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10.[2025连云港]某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体的压强$p$(Pa)是气球体积$V$(m³)的反比例函数.当$V=1.2$ m³时,$p=20\ 000$ Pa.则当$V=1.5$ m³时,$p=$
16 000
Pa.答案
10. 16 000 【点拨】
∵气球内气体的压强 $p$(Pa)是气球体积 $V$(m³)的反比例函数,
∴设这个反比例函数的表达式为 $p=\frac{k}{V}$.
∵$V=1.2\ \mathrm{m}^3$,$p=20\ 000\ \mathrm{Pa}$,
∴$20\ 000=\frac{k}{1.2}$,解得 $k=24\ 000$,
∴$p=\frac{24\ 000}{V}$.把 $V=1.5\ \mathrm{m}^3$ 代入 $p=\frac{24\ 000}{V}$,得 $p=\frac{24\ 000}{1.5}=16\ 000\ \mathrm{Pa}$.
∴当 $v=1.5\ \mathrm{m}^3$ 时,$P=16\ 000\ \mathrm{Pa}$.
∵气球内气体的压强 $p$(Pa)是气球体积 $V$(m³)的反比例函数,
∴设这个反比例函数的表达式为 $p=\frac{k}{V}$.
∵$V=1.2\ \mathrm{m}^3$,$p=20\ 000\ \mathrm{Pa}$,
∴$20\ 000=\frac{k}{1.2}$,解得 $k=24\ 000$,
∴$p=\frac{24\ 000}{V}$.把 $V=1.5\ \mathrm{m}^3$ 代入 $p=\frac{24\ 000}{V}$,得 $p=\frac{24\ 000}{1.5}=16\ 000\ \mathrm{Pa}$.
∴当 $v=1.5\ \mathrm{m}^3$ 时,$P=16\ 000\ \mathrm{Pa}$.
11. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数$y=k_1x$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k_2}{x}$的图象有公共点，则$k_1k_2$
＞
0（填“＞”“＜”或“=”）。答案
11.＞
12. 如图，点$A(2,2)$在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上，将直线OA向上平移若干个单位交y轴于点B，交双曲线于点C。若$BC=2$，则点C的坐标是
$(\sqrt{2},2\sqrt{2})$
。答案
12.$(\sqrt{2},2\sqrt{2})$ 【点拨】
∵点 $A(2,2)$ 在双曲线 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 上,
∴$2=\frac{k}{2}$,解得 $k=4$.
∴双曲线的表达式为 $y=\frac{4}{x}$.如图,分别过点 $A,C,B$ 作 $AD⊥ x$ 轴,$CH⊥ x$ 轴,$BG⊥ CH$,垂足分别为 $D,H,G$.
∵$A(2,2)$,
∴$OD=2$,$AD=2$.
∴$AD=OD$.
∴$∠ AOD=45°$.
∴$∠ AOB=45°$.由平移的性质得 $OA// BC$,
∴$∠ CBO=180°-45°=135°$.又易知 $∠ OBG=90°$,
∴$∠ CBG=135°-90°=45°$.
∴$∠ BCG=45°=∠ CBG$.
∴$BG=CG$.又
∵$BC=2$,
∴易得 $BG=\sqrt{2}$.
∴点 $C$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$.又
∵点 $C$ 在双曲线 $y=\frac{4}{x}$ 上,
∴$C(\sqrt{2},2\sqrt{2})$.
三、解答题(共48分)
13.(14分)[2025安徽] 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=ax+4(a≠0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于A，B两点。已知点A和B的横坐标分别为6和2。
(1)求$a$与$k$的值；
(2)设直线AB与$x$轴、$y$轴的交点分别为C，D，求$△ COD$的面积。
13.(14分)[2025安徽] 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=ax+4(a≠0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于A，B两点。已知点A和B的横坐标分别为6和2。
(1)求$a$与$k$的值；
(2)设直线AB与$x$轴、$y$轴的交点分别为C，D，求$△ COD$的面积。
答案
13.【解】(1)由题意得，$\begin{cases}6a+4=\dfrac{k}{6},\\2a+4=\dfrac{k}{2},\end{cases}$解得$a=-\dfrac{1}{2},k=6$.
(2)由(1)知直线AB对应的一次函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+4$.
在$y=-\dfrac{1}{2}x+4$中，令$y=0$，得$x=8$，令$x=0$，得$y=4$，
∴$C(8,0),D(0,4)$，
∴$OC=8,OD=4$.
∴$△COD$的面积为$\dfrac{1}{2}OC·OD=\dfrac{1}{2}×8×4=16$.
(2)由(1)知直线AB对应的一次函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+4$.
在$y=-\dfrac{1}{2}x+4$中，令$y=0$，得$x=8$，令$x=0$，得$y=4$，
∴$C(8,0),D(0,4)$，
∴$OC=8,OD=4$.
∴$△COD$的面积为$\dfrac{1}{2}OC·OD=\dfrac{1}{2}×8×4=16$.
14. ★★ (14分)[2025攀枝花]如图，函数$y=x-1$和$y=\dfrac{2}{x}$的图象相交于A，B两点。
(1)A点的坐标为
观察图象，不等式$x-1＜\dfrac{2}{x}$的解集为
(2)若y轴上存在点C，使$S_{△ ABC}=6$，求点C的坐标。
(1)A点的坐标为
$(2,1)$
，B点的坐标为$(-1,-2)$
；观察图象，不等式$x-1＜\dfrac{2}{x}$的解集为
$0＜x＜2或x＜-1$
；(2)若y轴上存在点C，使$S_{△ ABC}=6$，求点C的坐标。
答案
14.【解】(1)$(2,1)$；$(-1,-2)$；$0＜x＜2$或$x＜-1$
【点拨】联立方程组$\begin{cases}y=x-1,\\y=\dfrac{2}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-1,\\y=-2\end{cases}$或$\begin{cases}x=2,\\y=1,\end{cases}$
∴A点的坐标为(2,1)，B点的坐标为(−1,−2).
