用BP是角平分线、AP⊥BP的条件，可证△ABP和△DBP全等，得到AP=PD，即P是AD中点。再根据等底同高的三角形面积相等，可推出△BPC的面积是△ABC面积的一半，代入数值即可求解。
【解析】
延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP = ∠DBP。
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB = ∠DPB = 90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP = ∠DBP \\BP = BP \\∠APB = ∠DPB\end{array} $
∴ △ABP ≌ △DBP（ASA），
∴ AP = DP。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABP} = S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP} = S_{△ DCP}$。
∴ $S_{△ BPC} = S_{△ DBP} + S_{△ DCP} = \frac{1}{2}(S_{△ ABD} + S_{△ ACD}) = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ $S_{△ ABC}=4$，
∴ $S_{△ BPC} = \frac{1}{2}×4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是构造等腰三角形解题的典型题型，解题的核心是掌握“角平分线+垂线”类题型的辅助线做法，通过延长垂线构造全等三角形得到线段中点，再结合面积的和差关系即可快速求出结果，熟练掌握这类辅助线的构造技巧能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD=∠A。若BD=1，BC=3，则AC的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
6.D
解析
【分析】
遇到角平分线与高线重合的特征时，可通过延长线段构造等腰三角形简化计算。本题中CD平分∠ACB且CD⊥BD，我们可以延长BD交AC于点E，先通过全等证明△CBE是等腰三角形，得到CE与BC相等、BD与DE相等，再结合∠ABD=∠A得出AE与BE相等，最后将AE和CE相加即可得到AC的长度。
【解析】
延长BD交AC于点E。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠BCD=∠ECD。
∵ BD⊥CD，
∴ ∠CDB=∠CDE=90°。
在△BCD和△ECD中：
$\{\begin{array}{l}∠ BCD=∠ ECD \\CD=CD \\∠ CDB=∠ CDE\end{array} $
∴ △BCD≌△ECD（ASA）。
∴ CE=BC=3，BD=DE=1，因此BE=BD+DE=2。
又
∵ ∠ABD=∠A，
∴ AE=BE=2（等角对等边）。
∴ AC=AE+CE=2+3=5。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何中等难度题型，核心考查“角平分线+垂线构造等腰三角形”这一常见辅助线技巧，需要学生熟练掌握全等三角形、等腰三角形的相关性质，将已知线段长度转化到待求线段上完成求解。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线与高线重合的特征时，可通过延长线段构造等腰三角形简化计算。本题中CD平分∠ACB且CD⊥BD，我们可以延长BD交AC于点E，先通过全等证明△CBE是等腰三角形，得到CE与BC相等、BD与DE相等，再结合∠ABD=∠A得出AE与BE相等，最后将AE和CE相加即可得到AC的长度。
【解析】
延长BD交AC于点E。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠BCD=∠ECD。
∵ BD⊥CD，
∴ ∠CDB=∠CDE=90°。
在△BCD和△ECD中：
$\{\begin{array}{l}∠ BCD=∠ ECD \\CD=CD \\∠ CDB=∠ CDE\end{array} $
∴ △BCD≌△ECD（ASA）。
∴ CE=BC=3，BD=DE=1，因此BE=BD+DE=2。
又
∵ ∠ABD=∠A，
∴ AE=BE=2（等角对等边）。
∴ AC=AE+CE=2+3=5。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何中等难度题型，核心考查“角平分线+垂线构造等腰三角形”这一常见辅助线技巧，需要学生熟练掌握全等三角形、等腰三角形的相关性质，将已知线段长度转化到待求线段上完成求解。
