6. 如图,一次函数$y=ax+b(a≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(1,4),B(n,-1)$.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象,直接写出不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集；
(3)已知点$D$在$x$轴上,点$C$在反比例函数图象上.若以$A,B,C,D$为顶点的四边形是平行四边形,求点$C$的坐标.

6.【解】(1)$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$A(1,4)$，$\therefore 4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$.
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$.
把点$B(n,-1)$的坐标代入$y=\frac{4}{x}$，得$-1=\frac{4}{n}$，解得$n=-4$，$\therefore B(-4,-1)$.
把点$A(1,4),B(-4,-1)$的坐标代入$y=ax+b(a≠0)$，得$\begin{cases}a+b=4,\\-4a+b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=3.\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=x+3$.
(2)观察图象得不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$.
(3)$\because$点$D$在$x$轴上，$\therefore y_D=0$.设点$C$的坐标为$(c,\frac{4}{c})$，
①当$AC$为对角线时，$4+\frac{4}{c}=-1$，
$\therefore \frac{4}{c}=-5$，解得$c=-\frac{4}{5}$.经检验，$c=-\frac{4}{5}$是原方程的解.
$\therefore C(-\frac{4}{5},-5)$；
②当$AD$为对角线时，得$4=\frac{4}{c}-1$，
$\therefore \frac{4}{c}=5$，解得$c=\frac{4}{5}$.经检验，$c=\frac{4}{5}$是原方程的解.
$\therefore C(\frac{4}{5},5)$；
③当$AB$为对角线时，得$4-1=\frac{4}{c}$，
$\therefore \frac{4}{c}=3$，解得$c=\frac{4}{3}$，经检验，$c=\frac{4}{3}$是原方程的解.
$\therefore C(\frac{4}{3},3)$.
综上，当点$C$的坐标为$(-\frac{4}{5},-5)$或$(\frac{4}{5},5)$或$(\frac{4}{3},3)$时，以$A,B,C,D$为顶点的四边形是平行四边形.

7. [2025 南通] 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，反比例函数的图象经过点 $ A(1,5) $，点 $ A,B $ 关于原点对称。该函数图象上另有两点 $ M_1,M_2 $，它们的横坐标分别为 $ m,m+n $，其中 $ m＞1,n＞0 $。依次作直线 $ AM_1,BM_1 $ 与 $ y $ 轴分别交于点 $ C_1,D_1 $，直线 $ AM_2,BM_2 $ 与 $ y $ 轴分别交于点 $ C_2,D_2 $。记 $ OC_1 - OD_1 = d_1,OC_2 - OD_2 = d_2 $。
(1)若 $ m=2 $，求 $ OC_1 $ 的长；
(2)求代数式 $ (m+n) · d_2 $ 的值；
(3)当 $ m(d_1 - d_2)=2d_2,3(d_1 + d_2)=2n^3 $ 时，求点 $ D_2 $ 关于直线 $ AM_2 $ 对称的点 $ P $ 的坐标。

7.【解】(1)设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$，
$\because A(1,5)$在函数图象上，
$\therefore k=5$，$\therefore y=\frac{5}{x}$，$\therefore M_1(2,\frac{5}{2})$.
设直线$AM_1$的表达式为$y=k_1x+b_1(k_1≠0)$，
将$A(1,5),M_1(2,\frac{5}{2})$两点的坐标分别代入，得$\begin{cases}5=k_1+b_1,\\\frac{5}{2}=2k_1+b_1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\frac{5}{2},\\b_1=\frac{15}{2},\end{cases}$
$\therefore y=-\frac{5}{2}x+\frac{15}{2}$，$\therefore$点$C_1$的坐标为$(0,\frac{15}{2})$，
$\therefore OC_1=\frac{15}{2}$.
(2)设直线$AM_2$的表达式为$y=k_2x+b_2(k_2≠0)$.
$\because A(1,5),M_2(m+n,\frac{5}{m+n})$，
$\therefore$易得$AM_2$的表达式为$y=-\frac{5}{m+n}x+\frac{5}{m+n}+5$，
$\therefore OC_2=\frac{5}{m+n}+5$.
$\because A(1,5)$，且点$A,B$关于原点对称，$\therefore B(-1,-5)$.
设直线$BM_2$的表达式为$y=k_3x+b_3(k_3≠0)$，
$\because B(-1,-5),M_2(m+n,\frac{5}{m+n})$，
$\therefore$易得$BM_2$的表达式为$y=\frac{5}{m+n}x+\frac{5}{m+n}-5$，
$\therefore OD_2=5-\frac{5}{m+n}$，
$\therefore d_2=\frac{10}{m+n}$，$\therefore (m+n)· d_2=10$.
(3)$\because m(d_1-d_2)=2d_2$，$\therefore md_1=(m+2)d_2$.
同(2)易得$d_1=\frac{10}{m}$，$\therefore md_1=10=(m+n)d_2$，$\therefore n=2$.
$\because 3(d_1+d_2)=2n^3$，$\therefore 3(\frac{10}{m}+\frac{10}{m+2})=16$.
$\therefore m_1=3,m_2=-1.25$.
经检验，$m_1=3$是原分式方程的根且符合题意；$m_2=-1.25$是原分式方程的根，但不符合题意，舍去.
$\therefore m+n=5$.$\therefore M_2(5,1)$.
$\therefore AM_2$的表达式为$y=-x+6$，$BM_2$的表达式为$y=x-4$.
$\therefore C_2(0,6),D_2(0,-4)$.
又$\because M_2(5,1)$，
$\therefore C_2M_2^2+D_2M_2^2=5^2+5^2+5^2+5^2=100=0^2+10^2=C_2D_2^2$，$C_2M_2=\sqrt{5^2+5^2}=D_2M_2$，
$\therefore △ C_2D_2M_2$是等腰直角三角形，且$∠ C_2M_2D_2=90°$.
又$\because$点$P$是点$D_2$关于直线$AM_2$对称的点$P$，
$\therefore$线段$PD_2$的中点为$M_2$，
$\therefore$点$D_2$关于直线$AM_2$对称的点$P$的坐标为$(2×5-0,2×1+4)$，即$(10,6)$.