登录
1[2026 浙江杭州期中,中]若正数$x$满足$x^2 + 3x = 1$,则$x^2 - \dfrac{1}{x^2}$的值为$\quad (\quad)$
A.$3\sqrt{13}$
B.$3\sqrt{11}$
C.$-3\sqrt{13}$
D.$-3\sqrt{11}$
A.$3\sqrt{13}$
B.$3\sqrt{11}$
C.$-3\sqrt{13}$
D.$-3\sqrt{11}$
答案
C
∵ $x^2+3x=1, \therefore x^2+3x-1=0, \therefore b^2-4ac=3^2-4× 1× (-1)=13＞0, \therefore x=\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2}$.
∵ $x$ 是正数, $\therefore x=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$.
∵ 正数 $x$ 满足 $x^2+3x=1, \therefore x+3=\frac{1}{x}, \therefore x^2-\frac{1}{x^2}=x^2-(\frac{1}{x})^2=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})=-3(2x+3)$. 把 $x=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$ 代入 $-3(2x+3)$, 得 $-3× (2× \frac{-3+\sqrt{13}}{2}+3)=-3× \sqrt{13}=-3\sqrt{13}, \therefore x^2-\frac{1}{x^2}=-3\sqrt{13}$, 故选 C.
∵ $x^2+3x=1, \therefore x^2+3x-1=0, \therefore b^2-4ac=3^2-4× 1× (-1)=13＞0, \therefore x=\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2}$.
∵ $x$ 是正数, $\therefore x=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$.
∵ 正数 $x$ 满足 $x^2+3x=1, \therefore x+3=\frac{1}{x}, \therefore x^2-\frac{1}{x^2}=x^2-(\frac{1}{x})^2=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})=-3(2x+3)$. 把 $x=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$ 代入 $-3(2x+3)$, 得 $-3× (2× \frac{-3+\sqrt{13}}{2}+3)=-3× \sqrt{13}=-3\sqrt{13}, \therefore x^2-\frac{1}{x^2}=-3\sqrt{13}$, 故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路思考：首先，已知条件是关于正数x的一元二次方程，所求代数式$x^2-\frac{1}{x^2}$符合平方差的形式，可先因式分解简化计算。第一步，先将已知方程整理为一元二次方程的标准形式，用公式法求出x的正根（因为x是正数，要舍去负根）；第二步，对所求代数式用平方差公式分解，结合已知方程推导出$\frac{1}{x}$关于x的表达式，代入分解后的式子进一步化简，最后将x的正根代入即可算出结果。
【解析】
解：已知正数x满足$x^2 + 3x = 1$，整理得一元二次方程标准形式：$x^2 + 3x - 1 = 0$。
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×(-1) = 13＞0$，
由求根公式得：$x = \frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$，
因为x是正数，所以舍去负根，得$x = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$。
又因为x是正数，$x≠0$，将$x^2 + 3x = 1$两边同时除以x，得：$x + 3 = \frac{1}{x}$。
对所求代数式因式分解：$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})$，
将$\frac{1}{x}=x+3$代入上式：
$x-\frac{1}{x}=x-(x+3)=-3$，
$x+\frac{1}{x}=x+(x+3)=2x+3$，
因此原式$=-3×(2x+3)$。
将$x = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$代入得：
$-3×(2×\frac{-3+\sqrt{13}}{2} + 3) = -3×(-3+\sqrt{13}+3) = -3\sqrt{13}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
公式法解一元二次方程；平方差公式因式分解；代数式化简求值
【点评】
本题将一元二次方程求解和代数式化简结合考查，解题时先对所求代数式因式分解可大幅简化计算过程，解题时需注意题目中x是正数的限制条件，正确取舍一元二次方程的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，可按以下思路思考：首先，已知条件是关于正数x的一元二次方程，所求代数式$x^2-\frac{1}{x^2}$符合平方差的形式，可先因式分解简化计算。第一步，先将已知方程整理为一元二次方程的标准形式，用公式法求出x的正根（因为x是正数，要舍去负根）；第二步，对所求代数式用平方差公式分解，结合已知方程推导出$\frac{1}{x}$关于x的表达式，代入分解后的式子进一步化简，最后将x的正根代入即可算出结果。
