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9. (陕西中考)如图,点O是$□ ABCD$的对称中心,$AD＞AB$,E,F是AB边上的点,且$EF=\frac{1}{2}AB$,G,H是BC边上的点,且$GH=\frac{1}{3}BC$,若$S_1$,$S_2$分别表示$△ EOF$和$△ GOH$的面积,则$S_1$与$S_2$之间的等量关系是
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{3}{2}$(写法不唯一,合理即可)
.答案
9.$\frac{S_1}{S_2}=\frac{3}{2}$(写法不唯一,合理即可) 解析:连接AO,BO,CO,
$\because \frac{S_1}{S_{△ AOB}}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}$,$\frac{S_2}{S_{△ BOC}}=\frac{GH}{BC}=\frac{1}{3}$,$\therefore S_1=\frac{1}{2}S_{△ AOB}$,$S_2=\frac{1}{3}S_{△ BOC}$.
$\because$ 点O是$□ ABCD$的对称中心,$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$,
$\therefore \frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}S_{△ AOB}}{\frac{1}{3}S_{△ BOC}}=\frac{\frac{1}{8}S_{□ ABCD}}{\frac{1}{12}S_{□ ABCD}}=\frac{3}{2}$,即$S_1$与$S_2$之间的等量关系是$\frac{S_1}{S_2}=\frac{3}{2}$.
$\because \frac{S_1}{S_{△ AOB}}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}$,$\frac{S_2}{S_{△ BOC}}=\frac{GH}{BC}=\frac{1}{3}$,$\therefore S_1=\frac{1}{2}S_{△ AOB}$,$S_2=\frac{1}{3}S_{△ BOC}$.
$\because$ 点O是$□ ABCD$的对称中心,$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$,
$\therefore \frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}S_{△ AOB}}{\frac{1}{3}S_{△ BOC}}=\frac{\frac{1}{8}S_{□ ABCD}}{\frac{1}{12}S_{□ ABCD}}=\frac{3}{2}$,即$S_1$与$S_2$之间的等量关系是$\frac{S_1}{S_2}=\frac{3}{2}$.
10.（温州中考）如图，P，Q是方格纸中的两个格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.
（1）在图①中画出一个面积最小的$□ PAQB$；
（2）在图②中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.
（1）在图①中画出一个面积最小的$□ PAQB$；
（2）在图②中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.
答案
10.合理即可,如:(1)如图①所示.(2)如图②所示.
11. (镇江中考)如图①, $∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=90°$, $AB, FE, DC$ 为铅直方向的边, $AF, ED, BC$ 为水平的边,点 $E$ 在 $AB, CD$ 之间,且在 $AF, BC$ 之间,我们称这样的图形为“L图形”,记作“L图形$ABCDEF$”.若直线将L图形分成面积相等的两个图形,则称这样的直线为该L图形的面积平分线.
【活动】
小华同学给出了图①的面积平分线的一个作图方案:如图②,将这个L图形分成矩形$AGEF$、矩形$GBCD$,这两个矩形的对称中心$O_1,O_2$所在直线是面积平分线.请用无刻度的直尺在图①中作出其他的面积平分线(作出一种即可,不写作法,保留作图痕迹).
【思考】
如图③,直线$O_1O_2$是小华作的面积平分线,它与边$BC,AF$分别交于点$M,N$,过$MN$的中点$O$的直线分别交边$BC,AF$于点$P,Q$,直线$PQ$
【应用】
在L图形$ABCDEF$中,已知$AB=4,BC=6$.
(1)如图④,$CD=AF=1$.
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点$P,Q$,则$PQ$长的最大值为
②该L图形的面积平分线与边$AB,CD$分别相交于点$G,H$,当$GH$的长取最小值时,$BG$的长等于
(2)设$\frac{CD}{AF}=t(t＞0)$,在所有与铅直方向的两条边相交的面积平分线中,如果只有与边$AB,CD$相交的面积平分线,直接写出$t$的取值范围是
【活动】
小华同学给出了图①的面积平分线的一个作图方案:如图②,将这个L图形分成矩形$AGEF$、矩形$GBCD$,这两个矩形的对称中心$O_1,O_2$所在直线是面积平分线.请用无刻度的直尺在图①中作出其他的面积平分线(作出一种即可,不写作法,保留作图痕迹).
