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1 一元二次方程 $3x - 1 - 2x^2 = 0$ 在用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求解时，$a,b,c$ 的值分别是（
A.$3, -1, -2$
B.$-2, -1, 3$
C.$-2, 3, 1$
D.$-2, 3, -1$
D
）A.$3, -1, -2$
B.$-2, -1, 3$
C.$-2, 3, 1$
D.$-2, 3, -1$
答案
∵ $3x-1-2x^2 = 0, \therefore -2x^2 + 3x - 1 = 0$, 则$a=-2,b=3,c=-1$, 故选 D.
解析
【分析】
要确定求根公式中的a、b、c，首先需明确三者对应一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中的二次项系数、一次项系数、常数项。解题时先将题干给出的方程整理为按x降幂排列的一般形式，注意保留每一项的符号，再对应匹配a、b、c的值即可。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的标准一般形式：
原方程$3x - 1 - 2x^2 = 0$，按x的降幂排列得：$-2x^2 + 3x - 1 = 0$
对照一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得：
二次项系数$a=-2$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 求根公式系数确定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是整理方程时忽略各项的符号，或者未按降幂排列就直接提取系数，导致判断错误。
【难度系数】
0.75
要确定求根公式中的a、b、c，首先需明确三者对应一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中的二次项系数、一次项系数、常数项。解题时先将题干给出的方程整理为按x降幂排列的一般形式，注意保留每一项的符号，再对应匹配a、b、c的值即可。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的标准一般形式：
原方程$3x - 1 - 2x^2 = 0$，按x的降幂排列得：$-2x^2 + 3x - 1 = 0$
对照一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得：
二次项系数$a=-2$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 求根公式系数确定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是整理方程时忽略各项的符号，或者未按降幂排列就直接提取系数，导致判断错误。
【难度系数】
0.75
2[2025江苏无锡期中]用公式法解一个一元二次方程的根为$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（
A.$6,5,1$
B.$3,5,-1$
C.$3,5,1$
D.$3,-5,1$
C
）A.$6,5,1$
B.$3,5,-1$
C.$3,5,1$
D.$3,-5,1$
答案
由题意得,用公式法解一个一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$ 的根为 $x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-5\pm \sqrt{13}}{6}, \therefore a=3, b=5, b^2-4ac=13, \therefore 5^2-4× 3c=13$, 解得 $c=1$, 即此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 3,5,1, 故选 C.
解析
【分析】
本题需要逆向运用一元二次方程的求根公式求解系数。首先回忆一元二次方程的求根公式结构：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需要将题目给出的根和求根公式的分子、分母逐一对应，先求出$a$、$b$的值，再代入判别式求出$c$的值，最后对应选项即可。
【解析】
设该一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
已知方程的根为$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$，对应求根公式可得：
1. 分母对应：$2a=6$，解得$a=3$；
2. 分子的一次项部分对应：$-b=-5$，解得$b=5$；
3. 根号内的判别式对应：$b^2-4ac=13$，将$a=3$、$b=5$代入得：$5^2-4×3× c=13$，即$25-12c=13$，解得$c=1$。
因此该方程的二次项系数为3，一次项系数为5，常数项为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.根的判别式 3.一元二次方程系数
【点评】
本题是求根公式的逆向应用类基础题，解题关键是熟练掌握求根公式的结构，明确公式中各部分与方程系数的对应关系，解题时需注意符号问题，避免混淆$-b$的符号导致出错。
【难度系数】
0.7
本题需要逆向运用一元二次方程的求根公式求解系数。首先回忆一元二次方程的求根公式结构：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需要将题目给出的根和求根公式的分子、分母逐一对应，先求出$a$、$b$的值，再代入判别式求出$c$的值，最后对应选项即可。
【解析】
设该一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
已知方程的根为$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$，对应求根公式可得：
1. 分母对应：$2a=6$，解得$a=3$；
2. 分子的一次项部分对应：$-b=-5$，解得$b=5$；
3. 根号内的判别式对应：$b^2-4ac=13$，将$a=3$、$b=5$代入得：$5^2-4×3× c=13$，即$25-12c=13$，解得$c=1$。
因此该方程的二次项系数为3，一次项系数为5，常数项为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.根的判别式 3.一元二次方程系数
【点评】
