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1. 已知$y=(m+2)x^{m^2 + m -4} +1$是关于$x$的二次函数.
(1)求满足条件的$m$的值.
(2)当$m$为何值时,函数图象有最低点? 求出这个最低点,这时当$x$为何值时,$y$随$x$的增大而增大?
(3)当$m$为何值时,函数有最大值? 最大值是多少? 这时当$x$为何值时,$y$随$x$的增大而减小?
(1)求满足条件的$m$的值.
(2)当$m$为何值时,函数图象有最低点? 求出这个最低点,这时当$x$为何值时,$y$随$x$的增大而增大?
(3)当$m$为何值时,函数有最大值? 最大值是多少? 这时当$x$为何值时,$y$随$x$的增大而减小?
答案
【解】(1)
∵$y=(m+2)x^{m^2 + m -4} +1$是关于$x$的二次函数，
∴$m^2+m-4=2,m+2≠0$,解得$m_1=2,m_2=-3$.
(2)当$m+2＞0$,即$m＞-2$时,函数图象开口向上,有最低点.
∴当$m=2$时,抛物线有最低点,
此时$y=4x^2+1$,则最低点为$(0,1)$.
由于此函数图象的对称轴为$y$轴,
∴当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大.
(3)当$m+2＜0$,即$m＜-2$时,函数图象开口向下,有最大值.
∴当$m=-3$时,函数有最大值,
此时$y=-x^2+1$,则函数的最大值为1.
由于此函数图象的对称轴为$y$轴,
∴当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小.
∵$y=(m+2)x^{m^2 + m -4} +1$是关于$x$的二次函数，
∴$m^2+m-4=2,m+2≠0$,解得$m_1=2,m_2=-3$.
(2)当$m+2＞0$,即$m＞-2$时,函数图象开口向上,有最低点.
∴当$m=2$时,抛物线有最低点,
此时$y=4x^2+1$,则最低点为$(0,1)$.
由于此函数图象的对称轴为$y$轴,
∴当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大.
(3)当$m+2＜0$,即$m＜-2$时,函数图象开口向下,有最大值.
∴当$m=-3$时,函数有最大值,
此时$y=-x^2+1$,则函数的最大值为1.
由于此函数图象的对称轴为$y$轴,
∴当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小.
2. 若$y=(m+4)x^{|m|-5}$是反比例函数，则$m=$
4
。答案
4
3. [2025 陕西] 在平面直角坐标系中,二次函数 $y=ax^2 - 2ax + a - 3(a≠0)$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点,且这两个交点分别位于 $y$ 轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是 (
A.图象的开口向下
B.当 $x＞0$ 时,$y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大
C.函数的最小值小于 $-3$
D.当 $x=2$ 时,$y＜0$
D
)A.图象的开口向下
B.当 $x＞0$ 时,$y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大
C.函数的最小值小于 $-3$
D.当 $x=2$ 时,$y＜0$
答案
D
【点拨】由题意可得方程$ax^2-2ax+a-3=0$的两根异号，$\therefore x_1x_2=\frac{a-3}{a}＜0$,解得$0＜a＜3$,$\therefore$二次项系数$a＞0$,开口向上,故A不符合题意;$\because y=ax^2-2ax+a-3(a≠0)$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,$\therefore$当$x＞1$时,$y$随$x$增大而增大,故B不符合题意;$\because$当$x=1$时,$y=-3$,$\therefore$最小值为$-3$,故C不符合题意;当$x=2$时,$y=4a-4a+a-3=a-3$.$\because 0＜a＜3$,$\therefore$此时$y＜0$,故D符合题意.故选D.
【点拨】由题意可得方程$ax^2-2ax+a-3=0$的两根异号，$\therefore x_1x_2=\frac{a-3}{a}＜0$,解得$0＜a＜3$,$\therefore$二次项系数$a＞0$,开口向上,故A不符合题意;$\because y=ax^2-2ax+a-3(a≠0)$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,$\therefore$当$x＞1$时,$y$随$x$增大而增大,故B不符合题意;$\because$当$x=1$时,$y=-3$,$\therefore$最小值为$-3$,故C不符合题意;当$x=2$时,$y=4a-4a+a-3=a-3$.$\because 0＜a＜3$,$\therefore$此时$y＜0$,故D符合题意.故选D.
4. 如图，$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，$AB=2$，正方形$DEFG$的边长为1，且$AB$与$DE$在同一条直线上，$△ ABC$从点$B$与点$D$重合开始，沿直线$DE$向右平移，直至点$A$与点$E$完全重合时停止。设$BD$的长为$x$，$△ ABC$与正方形$DEFG$重合部分(图中阴影部分)的面积为$y$，则$y$与$x$之间的函数图象大致是（
B
）答案
B
【点拨】①如图①,当点B从点D运动到点E,即$0≤x≤1$时,$\because △ABC$为等腰直角三角形,$∠ACB=90°$,四边形DEFG是正方形,$\therefore ∠GDE=90°,∠DBC=∠CAB=45°$.$\because BD$的长为$x$,$\therefore$易得$y=\frac{1}{2}BD^2=\frac{1}{2}x^2$;
②如图②,当点A运动到点D,即$1＜x≤2$时,$\because BD$的长为$x$,$AB=2$,正方形DEFG的边长为1,$\therefore BE=BD-DE=x-1$,$AD=AB-BD=2-x$.$\because ∠CAB=∠DBC=45°$,$\therefore$易得$y=\frac{1}{2}AB·GD-\frac{1}{2}AD^2-\frac{1}{2}BE^2=\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}(2-x)^2-\frac{1}{2}(x-1)^2=-x^2+3x-\frac{3}{2}=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}$;
③如图③,当点A从点D运动到点E,即$2＜x≤3$时,根据题意,得$AD=BD-AB=x-2$,$\therefore AE=DE-AD=1-(x-2)=3-x$.$\therefore$易得$y=\frac{1}{2}AE^2=\frac{1}{2}(3-x)^2$.综上,观察图象,知B选项正确,故选B.
5. 正比例函数$y=2x$与反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象或性质的共有特征之一是 （
A.函数值$y$随$x$的增大而增大
B.图象分布在第一、三象限
C.图象与坐标轴有交点
D.图象经过点$(2,1)$
B
）A.函数值$y$随$x$的增大而增大
B.图象分布在第一、三象限
C.图象与坐标轴有交点
D.图象经过点$(2,1)$
答案
B
6. 在同一平面直角坐标系中，函数$y=ax-b(a≠0)$和$y=\frac{-c}{x}(c≠0)$的大致图象如图所示，则函数$y=ax²+bx+c(a≠0)$的图象大致为 （
D
）答案
D