【思考】
如图③,直线$O_1O_2$是小华作的面积平分线,它与边$BC,AF$分别交于点$M,N$,过$MN$的中点$O$的直线分别交边$BC,AF$于点$P,Q$,直线$PQ$
是
(填“是”或“不是”)L图形$ABCDEF$的面积平分线.【应用】
在L图形$ABCDEF$中,已知$AB=4,BC=6$.
(1)如图④,$CD=AF=1$.
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点$P,Q$,则$PQ$长的最大值为
$\sqrt{10}$
;②该L图形的面积平分线与边$AB,CD$分别相交于点$G,H$,当$GH$的长取最小值时,$BG$的长等于
$\frac{3}{4}$
.(2)设$\frac{CD}{AF}=t(t＞0)$,在所有与铅直方向的两条边相交的面积平分线中,如果只有与边$AB,CD$相交的面积平分线,直接写出$t$的取值范围是
$t＞\frac{2}{3}$
.答案
11.【活动】如图①②所示,画出一种即可.
【思考】是 解析:由题意可知,直线$O_1O_2$是面积平分线,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABMN}=S_{\mathrm{六边形}MNFEDC}$.
$\because$ 点O是MN的中点,易证$△ NQO≌△ MPO$,
$\therefore S_{△ NQO}=S_{△ MPO}$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABPQ}=S_{\mathrm{六边形}PQFEDC}$,
$\therefore$ 直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线.
【应用】(1)①$\sqrt{10}$ 解析:当CD=AF=1时,在与两条水平的边相交的面积平分线中,只存在与边BC,DE相交的面积平分线.作出该L图形的一条面积平分线MN,利用【思考】的结论,过MN的中点T,且同时与边BC,DE相交的直线l均为该L图形的面积平分线.如图③,当直线l经过点B时,PQ的长最大,作$QJ⊥ BC$于点J.
$\because S_{\mathrm{四边形}BCDQ}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{L图形}}=\frac{9}{2}$,$\therefore BC+QD=9$.
$\because BC=6$,$\therefore QD=3$.
$\because ∠ C=∠ D=∠ QJC=90°$,$\therefore$ 四边形QJCD为矩形.
在$\mathrm{Rt}△ BQJ$中,$∠ BJQ=90°$,$BJ=3$,$QJ=1$,$\therefore BQ=\sqrt{10}$.
$PQ$长的最大值为$\sqrt{10}$.
②$\frac{3}{4}$ 解析:如图④,当GH的长取最小值时,$GH// BC$,$GH=BC=6$,
又$\because$ 直线GH平分L图形的面积,$\therefore$ 设$BG=x$,则$AG=4-x$,
根据$S_{\mathrm{L图形}AGHDEF}=S_{\mathrm{矩形}GBCH}$,得$(4-x)×1+(6-1)×(1-x)=6x$,解得$x=\frac{3}{4}$.
(2)$t＞\frac{2}{3}$ 解析:$\because \frac{CD}{AF}=t(t＞0)$,$\therefore CD=tAF$,如图⑤,延长FE交BC于点G,延长DE交AB于点H,要满足在所有与铅直方向的两条边相交的面积平分线中,只有与AB,CD相交的面积平分线(根据题意,面积平分线是将L图形分成面积相等的两个图形,注意是“两个图形”),只需满足$S_{\mathrm{矩形}AHEF}＜S_{\mathrm{矩形}EGCD}$,即$S_{\mathrm{矩形}ABGF}＜S_{\mathrm{矩形}HBCD}$,即$4AF＜6CD$,解得$\frac{CD}{AF}＞\frac{2}{3}$,$\therefore t＞\frac{2}{3}$.