本题是求根公式的逆向应用类基础题，解题关键是熟练掌握求根公式的结构，明确公式中各部分与方程系数的对应关系，解题时需注意符号问题，避免混淆$-b$的符号导致出错。
【难度系数】
0.7
3[2026四川自贡质检]利用公式法解一元二次方程$2x^2 -4x -1=0$得到两个根，其中较小的根为（
A.$x=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
B.$x=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$
C.$x=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$
D.$x=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$
B
）A.$x=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
B.$x=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$
C.$x=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$
D.$x=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$
答案
$2x^2-4x-1=0, \because a=2, b=-4, c=-1, \therefore b^2-4ac=(-4)^2-4× 2× (-1)=24＞0, \therefore x = \frac{4\pm \sqrt{24}}{2× 2} = \frac{2\pm \sqrt{6}}{2}. \because \frac{2+\sqrt{6}}{2} ＞ \frac{2-\sqrt{6}}{2}, \therefore$ 一元二次方程$2x^2-4x-1=0$ 的两个根中,较小的根为 $x=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$. 故选 B.
解析
【分析】
要使用公式法求解一元二次方程的根并找出较小根，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应题目中的方程确定$a、b、c$的取值，要注意系数的正负号；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程是否有实数根；第三步若有实根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求出两个根；第四步比较两个根的大小，选出较小的根即可。
【解析】
对于方程$2x^2 -4x -1=0$，首先确定对应系数：
$a=2$，$b=-4$，$c=-1$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：
$x = \frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2} = \frac{4\pm2\sqrt{6}}{4} = \frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$，
比较两个根的大小：$\frac{2+\sqrt{6}}{2} ＞ \frac{2-\sqrt{6}}{2}$，因此较小的根为$x=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 根的判别式
3. 实数大小比较
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的常规应用题，解题核心是准确识别方程各项系数，尤其要注意不要弄错负系数的符号，同时要掌握根式的化简方法和实数大小比较的规则，熟练掌握公式法解方程的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要使用公式法求解一元二次方程的根并找出较小根，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应题目中的方程确定$a、b、c$的取值，要注意系数的正负号；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程是否有实数根；第三步若有实根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求出两个根；第四步比较两个根的大小，选出较小的根即可。
【解析】
对于方程$2x^2 -4x -1=0$，首先确定对应系数：
$a=2$，$b=-4$，$c=-1$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：
$x = \frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2} = \frac{4\pm2\sqrt{6}}{4} = \frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$，
比较两个根的大小：$\frac{2+\sqrt{6}}{2} ＞ \frac{2-\sqrt{6}}{2}$，因此较小的根为$x=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 根的判别式
3. 实数大小比较
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的常规应用题，解题核心是准确识别方程各项系数，尤其要注意不要弄错负系数的符号，同时要掌握根式的化简方法和实数大小比较的规则，熟练掌握公式法解方程的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4 如图,在矩形 ABCD 中,AB=a(a＜2),BC=2.以点 D 为圆心,CD 的长为半径画弧,交 AD 于点 E,交 BD 于点 F.下列线段的长度是方程$x^2 + 2ax -4=0$的一个根的是 (
A.线段 AE 的长
B.线段 BF 的长
C.线段 BD 的长
D.线段 DF 的长
B
)A.线段 AE 的长
B.线段 BF 的长
C.线段 BD 的长
D.线段 DF 的长
答案
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ CD=AB=a, AD=BC=2, ∠A=90°,
∴ BD=√(2²+a²)=√(4+a²). 由作法得 DE=DF=DC=a,
∴ AE=2-a, BF=√(4+a²)-a. 解方程$x^2+2ax-4=0$,得$x_1=-a+\sqrt{4+a^2},x_2=-a-\sqrt{4+a^2}$,
∴ 线段 BF 的长为方程的一个根. 故选 B.
