7.如图,四边形ABCD内接于半圆O,AB为直径,AD=CD.过点D作DE⊥AB于点E,连接AC交DE于点F.若AE=4,BE=16,则DF的长为 ()

A.4
B.4.8
C.5
D.6

7.C

8. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D将$\overset{\frown}{AB}$分成相等的三段弧，点P在$\overset{\frown}{AC}$上。已知点Q在$\overset{\frown}{AB}$上且$∠ APQ=115°$，则点Q所在的弧是（）

A.$\overset{\frown}{AP}$
B.$\overset{\frown}{PC}$
C.$\overset{\frown}{CD}$
D.$\overset{\frown}{DB}$

8.D

9.(2025·连云港模拟)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，已知∠AOB=100°，∠CAB=60°，则∠ABD=。

9. 100°

10.(2025·武城期末)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,DB平分∠ADC,∠ABD=∠CAD.
(1)求∠BAD的度数;
(2)过点C作CF//AB交AD的延长线于点F.若AC=AB,DF=3,求圆的半径.

(1)
∵∠ABD=∠CAD,∠CBD=∠CAD，
∴∠ABD=∠CBD.
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°,
∴2∠ABD+2∠ADB=180°,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
∴∠BAD=180°−90°=90°.
(2)由(1)知∠BAD=90°,
∴∠CAD+∠BAE=90°,BD为直径.
∵∠ABD=∠CAD,
∴∠ABD+∠BAE=90°,
∴∠AEB=90°.
∵BD为直径,
∴BD垂直平分AC,
∴AB=BC.
∵AC=AB,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°,
∴∠ABD=∠CBD=30°.
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠CDF+∠ADC=180°,
∴∠CDF=∠ABC=60°.
∵CF//AB,
∴∠BAD+∠AFC=180°.
∵∠BAD=90°,
∴∠AFC=90°,
∴∠FCD=30°,
∴CD=2DF.
∵DF=3,
∴CD=6.
∵BD为直径,
∴∠BCD=90°.
∵∠CBD=30°,
∴BD=2CD=12,
即圆的直径为12,所以圆的半径为6.

11. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为$\overset{\frown}{AD}$上一点，且$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BC}$，连接DF并延长交BA的延长线于点E，连接AF，BD，AD.
(1)判断BD与DA的数量关系，并说明理由；
(2)求证：△BCD≌△AFD.

(1)解:BD=DA.理由如下：
∵CD是△ABC的外角平分线,
∴∠ACD=∠DCM.
∵∠DAB+∠DCB=180°,∠DCM+∠DCB=180°,
∴∠DAB=∠DCM.
∵∠ACD=∠DBA,
∴∠DAB=∠DBA,
∴BD=DA.
(2)证明:由(1)知,BD=DA,
∴∠BCD=∠AFD.
∵BC=AF,
∴∠BDC=∠ADF.
在△BCD和△AFD中,
⎧⎪⎨⎪⎩∠BDC=∠ADF,
∠BCD=∠AFD,
DB=DA,
∴△BCD≌△AFD(AAS).