【解析】
解：已知正数x满足$x^2 + 3x = 1$，整理得一元二次方程标准形式：$x^2 + 3x - 1 = 0$。
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×(-1) = 13＞0$，
由求根公式得：$x = \frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$，
因为x是正数，所以舍去负根，得$x = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$。
又因为x是正数，$x≠0$，将$x^2 + 3x = 1$两边同时除以x，得：$x + 3 = \frac{1}{x}$。
对所求代数式因式分解：$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})$，
将$\frac{1}{x}=x+3$代入上式：
$x-\frac{1}{x}=x-(x+3)=-3$，
$x+\frac{1}{x}=x+(x+3)=2x+3$，
因此原式$=-3×(2x+3)$。
将$x = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$代入得：
$-3×(2×\frac{-3+\sqrt{13}}{2} + 3) = -3×(-3+\sqrt{13}+3) = -3\sqrt{13}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
公式法解一元二次方程；平方差公式因式分解；代数式化简求值
【点评】
本题将一元二次方程求解和代数式化简结合考查，解题时先对所求代数式因式分解可大幅简化计算过程，解题时需注意题目中x是正数的限制条件，正确取舍一元二次方程的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
2 新考法[2026江苏连云港期末,较难]满足方程$x^2+y^2=2(x+y)+xy$的所有正整数解有 (
A.一组
B.二组
C.三组
D.四组
C
)A.一组
B.二组
C.三组
D.四组
答案
原方程变形为 $x^2-(y+2)x+y^2-2y=0$, 将其视为关于 $x$ 的一元二次方程, 则 $b^2-4ac=(y+2)^2-4(y^2-2y)=-3y^2+12y+4=-3(y^2-4y+4-4)+4=-3(y-2)^2+16$.
∵ 方程 $x^2+y^2=2(x+y)+xy$ 有正整数解,
∴ $b^2-4ac$ 为非负完全平方数, 即 $-3(y-2)^2+16\ge 0$, 且 $y$ 为正整数,
∴ $y$ 的所有可能取值为 1,2,3,4. 当 $y=1$ 时, $-3×(1-2)^2+16=13$, 此时 $x=\frac{1+2\pm \sqrt{13}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$, 不是正整数, 不符合题意, 故舍去; 当 $y=2$ 时, $-3×(2-2)^2+16=16$, 此时 $x=\frac{2+2\pm \sqrt{16}}{2}=2\pm 2, \therefore x_1=4, x_2=0$(舍去), 即方程组的正整数解为 $x=4,y=2$; 当 $y=3$ 时, $-3×(3-2)^2+16=13$, 此时 $x=\frac{3+2\pm \sqrt{13}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$, 不是正整数, 不符合题意, 故舍去; 当 $y=4$ 时, $-3×(4-2)^2+16=4$, 此时 $x=\frac{4+2\pm \sqrt{4}}{2}=3\pm 1, \therefore x_1=4, x_2=2$, 即方程组的正整数解为 $x=4,y=4$ 或 $x=2,y=4$. 综上, 共有三组正整数解, 故选 C.
∵ 方程 $x^2+y^2=2(x+y)+xy$ 有正整数解,
∴ $b^2-4ac$ 为非负完全平方数, 即 $-3(y-2)^2+16\ge 0$, 且 $y$ 为正整数,
∴ $y$ 的所有可能取值为 1,2,3,4. 当 $y=1$ 时, $-3×(1-2)^2+16=13$, 此时 $x=\frac{1+2\pm \sqrt{13}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$, 不是正整数, 不符合题意, 故舍去; 当 $y=2$ 时, $-3×(2-2)^2+16=16$, 此时 $x=\frac{2+2\pm \sqrt{16}}{2}=2\pm 2, \therefore x_1=4, x_2=0$(舍去), 即方程组的正整数解为 $x=4,y=2$; 当 $y=3$ 时, $-3×(3-2)^2+16=13$, 此时 $x=\frac{3+2\pm \sqrt{13}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$, 不是正整数, 不符合题意, 故舍去; 当 $y=4$ 时, $-3×(4-2)^2+16=4$, 此时 $x=\frac{4+2\pm \sqrt{4}}{2}=3\pm 1, \therefore x_1=4, x_2=2$, 即方程组的正整数解为 $x=4,y=4$ 或 $x=2,y=4$. 综上, 共有三组正整数解, 故选 C.