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用矩形的性质得到各边的长度，结合勾股定理求出对角线BD的长度；再根据圆弧的定义得到DF、DE的长度，进而表示出四个选项对应线段的长度；最后用公式法求解一元二次方程，取正根和各线段长度对比，即可确定答案。
【解析】
1. 利用矩形性质求相关边长：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ CD=AB=a，AD=BC=2，∠BAD=90°。
2. 用勾股定理求BD的长度：
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{a^2+2^2}=\sqrt{a^2+4}$。
3. 根据圆弧定义确定半径长度：
以D为圆心、CD长为半径画弧，因此半径相等，即$DE=DF=CD=a$。
4. 表示各选项对应线段的长度：
$AE=AD-DE=2-a$，
$BF=BD-DF=\sqrt{a^2+4}-a$，
$BD=\sqrt{a^2+4}$，
$DF=a$。
5. 解一元二次方程：
对于方程$x^2+2ax-4=0$，判别式$\Delta=(2a)^2-4×1×(-4)=4a^2+16$，
由求根公式得$x=\frac{-2a\pm\sqrt{4a^2+16}}{2}=-a\pm\sqrt{a^2+4}$。
线段长度为正，舍去负根$x=-a-\sqrt{a^2+4}$，得正根$x=-a+\sqrt{a^2+4}$，和BF的长度一致。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，公式法解一元二次方程
【点评】
本题将几何性质和一元二次方程求解结合考查，需要先根据几何性质表示出各线段的长度，再和方程的根对比得到结果，能够检验对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用矩形的性质得到各边的长度，结合勾股定理求出对角线BD的长度；再根据圆弧的定义得到DF、DE的长度，进而表示出四个选项对应线段的长度；最后用公式法求解一元二次方程，取正根和各线段长度对比，即可确定答案。
【解析】
1. 利用矩形性质求相关边长：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ CD=AB=a，AD=BC=2，∠BAD=90°。
2. 用勾股定理求BD的长度：
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{a^2+2^2}=\sqrt{a^2+4}$。
3. 根据圆弧定义确定半径长度：
以D为圆心、CD长为半径画弧，因此半径相等，即$DE=DF=CD=a$。
4. 表示各选项对应线段的长度：
$AE=AD-DE=2-a$，
$BF=BD-DF=\sqrt{a^2+4}-a$，
$BD=\sqrt{a^2+4}$，
$DF=a$。
5. 解一元二次方程：
对于方程$x^2+2ax-4=0$，判别式$\Delta=(2a)^2-4×1×(-4)=4a^2+16$，
由求根公式得$x=\frac{-2a\pm\sqrt{4a^2+16}}{2}=-a\pm\sqrt{a^2+4}$。
线段长度为正，舍去负根$x=-a-\sqrt{a^2+4}$，得正根$x=-a+\sqrt{a^2+4}$，和BF的长度一致。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，公式法解一元二次方程
【点评】
本题将几何性质和一元二次方程求解结合考查，需要先根据几何性质表示出各线段的长度，再和方程的根对比得到结果，能够检验对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5[2026浙江衢州期末]已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 - 2(m-1)x + m - 2 = 0(m＞0)$，设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$(其中$x_1＞x_2$)，若$y$是关于$m$的函数，且$y=x_1 - mx_2$，则当$y＞0$时，$m$的取值范围为
0＜m＜3
。答案
$mx^2-2(m-1)x+m-2=0(m＞0)$ 是关于 $x$ 的一元二次方程, $b^2-4ac=[-2(m-1)]^2-4m(m-2)=4＞0$. 由求根公式, 得 $x=\frac{2(m-1)\pm 2}{2m}$,
∴ $x=1$ 或 $x=1-\frac{2}{m}$.
∵ $m＞0, x_1＞x_2, \therefore x_1=1, x_2=1-\frac{2}{m}, \therefore y=x_1-mx_2=1-m(1-\frac{2}{m})=1-m+2＞0$, 解得 $m＜3, \therefore 0＜m＜3$, 故答案为 $0＜m＜3$.
∴ $x=1$ 或 $x=1-\frac{2}{m}$.