【难度系数】
0.6
7. 一题多解思维发散 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=120°$，$AD⊥ BC$于$D$，且$AB+BD=DC$，则$∠ B$的度数为
40°
。答案
7.$40^{\circ }$
解析
【分析】
题目给出线段和关系$AB+BD=DC$，且$AD⊥BC$，可采用截长补短法构造等腰三角形转化线段关系。我们可以在$DC$上截取$DE=BD$，利用$AD$是$BE$的垂直平分线得到$AB=AE$，将已知条件转化为$AE=EC$，再结合等腰三角形等边对等角、三角形外角性质和内角和定理，设未知数列方程即可求出$∠B$的度数。
【解析】
解：在$DC$上截取$DE=BD$，连接$AE$。
$\because AD⊥BC$，$BD=DE$，
$\therefore AD$垂直平分线段$BE$，
$\therefore AB=AE$（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
$\therefore ∠B=∠AEB$（等边对等角）。
已知$AB+BD=DC$，且$DC=DE+EC$，$BD=DE$，$AB=AE$，
代入得：$AE + DE = DE + EC$，
化简得$AE=EC$，
$\therefore ∠C=∠EAC$（等边对等角）。
设$∠B=x$，则$∠AEB=x$，
$\because ∠AEB$是$△ AEC$的外角，
$\therefore ∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C$，即$∠C=\frac{1}{2}x$。
在$△ ABC$中，$∠BAC+∠B+∠C=180°$，$∠BAC=120°$，
代入得：$120° + x + \frac{1}{2}x = 180°$，
解得$x=40°$，即$∠B=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
截长补短法，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题重点考察几何辅助线的构造思路，通过截长补短将线段和差关系转化为线段相等关系，结合等腰三角形和三角形的基本性质求解，是几何中处理线段和差问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
题目给出线段和关系$AB+BD=DC$，且$AD⊥BC$，可采用截长补短法构造等腰三角形转化线段关系。我们可以在$DC$上截取$DE=BD$，利用$AD$是$BE$的垂直平分线得到$AB=AE$，将已知条件转化为$AE=EC$，再结合等腰三角形等边对等角、三角形外角性质和内角和定理，设未知数列方程即可求出$∠B$的度数。
【解析】
解：在$DC$上截取$DE=BD$，连接$AE$。
$\because AD⊥BC$，$BD=DE$，
$\therefore AD$垂直平分线段$BE$，
$\therefore AB=AE$（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
$\therefore ∠B=∠AEB$（等边对等角）。
已知$AB+BD=DC$，且$DC=DE+EC$，$BD=DE$，$AB=AE$，
代入得：$AE + DE = DE + EC$，
化简得$AE=EC$，
$\therefore ∠C=∠EAC$（等边对等角）。
设$∠B=x$，则$∠AEB=x$，
$\because ∠AEB$是$△ AEC$的外角，
$\therefore ∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C$，即$∠C=\frac{1}{2}x$。
在$△ ABC$中，$∠BAC+∠B+∠C=180°$，$∠BAC=120°$，
代入得：$120° + x + \frac{1}{2}x = 180°$，
解得$x=40°$，即$∠B=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
截长补短法，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题重点考察几何辅助线的构造思路，通过截长补短将线段和差关系转化为线段相等关系，结合等腰三角形和三角形的基本性质求解，是几何中处理线段和差问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=2∠ C,AD⊥ BC$于点$D,AE$为$BC$边上的中线.
(1)求证:$BE+DE=AB+BD$;
(2)若$BD=2,DE=3$,求$AB$的长.
(1)求证:$BE+DE=AB+BD$;
(2)若$BD=2,DE=3$,求$AB$的长.