解析
【分析】
本题是二元二次不定方程求正整数解的问题，解题思路如下：首先将方程整理为关于其中一个未知数（如x）的一元二次方程，把另一个未知数（y）当作常数；其次，一元二次方程有正整数解的前提是判别式非负，且判别式为完全平方数，据此可求出y的取值范围；最后对y的所有可能正整数值逐一验证，求出对应的x是否为正整数，统计符合条件的解的个数即可。
【解析】
先对原方程变形整理：
$x^2+y^2=2(x+y)+xy$
移项得：$x^2-(y+2)x + y^2 - 2y = 0$
将其视为关于$x$的一元二次方程，其中$a=1$，$b=-(y+2)$，$c=y^2-2y$，则判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (y+2)^2 - 4×1×(y^2-2y) = -3y^2+12y+4 = -3(y-2)^2+16$
∵方程有正整数解，
∴$\Delta$为非负完全平方数，且$y$是正整数
即$-3(y-2)^2+16≥0$，解得$(y-2)^2≤\frac{16}{3}\approx5.33$
∴正整数$y$的可能取值为1、2、3、4，逐一代入验证：
1. 当$y=1$时，$\Delta=-3×(1-2)^2+16=13$，不是完全平方数，代入求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$，不是正整数，舍去；
2. 当$y=2$时，$\Delta=-3×(2-2)^2+16=16$，是完全平方数，代入求根公式得$x=\frac{2+2\pm\sqrt{16}}{2}=2\pm2$，正整数解为$x=4$，即解为$\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}$；
3. 当$y=3$时，$\Delta=-3×(3-2)^2+16=13$，不是完全平方数，代入得$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$，不是正整数，舍去；
4. 当$y=4$时，$\Delta=-3×(4-2)^2+16=4$，是完全平方数，代入求根公式得$x=\frac{4+2\pm\sqrt{4}}{2}=3\pm1$，正整数解为$x=4$或$x=2$，即解为$\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$、$\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}$。
综上，符合条件的正整数解共有3组。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 不定方程整数解求解
3. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题将二元不定方程和一元二次方程知识结合考查，解题关键是通过主元法将二元方程转化为一元二次方程，利用判别式的性质缩小未知数的取值范围，再通过枚举验证得到所有解，能有效锻炼学生的知识迁移应用和分类讨论能力。
【难度系数】
0.4
本题是二元二次不定方程求正整数解的问题，解题思路如下：首先将方程整理为关于其中一个未知数（如x）的一元二次方程，把另一个未知数（y）当作常数；其次，一元二次方程有正整数解的前提是判别式非负，且判别式为完全平方数，据此可求出y的取值范围；最后对y的所有可能正整数值逐一验证，求出对应的x是否为正整数，统计符合条件的解的个数即可。
【解析】
先对原方程变形整理：
$x^2+y^2=2(x+y)+xy$
移项得：$x^2-(y+2)x + y^2 - 2y = 0$
将其视为关于$x$的一元二次方程，其中$a=1$，$b=-(y+2)$，$c=y^2-2y$，则判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (y+2)^2 - 4×1×(y^2-2y) = -3y^2+12y+4 = -3(y-2)^2+16$
∵方程有正整数解，
∴$\Delta$为非负完全平方数，且$y$是正整数
即$-3(y-2)^2+16≥0$，解得$(y-2)^2≤\frac{16}{3}\approx5.33$
∴正整数$y$的可能取值为1、2、3、4，逐一代入验证：
1. 当$y=1$时，$\Delta=-3×(1-2)^2+16=13$，不是完全平方数，代入求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$，不是正整数，舍去；
2. 当$y=2$时，$\Delta=-3×(2-2)^2+16=16$，是完全平方数，代入求根公式得$x=\frac{2+2\pm\sqrt{16}}{2}=2\pm2$，正整数解为$x=4$，即解为$\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}$；
3. 当$y=3$时，$\Delta=-3×(3-2)^2+16=13$，不是完全平方数，代入得$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$，不是正整数，舍去；
4. 当$y=4$时，$\Delta=-3×(4-2)^2+16=4$，是完全平方数，代入求根公式得$x=\frac{4+2\pm\sqrt{4}}{2}=3\pm1$，正整数解为$x=4$或$x=2$，即解为$\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$、$\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}$。
综上，符合条件的正整数解共有3组。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 不定方程整数解求解
3. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题将二元不定方程和一元二次方程知识结合考查，解题关键是通过主元法将二元方程转化为一元二次方程，利用判别式的性质缩小未知数的取值范围，再通过枚举验证得到所有解，能有效锻炼学生的知识迁移应用和分类讨论能力。
【难度系数】
0.4
3[2026浙江宁波调研,中]已知A,B的坐标分别为$(-2,0),(4,0)$,点P在直线$y=\frac{1}{2}x+2$上,若$△ ABP$为等腰三角形,则这样的P点共有