∵ $m＞0, x_1＞x_2, \therefore x_1=1, x_2=1-\frac{2}{m}, \therefore y=x_1-mx_2=1-m(1-\frac{2}{m})=1-m+2＞0$, 解得 $m＜3, \therefore 0＜m＜3$, 故答案为 $0＜m＜3$.
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：首先，对于给定的一元二次方程，先计算根的判别式，确认方程有两个不等的实数根；接着使用求根公式求出方程的两个根，结合m＞0以及x₁＞x₂的条件，确定x₁、x₂分别对应的表达式；最后将x₁、x₂代入y的表达式，根据y＞0列出不等式求解，同时结合题目给出的m＞0的限制条件，最终得到m的取值范围。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 - 2(m-1)x + m - 2 = 0(m＞0)$，其中二次项系数$a=m$，一次项系数$b=-2(m-1)$，常数项$c=m-2$。
第一步：计算根的判别式
$\Delta = b^2-4ac = [-2(m-1)]^2 - 4m(m-2) = 4(m^2-2m+1) - 4m^2 + 8m = 4＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
第二步：用求根公式求根
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应参数得：
$x=\frac{2(m-1)\pm\sqrt{4}}{2m}=\frac{2(m-1)\pm2}{2m}$
化简可得两个根：$x=1$，$x=1-\frac{2}{m}$。
第三步：确定$x_1$、$x_2$的表达式
$\because m＞0$，$\therefore \frac{2}{m}＞0$，可得$1-\frac{2}{m}＜1$，结合$x_1＞x_2$，因此$x_1=1$，$x_2=1-\frac{2}{m}$。
第四步：代入$y$的表达式解不等式
将$x_1$、$x_2$代入$y=x_1 - mx_2$得：
$y=1 - m(1-\frac{2}{m})=1 - m + 2=3 - m$
$\because y＞0$，$\therefore 3 - m＞0$，解得$m＜3$，结合已知$m＞0$，可得$0＜m＜3$。
【答案】
$0＜m＜3$
【知识点】
根的判别式；公式法解一元二次方程；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程与不等式结合的基础综合题，解题核心是先利用求根公式求出方程的两个根，再根据根的大小关系确定对应表达式，代入不等式求解即可，计算过程中需注意符号处理和题目的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：首先，对于给定的一元二次方程，先计算根的判别式，确认方程有两个不等的实数根；接着使用求根公式求出方程的两个根，结合m＞0以及x₁＞x₂的条件，确定x₁、x₂分别对应的表达式；最后将x₁、x₂代入y的表达式，根据y＞0列出不等式求解，同时结合题目给出的m＞0的限制条件，最终得到m的取值范围。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 - 2(m-1)x + m - 2 = 0(m＞0)$，其中二次项系数$a=m$，一次项系数$b=-2(m-1)$，常数项$c=m-2$。
第一步：计算根的判别式
$\Delta = b^2-4ac = [-2(m-1)]^2 - 4m(m-2) = 4(m^2-2m+1) - 4m^2 + 8m = 4＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
第二步：用求根公式求根
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应参数得：
$x=\frac{2(m-1)\pm\sqrt{4}}{2m}=\frac{2(m-1)\pm2}{2m}$
化简可得两个根：$x=1$，$x=1-\frac{2}{m}$。
第三步：确定$x_1$、$x_2$的表达式
$\because m＞0$，$\therefore \frac{2}{m}＞0$，可得$1-\frac{2}{m}＜1$，结合$x_1＞x_2$，因此$x_1=1$，$x_2=1-\frac{2}{m}$。
第四步：代入$y$的表达式解不等式
将$x_1$、$x_2$代入$y=x_1 - mx_2$得：
$y=1 - m(1-\frac{2}{m})=1 - m + 2=3 - m$
$\because y＞0$，$\therefore 3 - m＞0$，解得$m＜3$，结合已知$m＞0$，可得$0＜m＜3$。
【答案】
$0＜m＜3$
【知识点】
根的判别式；公式法解一元二次方程；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程与不等式结合的基础综合题，解题核心是先利用求根公式求出方程的两个根，再根据根的大小关系确定对应表达式，代入不等式求解即可，计算过程中需注意符号处理和题目的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
6 用公式法解下列方程.
