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7. [2025滁州期末] 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象如图所示，有下列5个结论：①$abc＜0$；②$b＜a+c$；③$4a+2b+c＞0$；④$2c＜3b$；⑤$a+b＜m(am+b)$（$m$为不等于1的实数）。其中正确结论的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
【点拨】$\because$图象开口向下,$\therefore a＜0$.$\because$对称轴在$y$轴的右侧,$\therefore a,b$异号,$\therefore b＞0$.$\because$抛物线与$y$轴的交点在$x$轴的上方,$\therefore c＞0$,$\therefore abc＜0$,$\therefore$①正确;当$x=-1$时,$y＜0$,即$y=a-b+c＜0$,即$a+c＜b$,$\therefore$②不正确;$\because$抛物线与$x$轴的一个交点在$(0,0)$和$(-1,0)$之间,对称轴为直线$x=1$,$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点在$(2,0)$和$(3,0)$之间,则$x=2$时,$y＞0$,即$y=4a+2b+c＞0$,$\therefore$③正确;$\because$对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$,则$a=-\frac{1}{2}b$.$\because a-b+c＜0$,则$-\frac{1}{2}b-b+c＜0$,$\therefore 2c＜3b$,$\therefore$④正确;易知$y$有最大值$a+b+c$,当$x=m(m≠1)$时,$y=am^2+bm+c$,则$a+b+c＞am^2+bm+c$,即$a+b＞m(am+b)$($m$为不等于1的实数),$\therefore$⑤错误.故①③④正确,共3个.故选C.
【点拨】$\because$图象开口向下,$\therefore a＜0$.$\because$对称轴在$y$轴的右侧,$\therefore a,b$异号,$\therefore b＞0$.$\because$抛物线与$y$轴的交点在$x$轴的上方,$\therefore c＞0$,$\therefore abc＜0$,$\therefore$①正确;当$x=-1$时,$y＜0$,即$y=a-b+c＜0$,即$a+c＜b$,$\therefore$②不正确;$\because$抛物线与$x$轴的一个交点在$(0,0)$和$(-1,0)$之间,对称轴为直线$x=1$,$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点在$(2,0)$和$(3,0)$之间,则$x=2$时,$y＞0$,即$y=4a+2b+c＞0$,$\therefore$③正确;$\because$对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$,则$a=-\frac{1}{2}b$.$\because a-b+c＜0$,则$-\frac{1}{2}b-b+c＜0$,$\therefore 2c＜3b$,$\therefore$④正确;易知$y$有最大值$a+b+c$,当$x=m(m≠1)$时,$y=am^2+bm+c$,则$a+b+c＞am^2+bm+c$,即$a+b＞m(am+b)$($m$为不等于1的实数),$\therefore$⑤错误.故①③④正确,共3个.故选C.
8. [2026 淮南模拟] 函数 $y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$ 和 $y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$ 的部分图象如图所示，点 A 在 $y=\frac{k_1}{x}$ 的图象上，过点 A 作 $AB // y$ 轴交 $x$ 轴于点 C，交 $y=\frac{k_2}{x}$ 的图象于点 B。若 $AC=3BC$，则 $\frac{k_1}{k_2}$ 的值为（
A.$-3$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$3$
A
）A.$-3$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$3$
答案
A
【点拨】如图,连接OA,OB.$\because AB// y$轴,$\therefore OC⊥ AB$.$\because AC=3BC$,$\therefore S_{△ OAC}=3S_{△ OBC}$.$\because$点A在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象上,$\therefore S_{△ OAC}=\frac{k_1}{2}$,$\therefore S_{△ OBC}=\frac{k_1}{6}$,$\therefore \frac{1}{2}|k_2|=\frac{k_1}{6}$且$k_2＜0$,$\therefore -\frac{k_2}{2}=\frac{k_1}{6}$,$\therefore \frac{k_1}{k_2}=-\frac{6}{2}=-3$.
9. 将抛物线$y=x^2 -6x +12$向下平移$k$个单位.若平移后得到的抛物线与$x$轴有公共点,则$k$的取值范围是
$k≥3$
.答案
$k≥3$
【点拨】将抛物线$y=x^2-6x+12$向下平移$k$个单位得$y=x^2-6x+12-k$.$\because y=x^2-6x+12-k$与$x$轴有公共点,$\therefore b^2-4ac≥0$,即$(-6)^2-4×(12-k)≥0$,解得$k≥3$.
【点拨】将抛物线$y=x^2-6x+12$向下平移$k$个单位得$y=x^2-6x+12-k$.$\because y=x^2-6x+12-k$与$x$轴有公共点,$\therefore b^2-4ac≥0$,即$(-6)^2-4×(12-k)≥0$,解得$k≥3$.
10. 如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m. 栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m)，与墙平行的一边长为y(单位:m)，面积为S(单位:m²).
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数表达式(不要求写x的取值范围).
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m²吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数表达式(不要求写x的取值范围).
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m²吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
答案
【解】(1)$y=-2x+80$.$S=x(-2x+80)=-2x^2+80x$.