观察题图可知，不等式$x-1＜\dfrac{2}{x}$的解集为$0＜x＜2$或$x＜-1$.
(2)如图，设$y=x-1$的图象与y轴的交点为M，
当x=0时，y=−1，则点M的坐标为(0,−1)，
设C点的坐标为$(0,y_C)$，
由题意知，$S_{△ABC}=S_{△BCM}+S_{△ACM}=\dfrac{1}{2}×|-1-y_C|×1+\dfrac{1}{2}×|-1-y_C|×2=\dfrac{3}{2}×|1+y_C|=6$，
∴$|y_C+1|=4$，
∴$y_C=3$或$y_C=-5$.
∴点C的坐标为(0,3)或(0,−5).
15. (20分)如图,在平面直角坐标系中,点B,D分别在反比例函数$y=-\frac{6}{x}(x＜0)$和$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,$AB⊥x$轴于点A,$DC⊥x$轴于点C,O是线段AC的中点,$AB=3,DC=2$.
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的表达式.
(2)连接BD,OB,OD,求$△ ODB$的面积.
(3)P是线段AB上的一个动点,Q是线段OB上的一个动点,试探究是否存在点P,使得$△ APQ$是等腰直角三角形?若存在,直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的表达式.
(2)连接BD,OB,OD,求$△ ODB$的面积.
(3)P是线段AB上的一个动点,Q是线段OB上的一个动点,试探究是否存在点P,使得$△ APQ$是等腰直角三角形?若存在,直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
15.【解】(1)
∵AB=3，
∴点B的纵坐标为3.
又
∵点B在反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$的图象上，
∴$3=-\dfrac{6}{x}$.
∴x=−2.
∴B(−2,3).
∵O是线段AC的中点，
∴易得C(2,0).
∵CD=2，
∴D(2,2).
又
∵点D在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
∴k=4.
∴$y=\dfrac{4}{x}$.
(2)$S_{△ODB}=S_{梯形ACDB}-S_{△BAO}-S_{△OCD}=\dfrac{1}{2}×(3+2)×(2+2)-\dfrac{1}{2}×2×3-\dfrac{1}{2}×2×2=10-3-2=5$.
(3)存在，点P的坐标为(−2,2)或$(-2,\dfrac{6}{5})$或$(-2,\dfrac{12}{5})$.
【点拨】设直线OB的表达式为$y=k_1x$.
∵点B(−2,3)，
∴−2k₁=3.
∴$k_1=-\dfrac{3}{2}$.
∴$y=-\dfrac{3}{2}x$.
∴设$Q(t,-\dfrac{3}{2}t)$.
①当∠PAQ=90°，AP=AQ时，点Q与点O重合，此时P(−2,2)；②当∠APQ=90°，AP=PQ时，$-\dfrac{3}{2}t=t+2$，解得$t=-\dfrac{4}{5}$.
∴易得$P(-2,\dfrac{6}{5})$；③当∠PQA=90°，PQ=AQ时，易得$t+2=-\dfrac{3}{2}t$，解得$t=-\dfrac{4}{5}$，
∴易得$P(-2,\dfrac{12}{5})$.综上所述，点P的坐标为(−2,2)或$(-2,\dfrac{6}{5})$或$(-2,\dfrac{12}{5})$.
∵AB=3，
∴点B的纵坐标为3.
又
∵点B在反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$的图象上，
∴$3=-\dfrac{6}{x}$.
∴x=−2.
∴B(−2,3).
∵O是线段AC的中点，
∴易得C(2,0).
∵CD=2，
∴D(2,2).
又
∵点D在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
∴k=4.
∴$y=\dfrac{4}{x}$.
(2)$S_{△ODB}=S_{梯形ACDB}-S_{△BAO}-S_{△OCD}=\dfrac{1}{2}×(3+2)×(2+2)-\dfrac{1}{2}×2×3-\dfrac{1}{2}×2×2=10-3-2=5$.
(3)存在，点P的坐标为(−2,2)或$(-2,\dfrac{6}{5})$或$(-2,\dfrac{12}{5})$.
【点拨】设直线OB的表达式为$y=k_1x$.
∵点B(−2,3)，
∴−2k₁=3.
∴$k_1=-\dfrac{3}{2}$.
∴$y=-\dfrac{3}{2}x$.
∴设$Q(t,-\dfrac{3}{2}t)$.
①当∠PAQ=90°，AP=AQ时，点Q与点O重合，此时P(−2,2)；②当∠APQ=90°，AP=PQ时，$-\dfrac{3}{2}t=t+2$，解得$t=-\dfrac{4}{5}$.
∴易得$P(-2,\dfrac{6}{5})$；③当∠PQA=90°，PQ=AQ时，易得$t+2=-\dfrac{3}{2}t$，解得$t=-\dfrac{4}{5}$，
∴易得$P(-2,\dfrac{12}{5})$.综上所述，点P的坐标为(−2,2)或$(-2,\dfrac{6}{5})$或$(-2,\dfrac{12}{5})$.