(1) $\frac{2}{3}x^2 - x - \frac{2}{3} = 0$.
(2) $4x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$.
(1) $\frac{2}{3}x^2 - x - \frac{2}{3} = 0$.
(2) $4x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$.
答案
(1) 方程整理为 $2x^2-3x-2=0$. 因为 $a=2, b=-3, c=-2, b^2-4ac=(-3)^2-4× 2× (-2)=25＞0$, 所以 $x=\frac{3\pm 5}{2× 2}$, 所以 $x_1=-\frac{1}{2}, x_2=2$.
(2) $4x^2-2\sqrt{3}x-1=0$, 所以 $a=4, b=-2\sqrt{3}, c=-1$, 所以 $b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4× 4× (-1)=28$, 所以 $x=\frac{-(-2\sqrt{3})\pm \sqrt{28}}{2× 4} = \frac{\sqrt{3}\pm \sqrt{7}}{4}$, 所以 $x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4}, x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{4}$.
(2) $4x^2-2\sqrt{3}x-1=0$, 所以 $a=4, b=-2\sqrt{3}, c=-1$, 所以 $b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4× 4× (-1)=28$, 所以 $x=\frac{-(-2\sqrt{3})\pm \sqrt{28}}{2× 4} = \frac{\sqrt{3}\pm \sqrt{7}}{4}$, 所以 $x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4}, x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{4}$.
解析
【分析】
公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式；②准确确定$a$、$b$、$c$的取值（注意保留系数的符号）；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，可继续代入公式求解，若$\Delta＜0$则无实数根；④代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化为最简形式。
第(1)题方程含分数系数，先去分母转化为整系数方程，能简化计算；第(2)题已是一般形式，直接提取系数计算即可，注意带根号的系数运算要准确。
【解析】
(1) 先整理方程，两边同乘3消去分母得：$2x^2-3x-2=0$，
其中$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-2)=9+16=25＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{3\pm5}{4}$，
所以$x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{3+5}{4}=2$。
(2) 方程$4x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$已是一般形式，
其中$a=4$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4×4×(-1)=12+16=28＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-2\sqrt{3})\pm\sqrt{28}}{2×4}=\frac{2\sqrt{3}\pm2\sqrt{7}}{8}$，约分后得$x=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{7}}{4}$，
所以$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4}$，$x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=-\frac{1}{2},x_2=2$
(2) $x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{4}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，核心考察公式法的解题步骤，解题时需注意先将方程化为一般形式，不要搞错系数的符号，判别式计算和根式化简要仔细，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式；②准确确定$a$、$b$、$c$的取值（注意保留系数的符号）；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，可继续代入公式求解，若$\Delta＜0$则无实数根；④代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化为最简形式。
第(1)题方程含分数系数，先去分母转化为整系数方程，能简化计算；第(2)题已是一般形式，直接提取系数计算即可，注意带根号的系数运算要准确。
【解析】
(1) 先整理方程，两边同乘3消去分母得：$2x^2-3x-2=0$，
其中$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-2)=9+16=25＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{3\pm5}{4}$，
所以$x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{3+5}{4}=2$。
(2) 方程$4x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$已是一般形式，
其中$a=4$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4×4×(-1)=12+16=28＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-2\sqrt{3})\pm\sqrt{28}}{2×4}=\frac{2\sqrt{3}\pm2\sqrt{7}}{8}$，约分后得$x=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{7}}{4}$，
所以$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4}$，$x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=-\frac{1}{2},x_2=2$
(2) $x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{4}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，核心考察公式法的解题步骤，解题时需注意先将方程化为一般形式，不要搞错系数的符号，判别式计算和根式化简要仔细，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
7 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2m+3)x + m^2 + 3m + 2 = 0.$
(1)若$x=2$是方程的一个根,求$m$的值;
(2)以这个方程的两个实数根作为$△ ABC$中$AB,AC(AB＜AC)$的长,当$BC=\sqrt{5}$时,$△ ABC$是直角三角形,求此时$m$的值.