5
个.答案
设 $P(m, \frac{1}{2}m+2)$. 因为 $A,B$ 的坐标分别为 $(-2,0),(4,0)$, 所以 ① 当 $PA=PB$ 时, $m=\frac{-2+4}{2}=1$, 故此时有一个 $P$ 点; ② 当 $AB=AP$ 时, $(m+2)^2+(\frac{1}{2}m+2)^2=(4+2)^2$, 解得 $m=\frac{-12\pm 8\sqrt{11}}{5}$, 故此时有两个 $P$ 点; ③ 当 $AB=PB$ 时, $(m-4)^2+(\frac{1}{2}m+2)^2=6^2$, 解得 $m=\frac{12\pm 4\sqrt{29}}{5}$, 故此时有两个 $P$ 点. 综上, 这样的 $P$ 点共有 5 个. 故答案为 5.
解析
【分析】
要解决等腰三角形存在性问题，首先需明确：未指定等腰三角形的腰和底边时，要分三类讨论：①$PA=PB$（P为顶角顶点）；②$AB=AP$（A为顶角顶点）；③$AB=PB$（B为顶角顶点）。已知点P在给定直线上，可先设出P点坐标，再结合A、B坐标，利用两点间距离公式分别列方程求解，最后统计所有符合条件的解的个数即可。
【解析】
设点P的坐标为$(m, \frac{1}{2}m+2)$。
已知$A(-2,0)$，$B(4,0)$，则$AB=4-(-2)=6$，分三种情况讨论：
① 当$PA=PB$时，点P在AB的垂直平分线上，AB中点的横坐标为$\frac{-2+4}{2}=1$，即$m=1$，对应1个符合条件的P点；
② 当$AB=AP$时，由两点间距离公式得：$(m+2)^2+(\frac{1}{2}m+2)^2=6^2$，整理为一元二次方程后用公式法解得$m=\frac{-12\pm 8\sqrt{11}}{5}$，对应2个符合条件的P点；
③ 当$AB=PB$时，同理列方程：$(m-4)^2+(\frac{1}{2}m+2)^2=6^2$，解得$m=\frac{12\pm 4\sqrt{29}}{5}$，对应2个符合条件的P点。
经检验，上述5个点均不重合，无无效解，总个数为$1+2+2=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形分类讨论；两点间距离公式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考察分类讨论思想的应用，将等腰三角形的边长关系转化为方程求解是解题关键，解题时需注意不要漏分情况，同时要检验解的有效性，避免出现重复或共线的无效解。
【难度系数】
0.6
要解决等腰三角形存在性问题，首先需明确：未指定等腰三角形的腰和底边时，要分三类讨论：①$PA=PB$（P为顶角顶点）；②$AB=AP$（A为顶角顶点）；③$AB=PB$（B为顶角顶点）。已知点P在给定直线上，可先设出P点坐标，再结合A、B坐标，利用两点间距离公式分别列方程求解，最后统计所有符合条件的解的个数即可。
【解析】
设点P的坐标为$(m, \frac{1}{2}m+2)$。
已知$A(-2,0)$，$B(4,0)$，则$AB=4-(-2)=6$，分三种情况讨论：
① 当$PA=PB$时，点P在AB的垂直平分线上，AB中点的横坐标为$\frac{-2+4}{2}=1$，即$m=1$，对应1个符合条件的P点；
② 当$AB=AP$时，由两点间距离公式得：$(m+2)^2+(\frac{1}{2}m+2)^2=6^2$，整理为一元二次方程后用公式法解得$m=\frac{-12\pm 8\sqrt{11}}{5}$，对应2个符合条件的P点；
③ 当$AB=PB$时，同理列方程：$(m-4)^2+(\frac{1}{2}m+2)^2=6^2$，解得$m=\frac{12\pm 4\sqrt{29}}{5}$，对应2个符合条件的P点。
经检验，上述5个点均不重合，无无效解，总个数为$1+2+2=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形分类讨论；两点间距离公式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考察分类讨论思想的应用，将等腰三角形的边长关系转化为方程求解是解题关键，解题时需注意不要漏分情况，同时要检验解的有效性，避免出现重复或共线的无效解。
【难度系数】
0.6
4[2026河南洛阳期中,中]将关于$x$的一元二次方程$x^2 - px + q = 0$变形为$x^2 = px - q$，就可以将$x^2$表示为关于$x$的一次多项式，从而达到“降次”的目的，则$x^3 = x · x^2 = x(px - q)$，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.已知$x^2 - x - 1 = 0$，且$x＞0$，则$x^3 - 2x^2 + 2x + 1$的值为
1+√5
.答案
∵ $x^2-x-1=0, \therefore x^2=x+1, \therefore x^3=x· x^2=x(x+1)=x^2+x=2x+1, \therefore x^3-2x^2+2x+1=2x+1-2(x+1)+2x+1=2x$. 在 $x^2-x-1=0$ 中, $a=1, b=-1, c=-1, \therefore b^2-4ac=1+4=5$.
∵ $x＞0, \therefore x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \therefore x^3-2x^2+2x+1=2x=2× \frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}$, 故答案为 $1+\sqrt{5}$.
解析
【分析】
解题时先利用题目给出的“降次法”思路，首先根据已知方程$x^2 - x - 1 = 0$推导得到$x^2 = x + 1$，再将三次项$x^3$也转化为关于$x$的一次式；接着把待求代数式中的三次项、二次项全部替换为一次式或常数，化简后得到仅含$x$的一次式；最后用公式法求出已知方程的正根，代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because x^2 - x - 1 = 0$，
$\therefore x^2 = x + 1$，