(2)能.$\because y≤42$,$\therefore -2x+80≤42$.$\therefore x≥19$.$\therefore 19≤x＜40$.
当$S=750$时,$-2x^2+80x=750$,$\therefore x_1=25$,$x_2=15$(不合题意,舍去).
$\therefore$当$x=25$时,矩形实验田的面积$S$能达到$750\ \mathrm{m}^2$.
(3)$\because S=-2x^2+80x=-2(x^2-40x)=-2(x^2-40x+20^2-20^2)=-2(x-20)^2+800$,
$\therefore$当$x=20$时,矩形实验田的面积$S$最大,最大面积是$800\ \mathrm{m}^2$.
(2)能.$\because y≤42$,$\therefore -2x+80≤42$.$\therefore x≥19$.$\therefore 19≤x＜40$.
当$S=750$时,$-2x^2+80x=750$,$\therefore x_1=25$,$x_2=15$(不合题意,舍去).
$\therefore$当$x=25$时,矩形实验田的面积$S$能达到$750\ \mathrm{m}^2$.
(3)$\because S=-2x^2+80x=-2(x^2-40x)=-2(x^2-40x+20^2-20^2)=-2(x-20)^2+800$,
$\therefore$当$x=20$时,矩形实验田的面积$S$最大,最大面积是$800\ \mathrm{m}^2$.
11. 立德树人题 乡村振兴 [2026 朔州期中] 综合与实践：
实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手.某农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一名蔬菜种植能手，还是一名喜爱动脑筋的创意设计者.如图是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为 $ y $ 轴，水平地面作为 $ x $ 轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线 $ MDN $，该抛物线的表达式为 $ y=ax^2+bx+3(a≠0) $，对称轴为直线 $ BD $，且 $ OB=4 $.
(1)当 $ AB $ 与 $ BD $ 恰好相等时，抛物线的表达式为
(2)在第(1)题的条件下，小宇想在大棚内 $ BN $ 上找一固定点 $ P $，并设计一根支撑柱 $ DP $，使得 $ DP $ 与 $ AB $ 平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点 $ P $.若能，计算 $ DP $ 的长；若不能，请说明理由.
实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手.某农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一名蔬菜种植能手，还是一名喜爱动脑筋的创意设计者.如图是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为 $ y $ 轴，水平地面作为 $ x $ 轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线 $ MDN $，该抛物线的表达式为 $ y=ax^2+bx+3(a≠0) $，对称轴为直线 $ BD $，且 $ OB=4 $.
(1)当 $ AB $ 与 $ BD $ 恰好相等时，抛物线的表达式为
$y=-\frac{1}{8}x^2+x+3$
；(2)在第(1)题的条件下，小宇想在大棚内 $ BN $ 上找一固定点 $ P $，并设计一根支撑柱 $ DP $，使得 $ DP $ 与 $ AB $ 平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点 $ P $.若能，计算 $ DP $ 的长；若不能，请说明理由.
答案
【解】(1)$y=-\frac{1}{8}x^2+x+3$ 【点拨】由题意知$OB=4$,$OA=3$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$.由题意得抛物线的对称轴为直线$x=4$,$\therefore -\frac{b}{2a}=4$,即$b=-8a$.$\therefore y=ax^2+bx+3=ax^2-8ax+3$.$\because AB=BD=5$,即当$x=4$时,$y=5$,$\therefore a=-\frac{1}{8}$.$\therefore b=1$.$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{8}x^2+x+3$.
(2)不能.理由:设直线$AB$的表达式为$y=kx+n$.
把点$B(4,0)$,$A(0,3)$的坐标分别代入上式,
得$\begin{cases}4k+n=0,\\n=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\n=3,\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$.
$\because DP// AB$,$\therefore$设直线$DP$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+m$.
$\because$点$D(4,5)$在直线$DP$上,$\therefore m=8$.
$\therefore$直线$DP$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+8$.
令$-\frac{3}{4}x+8=0$,解得$x=\frac{32}{3}$.令$-\frac{1}{8}x^2+x+3=0$,解得$x=4+2\sqrt{10}$(负值不合题意,已舍去).
$\because \frac{32}{3}＞4+2\sqrt{10}$,
$\therefore$在大棚内$BN$上找不到符合条件的固定点$P$.
(2)不能.理由:设直线$AB$的表达式为$y=kx+n$.
把点$B(4,0)$,$A(0,3)$的坐标分别代入上式,
得$\begin{cases}4k+n=0,\\n=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\n=3,\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$.
$\because DP// AB$,$\therefore$设直线$DP$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+m$.
$\because$点$D(4,5)$在直线$DP$上,$\therefore m=8$.
$\therefore$直线$DP$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+8$.
令$-\frac{3}{4}x+8=0$,解得$x=\frac{32}{3}$.令$-\frac{1}{8}x^2+x+3=0$,解得$x=4+2\sqrt{10}$(负值不合题意,已舍去).
$\because \frac{32}{3}＞4+2\sqrt{10}$,
$\therefore$在大棚内$BN$上找不到符合条件的固定点$P$.