刷易错 小心有坑~
(1)若$x=2$是方程的一个根,求$m$的值;
(2)以这个方程的两个实数根作为$△ ABC$中$AB,AC(AB＜AC)$的长,当$BC=\sqrt{5}$时,$△ ABC$是直角三角形,求此时$m$的值.
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答案
(1)
∵ $x=2$ 是方程的一个根,
∴ $4-2(2m+3)+m^2+3m+2=0, \therefore m=0$ 或 $m=1$.
(2)
∵ $b^2-4ac=[-(2m+3)]^2-4(m^2+3m+2)=1＞0, \therefore x=\frac{2m+3\pm 1}{2}, \therefore x_1=m+2, x_2=m+1$.
∵ $AB,AC(AB＜AC)$ 的长是这个方程的两个实数根,
∴ $AC=m+2＞0, AB=m+1＞0, \therefore m＞-1$.
∵ 当 $BC=\sqrt{5}$ 时, $△ ABC$ 是直角三角形,
∴ 当 $BC$ 为斜边时, 有 $(m+2)^2+(m+1)^2=(\sqrt{5})^2$, 解这个方程, 得 $m_1=-3$(不符合题意, 舍去), $m_2=0$; 当 $AC$ 为斜边时, 有 $(\sqrt{5})^2+(m+1)^2=(m+2)^2$, 解这个方程, 得 $m=1$.
综上所述, $m$ 的值为 0 或 1.
∵ $x=2$ 是方程的一个根,
∴ $4-2(2m+3)+m^2+3m+2=0, \therefore m=0$ 或 $m=1$.
(2)
∵ $b^2-4ac=[-(2m+3)]^2-4(m^2+3m+2)=1＞0, \therefore x=\frac{2m+3\pm 1}{2}, \therefore x_1=m+2, x_2=m+1$.
∵ $AB,AC(AB＜AC)$ 的长是这个方程的两个实数根,
∴ $AC=m+2＞0, AB=m+1＞0, \therefore m＞-1$.
∵ 当 $BC=\sqrt{5}$ 时, $△ ABC$ 是直角三角形,
∴ 当 $BC$ 为斜边时, 有 $(m+2)^2+(m+1)^2=(\sqrt{5})^2$, 解这个方程, 得 $m_1=-3$(不符合题意, 舍去), $m_2=0$; 当 $AC$ 为斜边时, 有 $(\sqrt{5})^2+(m+1)^2=(m+2)^2$, 解这个方程, 得 $m=1$.
综上所述, $m$ 的值为 0 或 1.
解析
【分析】
(1) 已知$x=2$是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将$x=2$代入原方程，得到关于$m$的一元二次方程，求解即可得到$m$的取值。
(2) 先计算方程的判别式，判断方程总有两个不相等的实数根，再用公式法求出方程的两个根；结合$AB＜AC$且为三角形边长，可得两根均为正数，确定$m$的取值范围；再分两种情况讨论直角三角形的斜边（$AB＜AC$，故$AB$不可能为斜边）：①$BC$为斜边，②$AC$为斜边，分别根据勾股定理列方程求解，舍去不符合$m$取值范围的解，即可得到最终结果。
【解析】
(1) $\because x=2$是方程$x^2 - (2m+3)x + m^2 + 3m + 2 = 0$的一个根，将$x=2$代入方程得：
$4-2(2m+3)+m^2+3m+2=0$
化简得$m^2 - m = 0$，解得$m=0$或$m=1$。
(2) 计算方程的判别式：
$\Delta = b^2-4ac=[-(2m+3)]^2-4(m^2+3m+2)=1＞0$
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根，由求根公式得：
$x=\frac{2m+3\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{2m+3\pm 1}{2}$
解得$x_1=m+2$，$x_2=m+1$。
$\because AB,AC(AB＜AC)$是方程的两个实数根，且为三角形边长，
$\therefore AC=m+2＞0$，$AB=m+1＞0$，解得$m＞-1$。
已知$BC=\sqrt{5}$，$△ ABC$为直角三角形，分两种情况讨论：
① 当$BC$为斜边时，由勾股定理得：$(m+2)^2+(m+1)^2=(\sqrt{5})^2$
化简得$2m^2+6m=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=0$，
$\because m＞-1$，$\therefore m=-3$舍去，保留$m=0$。
② 当$AC$为斜边时，由勾股定理得：$(\sqrt{5})^2+(m+1)^2=(m+2)^2$
化简得$2m=2$，解得$m=1$，符合$m＞-1$的条件。
综上所述，$m$的值为0或1。
【答案】