$\therefore x^3 = x· x^2 = x(x + 1) = x^2 + x = (x + 1) + x = 2x + 1$，
将$x^3=2x+1$、$x^2=x+1$代入待求式：
$\begin{aligned}x^3 - 2x^2 + 2x + 1&=(2x + 1) - 2(x + 1) + 2x + 1\\&=2x + 1 - 2x - 2 + 2x + 1\\&=2x\end{aligned}$
再解一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 5$，
$\because x＞0$，
$\therefore x = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore$原式$=2x = 2×\frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1+\sqrt{5}$。
【答案】
$1+\sqrt{5}$
【知识点】
降次法化简代数式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查降次思想在高次代数式化简中的应用，以及一元二次方程求根公式的掌握，解题核心是通过已知方程实现高次项向低次项的转化，降低计算难度，需要注意根据$x＞0$的条件选取正确的根代入计算。
【难度系数】
0.6
解题时先利用题目给出的“降次法”思路，首先根据已知方程$x^2 - x - 1 = 0$推导得到$x^2 = x + 1$，再将三次项$x^3$也转化为关于$x$的一次式；接着把待求代数式中的三次项、二次项全部替换为一次式或常数，化简后得到仅含$x$的一次式；最后用公式法求出已知方程的正根，代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because x^2 - x - 1 = 0$，
$\therefore x^2 = x + 1$，
$\therefore x^3 = x· x^2 = x(x + 1) = x^2 + x = (x + 1) + x = 2x + 1$，
将$x^3=2x+1$、$x^2=x+1$代入待求式：
$\begin{aligned}x^3 - 2x^2 + 2x + 1&=(2x + 1) - 2(x + 1) + 2x + 1\\&=2x + 1 - 2x - 2 + 2x + 1\\&=2x\end{aligned}$
再解一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 5$，
$\because x＞0$，
$\therefore x = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore$原式$=2x = 2×\frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1+\sqrt{5}$。
【答案】
$1+\sqrt{5}$
【知识点】
降次法化简代数式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查降次思想在高次代数式化简中的应用，以及一元二次方程求根公式的掌握，解题核心是通过已知方程实现高次项向低次项的转化，降低计算难度，需要注意根据$x＞0$的条件选取正确的根代入计算。
【难度系数】
0.6
5[2026江苏南京期末,较难]我们把关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$与$cx^2+bx+a=0(ac≠0,a≠c)$称为一对“友好方程”,如$2x^2+7x-3=0$的“友好方程”是$-3x^2+7x+2=0$.现在来探究方程的根的特点,当$b^2-4ac≥0$时,方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,其“友好方程”$cx^2+bx+a=0$的两根为$x_3=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$,$x_4=$
,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,其“友好方程”$cx^2+bx+a=0$的两根为$x_3=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$,$x_4=$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$
,观察可以知道$x_1,x_3,x_2,x_4$之间存在的一种特殊关系为$x_1 · x_4 = x_2 · x_3$
.答案
根据求根公式可知, 方程 $cx^2+bx+a=0$ 的两根为 $x_3=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}, x_4=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$. 由题意得, $x_1 · x_4=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} · \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{2a · 2c}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4ac}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4ac}=1$, $x_2 · x_3=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} · \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{2a · 2c}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4ac}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4ac}=1, \therefore x_1 · x_4 = x_2 · x_3$, 故答案为 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}, x_1 · x_4 = x_2 · x_3$.