答案
8.(1)证明:延长 DB 到 F,使$BF=BA$,连接 AF.$\because BF=BA,\therefore ∠ F=∠ BAF.\because ∠ ABC=∠ F+∠ BAF,\therefore ∠ ABC$$=2∠ F.\because ∠ ABC=2∠ C,\therefore ∠ F=∠ C.\therefore AF=AC.\because AD\bot BC$于点 D,$\therefore FD=CD$,即$FB+BD=CE+DE.\because BF=BA,BE=CE,\therefore BE+DE=AB+BD.$
(2)解:$\because BE+DE=AB+BD,BD=2,DE=3,\therefore (2+3)+3=AB+2.\therefore AB=6.$
(2)解:$\because BE+DE=AB+BD,BD=2,DE=3,\therefore (2+3)+3=AB+2.\therefore AB=6.$
解析
【分析】
（1）要证明$BE+DE=AB+BD$，已知$∠ ABC=2∠ C$，遇到角的二倍关系，可通过构造等腰三角形将二倍角转化为等角：延长DB到点F，使$BF=AB$，可得$∠ ABC=2∠ F$，结合已知$∠ ABC=2∠ C$，推出$∠ F=∠ C$，得到$AF=AC$。再由$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一可得$FD=CD$，结合AE是BC中线即$BE=CE$，通过线段等量代换即可得证。
（2）第二问可直接利用第一问得到的结论，将已知$BD$、$DE$的长度代入等式，求解即可得到AB的长。
【解析】
（1）证明：延长DB到F，使$BF=BA$，连接AF。
$\because BF=BA$，$\therefore ∠ F=∠ BAF$。
$\because ∠ ABC$是$△ ABF$的外角，$\therefore ∠ ABC=∠ F+∠ BAF$，即$∠ ABC=2∠ F$。
又$\because ∠ ABC=2∠ C$，$\therefore ∠ F=∠ C$，$\therefore AF=AC$。
$\because AD\bot BC$于点D，根据等腰三角形三线合一性质，$\therefore FD=CD$，即$FB+BD=CE+DE$。
$\because BF=BA$，AE为BC边上的中线，$\therefore BE=CE$。
将$FB$替换为$AB$，$CE$替换为$BE$，可得$AB+BD=BE+DE$，即$BE+DE=AB+BD$。
（2）解：已知$BD=2$，$DE=3$，则$BE=BD+DE=2+3=5$。
将$BE=5$，$DE=3$，$BD=2$代入$BE+DE=AB+BD$，得：
$5+3=AB+2$
解得$AB=6$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$AB=6$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形中线的定义
【点评】
本题重点考查构造等腰三角形解决线段和差问题的方法，解题的突破口是根据角的二倍关系构造等腰三角形，将角的倍数关系转化为等角关系，再结合等腰三角形三线合一、中线的性质进行线段等量代换，第二问直接复用第一问的结论计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$BE+DE=AB+BD$，已知$∠ ABC=2∠ C$，遇到角的二倍关系，可通过构造等腰三角形将二倍角转化为等角：延长DB到点F，使$BF=AB$，可得$∠ ABC=2∠ F$，结合已知$∠ ABC=2∠ C$，推出$∠ F=∠ C$，得到$AF=AC$。再由$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一可得$FD=CD$，结合AE是BC中线即$BE=CE$，通过线段等量代换即可得证。
（2）第二问可直接利用第一问得到的结论，将已知$BD$、$DE$的长度代入等式，求解即可得到AB的长。
【解析】
（1）证明：延长DB到F，使$BF=BA$，连接AF。
$\because BF=BA$，$\therefore ∠ F=∠ BAF$。
$\because ∠ ABC$是$△ ABF$的外角，$\therefore ∠ ABC=∠ F+∠ BAF$，即$∠ ABC=2∠ F$。
又$\because ∠ ABC=2∠ C$，$\therefore ∠ F=∠ C$，$\therefore AF=AC$。
$\because AD\bot BC$于点D，根据等腰三角形三线合一性质，$\therefore FD=CD$，即$FB+BD=CE+DE$。
$\because BF=BA$，AE为BC边上的中线，$\therefore BE=CE$。
将$FB$替换为$AB$，$CE$替换为$BE$，可得$AB+BD=BE+DE$，即$BE+DE=AB+BD$。
（2）解：已知$BD=2$，$DE=3$，则$BE=BD+DE=2+3=5$。
将$BE=5$，$DE=3$，$BD=2$代入$BE+DE=AB+BD$，得：
$5+3=AB+2$
解得$AB=6$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$AB=6$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形中线的定义
【点评】
本题重点考查构造等腰三角形解决线段和差问题的方法，解题的突破口是根据角的二倍关系构造等腰三角形，将角的倍数关系转化为等角关系，再结合等腰三角形三线合一、中线的性质进行线段等量代换，第二问直接复用第一问的结论计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