(1) $m=0$或$m=1$；
(2) $m=0$或$m=1$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 公式法解一元二次方程
3. 勾股定理应用
【点评】
本题是一元二次方程与几何的综合题，解题时要灵活运用方程根的性质，涉及直角三角形边长问题时，需注意斜边的不确定性，要分类讨论，同时不要忽略三角形边长为正的隐含条件，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知$x=2$是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将$x=2$代入原方程，得到关于$m$的一元二次方程，求解即可得到$m$的取值。
(2) 先计算方程的判别式，判断方程总有两个不相等的实数根，再用公式法求出方程的两个根；结合$AB＜AC$且为三角形边长，可得两根均为正数，确定$m$的取值范围；再分两种情况讨论直角三角形的斜边（$AB＜AC$，故$AB$不可能为斜边）：①$BC$为斜边，②$AC$为斜边，分别根据勾股定理列方程求解，舍去不符合$m$取值范围的解，即可得到最终结果。
【解析】
(1) $\because x=2$是方程$x^2 - (2m+3)x + m^2 + 3m + 2 = 0$的一个根，将$x=2$代入方程得：
$4-2(2m+3)+m^2+3m+2=0$
化简得$m^2 - m = 0$，解得$m=0$或$m=1$。
(2) 计算方程的判别式：
$\Delta = b^2-4ac=[-(2m+3)]^2-4(m^2+3m+2)=1＞0$
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根，由求根公式得：
$x=\frac{2m+3\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{2m+3\pm 1}{2}$
解得$x_1=m+2$，$x_2=m+1$。
$\because AB,AC(AB＜AC)$是方程的两个实数根，且为三角形边长，
$\therefore AC=m+2＞0$，$AB=m+1＞0$，解得$m＞-1$。
已知$BC=\sqrt{5}$，$△ ABC$为直角三角形，分两种情况讨论：
① 当$BC$为斜边时，由勾股定理得：$(m+2)^2+(m+1)^2=(\sqrt{5})^2$
化简得$2m^2+6m=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=0$，
$\because m＞-1$，$\therefore m=-3$舍去，保留$m=0$。
② 当$AC$为斜边时，由勾股定理得：$(\sqrt{5})^2+(m+1)^2=(m+2)^2$
化简得$2m=2$，解得$m=1$，符合$m＞-1$的条件。
综上所述，$m$的值为0或1。
【答案】
(1) $m=0$或$m=1$；
(2) $m=0$或$m=1$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 公式法解一元二次方程
3. 勾股定理应用
【点评】
本题是一元二次方程与几何的综合题，解题时要灵活运用方程根的性质，涉及直角三角形边长问题时，需注意斜边的不确定性，要分类讨论，同时不要忽略三角形边长为正的隐含条件，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.6
8 下面是小明同学解方程 $x^2 -5x = -4$ 的过程：
∵ $a=1, b=-5, c=-4$，
∴ $b^2 -4ac = (-5)^2 -4×1×(-4)=41$，
∴ $x=\frac{5±\sqrt{41}}{2}$，
∴ $x_1=\frac{5+\sqrt{41}}{2}, x_2=\frac{5-\sqrt{41}}{2}$。
小明的解答过程是否有错？如有，请写出正确的过程。
∵ $a=1, b=-5, c=-4$，
∴ $b^2 -4ac = (-5)^2 -4×1×(-4)=41$，
∴ $x=\frac{5±\sqrt{41}}{2}$，
∴ $x_1=\frac{5+\sqrt{41}}{2}, x_2=\frac{5-\sqrt{41}}{2}$。
小明的解答过程是否有错？如有，请写出正确的过程。
答案
有错,错在没有将方程化为一般形式,弄错了常数项. 正确的过程如下:
∵ $x^2-5x=-4, \therefore x^2-5x+4=0, \therefore a=1, b=-5, c=4, \therefore b^2-4ac=(-5)^2-4× 1× 4=9＞0, \therefore x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}, \therefore x_1=1, x_2=4$.