解析
【分析】
本题分两步求解，首先求“友好方程”的第二个根，可直接套用一元二次方程求根公式：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0,\Delta≥0)$，两根为$x=\frac{-B±\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$，代入友好方程的对应系数即可得到$x_4$。其次探究四个根的特殊关系，观察四个根的表达式，分子均为带±的根式结构，可尝试计算交叉乘积，借助平方差公式化简即可发现乘积的规律，得到根的关系。
【解析】
1. 求$x_4$：对于“友好方程”$cx^2+bx+a=0$，二次项系数为$c$，一次项系数为$b$，常数项为$a$，判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，根据求根公式，两根为$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$，已知$x_3=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$，因此另一个根$x_4=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$。
2. 探究根的关系：
分别计算交叉乘积：
$x_1 · x_4=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} · \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，分子化简为$(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2=b^2-(b^2-4ac)=4ac$，分母为$2a·2c=4ac$，因此$x_1·x_4=\frac{4ac}{4ac}=1$。
同理计算$x_2 · x_3=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} · \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$，用平方差公式化简后，也可得$x_2·x_3=1$。
因此可得$x_1·x_4=x_2·x_3$。
【答案】
$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$；$x_1· x_4=x_2· x_3$
【知识点】
一元二次方程求根公式；平方差公式；代数式化简
【点评】
本题结合新定义“友好方程”考查一元二次方程相关知识，解题核心是熟练掌握求根公式的应用，同时能灵活运用平方差公式对含根号的代数式进行化简，很好地考查了学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
本题分两步求解，首先求“友好方程”的第二个根，可直接套用一元二次方程求根公式：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0,\Delta≥0)$，两根为$x=\frac{-B±\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$，代入友好方程的对应系数即可得到$x_4$。其次探究四个根的特殊关系，观察四个根的表达式，分子均为带±的根式结构，可尝试计算交叉乘积，借助平方差公式化简即可发现乘积的规律，得到根的关系。
【解析】
1. 求$x_4$：对于“友好方程”$cx^2+bx+a=0$，二次项系数为$c$，一次项系数为$b$，常数项为$a$，判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，根据求根公式，两根为$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$，已知$x_3=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$，因此另一个根$x_4=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$。
2. 探究根的关系：
分别计算交叉乘积：
$x_1 · x_4=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} · \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，分子化简为$(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2=b^2-(b^2-4ac)=4ac$，分母为$2a·2c=4ac$，因此$x_1·x_4=\frac{4ac}{4ac}=1$。
同理计算$x_2 · x_3=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} · \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$，用平方差公式化简后，也可得$x_2·x_3=1$。
因此可得$x_1·x_4=x_2·x_3$。
【答案】
$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$；$x_1· x_4=x_2· x_3$
【知识点】
一元二次方程求根公式；平方差公式；代数式化简
【点评】
本题结合新定义“友好方程”考查一元二次方程相关知识，解题核心是熟练掌握求根公式的应用，同时能灵活运用平方差公式对含根号的代数式进行化简，很好地考查了学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
6 新考法[2026江苏无锡质检,中]刘徽在《九章算术注》中指出:“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失
矣”,这里所用的割圆术体现的是一种无限与有限的转化的思想,比如将0.$\dot{7}$化成分数,设0.$\dot{7}=x$,则有$10x=7.\dot{7}$,得到$10x=7+x$,解得$x=\frac{7}{9}$.
