1.[2025重庆] 反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$的图象一定经过的点是（）

A.$(2,6)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,-4)$
D.$(6,-2)$

1.D

2. [2025 湖南] 对于反比例函数 $y=\frac{2}{x}$，下列结论正确的是（）

A.点$(2,2)$在该函数的图象上
B.该函数的图象分别位于第二、第四象限
C.当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
D.当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小

2.D

3. 2025·湖北 跨学科题 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流$ I $(单位:A)与电阻$ R $(单位:Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示。当电阻$ R $大于9Ω时，电流$ I $可能是 ()

A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A

3.A

4.若点$A(x_{1},-1),B(x_{2},1),C(x_{3},5)$都在反比例函数$y=\dfrac{5}{x}$的图象上,则$x_{1},x_{2},x_{3}$的大小关系是（）

A.$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$
B.$x_{1}＜x_{3}＜x_{2}$
C.$x_{3}＜x_{2}＜x_{1}$
D.$x_{2}＜x_{1}＜x_{3}$

4.B

5. 教材母题 教材P51习题T7变式 函数 $y=\frac{k}{x}$与 $y=-kx^2 +k$（$k≠0$）在同一坐标系中的图象可能是（）

5.B 【点拨】当k＞0时，−k＜0，反比例函数的图象位于第一、三象限，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于正半轴；当k＜0时，−k＞0，反比例函数的图象位于第二、四象限，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于负半轴.故选B.

6. 新考法 对称法 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心与原点O重合，且正方形的一组对边与x轴平行，点$P(4a,a)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与正方形边的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则$k$的值为（）

A.16
B.1
C.4
D.-16

6.C 【点拨】由反比例函数图象和正方形的中心对称性，得正方形OABC的面积=16，则4a×4a=16，解得a=1(负值已舍去)，所以P点的坐标为(4,1).把P(4,1)的坐标代入$y=\frac{k}{x}$，得k=4.故选C.

7. [衡阳自主招生] 如图,在平面直角坐标系中, $□ OABC$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴上,顶点 $B$ 在第一象限,且纵坐标为 4,点 $D$ 为边 $AB$ 的中点,反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$ 的图象经过点 $C,D$.若 $S_{△ OCD}=6$,则点 $D$ 的横坐标为（）

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{13}{4}$
C.4
D.5

7.C 【点拨】如图,过点 B,D,C 分别作 $BE⊥x$ 轴,$DF⊥x$轴,$CG⊥x$ 轴,垂足分别为 E,F,G.
∵点 B 在第一象限,纵坐标为 4,D 为 AB 的中点,
∴易得 $C(\frac{k}{4},4),D(\frac{k}{2},2)$.根据反比例函数中比例系数 k 的几何意义,易得 $S_{梯形CDFG} = S_{△ OCD}=6,\therefore \frac{1}{2}× (2+4)× (\frac{k}{2}-\frac{k}{4})=6$,解得 $k=8$.
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$.当 $y=2$ 时,$x=4$,
∴点 D 的横坐标为 4.

8. [2025无锡]若函数$ y_1 $的图象上存在点$ P $，函数$ y_2 $的图象上存在点$ Q $，且$ P,Q $关于$ y $轴对称，则称函数$ y_1 $和$ y_2 $具有“对偶关系”，此时点$ P $或点$ Q $的纵坐标称为“对偶值”。下列结论：
①函数$ y_1=2x+3 $与函数$ y_2=-x+1 $不具有“对偶关系”；②函数$ y_1=2x+3 $与函数$ y_2=-x+1 $的“对偶值”为$-1$；③若1是函数$ y_1=kx+3 $与函数$ y_2=\frac{1}{x} $的“对偶值”，则$ k=2 $；④若函数$ y_1=-2x+b(-2≤ x≤ -1) $与函数$ y_2=\frac{1}{x}(x＞0) $具有“对偶关系”，则$ 3≤ b≤ \frac{9}{2} $。
其中正确的是（）

A.①④
B.②③
C.①③④
D.②③④

8.B 【点拨】①设函数 $y_1=2x+3$ 上点 $P$ 的坐标为 $(m,2m+3)$ .
∵若 $P,Q$ 关于 $y$ 轴对称,
∴$Q$ 点的坐标为 $(-m,m+1)$,
∴$2m+3=m+1$,解得 $m=-2$,则存在这样的点 $P,Q$,使得函数 $y_1=2x+3$ 与函数 $y_2=-x+1$ 具有“对偶关系”,
∴①错误,不符合题意;②由①知当 $m=-2$ 时,$P(-2,-1)$,$Q(2,-1)$,
∴函数 $y_1$ 与 $y_2$ 的“对偶值”为$-1$.
∴②正确,符合题意;③将 $y_2=1$ 代入 $y_2=\frac{1}{x}$,得 $1=\frac{1}{x}$,解得 $x=1$.
∵函数$y_1$ 与函数 $y_2$ 具有“对偶关系”且“对偶值”为 1,
∴将 $x=-1$,$y_1=1$ 代入 $y_1=kx+3$,得 $1=-k+3$,解得 $k=2$,
∴③正确,符合题意;④设点 $P$ 的坐标为 $(n,-2n+b),-2≤ n≤ -1$,则点 $Q$ 的坐标为 $(-n,-\frac{1}{n})$.
∵$P,Q$ 横坐标是相反数关系,纵坐标相等,
∴$-2n+b=-\frac{1}{n}$,整理得 $b=2n-\frac{1}{n}$.
∵$-2≤ n≤ -1$,对于函数 $b=2n-\frac{1}{n}$,$b$ 随 $n$ 的增大而增大,当 $n=-2$ 时,$b=2× (-2)-\frac{1}{-2}=-4+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$;当 $n=-1$ 时,$b=2× (-1)-\frac{1}{-1}=-2+1=-1$,
∴$-\frac{7}{2}≤ b≤ -1$,而不是 $3≤ b≤ \frac{9}{2}$,
∴④错误,不符合题意.故选 B.

9.[2025 上海]已知一个反比例函数,在每个象限内,函数值 y 随 x 的增大而减小,那么这个反比例函数的表达式可以是.(只需写出一个)

9.$y=\dfrac{1}{x}$(答案不唯一)