∵ $x^2-5x=-4, \therefore x^2-5x+4=0, \therefore a=1, b=-5, c=4, \therefore b^2-4ac=(-5)^2-4× 1× 4=9＞0, \therefore x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}, \therefore x_1=1, x_2=4$.
解析
【分析】
要判断小明的解答是否正确，首先要明确公式法解一元二次方程的前提是先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能对应确定系数$a、b、c$的取值。经检查，小明未对原方程移项整理为一般形式，直接将等号右侧的-4当作常数项$c$，这就是错误根源。解题时先指出错误点，再按照“化一般形式→确定系数→计算判别式→代入求根公式→求解方程的根”的步骤写出正确过程即可。
【解析】
小明的解答过程有错误，错在没有将方程化为一元二次方程的一般形式，导致常数项$c$取值错误。
正确解题步骤：
1. 移项将原方程化为一般形式：$x^2 - 5x + 4 = 0$
2. 确定各项系数：$a=1, b=-5, c=4$
3. 计算判别式：$b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×4 = 25 - 16 = 9 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根
4. 代入求根公式：$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5±\sqrt{9}}{2}=\frac{5±3}{2}$
5. 计算两根：$x_1=\frac{5+3}{2}=4$，$x_2=\frac{5-3}{2}=1$
【答案】
有错,错在没有将方程化为一般形式,弄错了常数项. 正确的过程如下:
∵ $x^2-5x=-4, \therefore x^2-5x+4=0, \therefore a=1, b=-5, c=4, \therefore b^2-4ac=(-5)^2-4× 1× 4=9＞0, \therefore x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}, \therefore x_1=1, x_2=4$.
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的规范操作，易错点是使用求根公式前忽略将方程化为一般形式，错误提取各项系数。解题时严格遵循步骤，先整理方程为一般形式再确认系数，可有效避免此类低级错误。
【难度系数】
0.7
要判断小明的解答是否正确，首先要明确公式法解一元二次方程的前提是先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能对应确定系数$a、b、c$的取值。经检查，小明未对原方程移项整理为一般形式，直接将等号右侧的-4当作常数项$c$，这就是错误根源。解题时先指出错误点，再按照“化一般形式→确定系数→计算判别式→代入求根公式→求解方程的根”的步骤写出正确过程即可。
【解析】
小明的解答过程有错误，错在没有将方程化为一元二次方程的一般形式，导致常数项$c$取值错误。
正确解题步骤：
1. 移项将原方程化为一般形式：$x^2 - 5x + 4 = 0$
2. 确定各项系数：$a=1, b=-5, c=4$
3. 计算判别式：$b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×4 = 25 - 16 = 9 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根
4. 代入求根公式：$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5±\sqrt{9}}{2}=\frac{5±3}{2}$
5. 计算两根：$x_1=\frac{5+3}{2}=4$，$x_2=\frac{5-3}{2}=1$
【答案】
有错,错在没有将方程化为一般形式,弄错了常数项. 正确的过程如下:
∵ $x^2-5x=-4, \therefore x^2-5x+4=0, \therefore a=1, b=-5, c=4, \therefore b^2-4ac=(-5)^2-4× 1× 4=9＞0, \therefore x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}, \therefore x_1=1, x_2=4$.
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的规范操作，易错点是使用求根公式前忽略将方程化为一般形式，错误提取各项系数。解题时严格遵循步骤，先整理方程为一般形式再确认系数，可有效避免此类低级错误。
【难度系数】
0.7
