1.(2025·广州模拟)如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，交⊙O于点E，若DE=2，AD=8，∠ADB=150°，求BC的长.

1.解:如答图,作OF⊥BC于点F,连接OC,
∴BC=2FC.
∵∠ADB=150°,
∴∠ADC=30°,
∴OF=$\frac{1}{2}$OD.
∵DE=2,AD=8,
∴AE=10,
∴OA=OE=OC=5,OD=3,
∴OF=$\frac{3}{2}$,
∴BC=2FC=2×$\sqrt{5^2-(\frac{3}{2})^2}$=$\sqrt{91}$.
第1题答图

2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是$\overset{\frown}{AC}$上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC。
(1)求证：∠ADG=∠F；
(2)若AE=CD，BE=2，求⊙O的半径。

2.(1)证明:如答图,连接BG.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AGB=90°,
∴∠B+∠BAG=90°.
∵AB⊥CD,
∴∠AEF=90°,
∴∠F+∠BAF=90°,
∴∠B=∠F.
∵∠ADG=∠B,
∴∠ADG=∠F.
第2题答图
(2)解:如答图,连接OD.设⊙O的半径为r,则AB=2r.
∵AE=CD,BE=2,
∴CD=AE=2r-2.
∵CD⊥AB,
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=r-1.
在Rt△ODE中,由勾股定理,得OD²=OE²+DE²,
即r²=(r-2)²+(r-1)²,
解得r₁=5,r₂=1(不合题意,舍去),
∴⊙O的半径为5.

3.(2025·咸阳模拟)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,∠ACD=60°,∠ADC=45°,则∠DEB的度数是 ()

A.75°
B.105°
C.85°
D.110°

3.A

4.(2025·崇川区期末)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BC为$\odot O$的直径,$AB=AD$.点E在BA的延长线上,若$∠EAD=40°$,则$∠B$的度数为.

4.70°