5.已知四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ DAB=90°$.
(1)如图①，连接BD，若$\odot O$的半径为6，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AB}$，求AB的长；
(2)如图②，连接AC，若$AD=5$，$AB=3$，对角线AC平分$∠ DAB$，求AC的长.

5.解:(1)
∵∠DAB=90°,
∴BD为⊙O的直径,即BD=12.
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AB}$,
∴AD=AB,
∴△ABD为等腰直角三角形,
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=6$\sqrt{2}$.
(2)如答图,连接BD,过点B作BH⊥AC于点H.
第5题答图
∵∠DAB=90°,
∴BD为⊙O的直径,BD=$\sqrt{5^2+3^2}$=$\sqrt{34}$,
∴∠BCD=90°.
∵AC平分∠DAB,
∴∠BAC=∠DAC=45°,
∴∠CBD=∠BDC=45°,
∴△CDB为等腰直角三角形,
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{34}$=$\sqrt{17}$.
在Rt△ABH中,∠BAC=45°,
∴AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
在Rt△BCH中,CH=$\sqrt{(\sqrt{17})^2-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$,
∴AC=AH+CH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=4$\sqrt{2}$.

6.(2025·宿城区期末)【感知】(1)如图①,△ABC内接于⊙O,连接OB.求证:∠OBC+∠A=90°;小王发现,延长BO,交⊙O于点D,连接CD,进而得证.请完成小王的证明过程.
【探究】(2)如图②,△ABC内接于⊙O,过点C作CD⊥AB,分别交AB,⊙O于点D,E,过点O作OH⊥BC,交BC于点H,连接AE.求证:AE=2OH.
【应用】(3)小张突发奇想,如图③,当△ABC是钝角三角形时,过点C作CD⊥AB,分别交BA的延长线,⊙O于点D,E,连接AE.若AE=3,BC=5,则⊙O的直径是多少? 请你帮助小张解决这个问题.

6.(1)证明:如答图①,
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠BAC=∠BDC.
∵BD为⊙O的直径,
∴∠BCD=90°,
∴∠OBC+∠A=∠OBC+∠BDC=90°.
(2)证明:如答图②,连接BO并延长交⊙O于点N,连接CN.
由(1)知,∠OBH+∠BAC=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴∠ECA+∠BAC=90°,
∴∠ACE=∠NBC,
∴CN=AE.
∵OH⊥BC,CN⊥BC,
∴OH//CN.
又O为BN的中点,
∴OH为△BCN的中位线,
∴CN=2OH,
∴AE=2OH.

(3)解:如答图③,连接BO并延长交⊙O于点N,连接CN,NE,BE.
∵四边形BNEC是圆内接四边形,
∴∠BCE+∠BNE=180°.
∵∠BCE+∠DCB=180°,
∴∠DCB=∠BNE.
∵CD⊥AB,
∴∠DBC+∠BCD=90°.
∵BN是⊙O的直径,
∴∠BEN=90°,
∴∠NBE+∠BNE=90°,
∴∠CBA=∠NBE,
∴∠DBC+∠CBE=∠CBE+∠EBN,
即∠ABE=∠NBC,
∴AE=CN=3,过点O作OH⊥BC,
则HO=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{3}{2}$,BH=$\frac{1}{2}$CB=$\frac{5}{2}$,
则BO=$\sqrt{BH^2+OH^2}$=$\frac{\sqrt{34}}{2}$,
∴BN=$\sqrt{34}$,
故⊙O的直径为$\sqrt{34}$.
第6题答图