(1)类比上述方法,则$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+···}}}$=
(2)现有一个无限连分数$2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{···}}}$,它的每一个分母都与原数完全一样,求此数的值.
矣”,这里所用的割圆术体现的是一种无限与有限的转化的思想,比如将0.$\dot{7}$化成分数,设0.$\dot{7}=x$,则有$10x=7.\dot{7}$,得到$10x=7+x$,解得$x=\frac{7}{9}$.
(1)类比上述方法,则$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+···}}}$=
3
;(2)现有一个无限连分数$2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{···}}}$,它的每一个分母都与原数完全一样,求此数的值.
答案
(1) 设 $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+···}}}=x$, 两边平方得 $6+x=x^2$, 整理得 $x^2-x-6=0$, 解得 $x_1=3, x_2=-2$(舍去), 所以 $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+···}}}=3$. 故答案为 3.
(2) 设 $y=2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{···}}}$. 根据题意, 可得 $y=2+\frac{2}{y}$, 解得 $y=1+\sqrt{3}$ 或 $y=1-\sqrt{3}$, 所以此数的值为 $1+\sqrt{3}$ 或 $1-\sqrt{3}$.
(2) 设 $y=2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{···}}}$. 根据题意, 可得 $y=2+\frac{2}{y}$, 解得 $y=1+\sqrt{3}$ 或 $y=1-\sqrt{3}$, 所以此数的值为 $1+\sqrt{3}$ 或 $1-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题运用无限与有限转化的思想解题，对于无限重复结构的式子，其无限重复部分和原式本身数值相等，我们可以通过设未知数将无限式子转化为有限方程求解，最后结合式子的意义取舍解。
(1) 待求式是无限嵌套的算术平方根，根号内的无限部分和原式完全相同，设原式为x，两边平方即可得到关于x的一元二次方程，结合算术平方根非负舍去不符合的解即可；
(2) 无限连分数的分母部分就是原式本身，设原式为y，即可列出关于y的分式方程，转化为一元二次方程求解即可。
【解析】
(1) 设$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+···}}}=x$，
由于式子无限嵌套，根号下的$\sqrt{6+\sqrt{6+···}}$与原式相等，即也为x，
将等式两边平方得：$x^2=6+x$，
整理得$x^2-x-6=0$，
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$，
因为算术平方根的结果为非负数，所以舍去$x=-2$，
故$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+···}}}=3$。
(2) 设这个无限连分数的值为$y$，即$y=2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{···}}}$，
由于式子无限迭代，分母处的$2+\frac{2}{2+\frac{2}{···}}$与原式相等，即也为$y$，
代入得$y=2+\frac{2}{y}$，
两边同乘$y$（$y≠0$）去分母得$y^2=2y+2$，
整理得$y^2-2y-2=0$，
由求根公式得$y=\frac{2±\sqrt{(-2)^2-4×1×(-2)}}{2×1}=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}=1±\sqrt{3}$，
经检验$y=1+\sqrt{3}$和$y=1-\sqrt{3}$都是原方程的解，
故此数的值为$1+\sqrt{3}$或$1-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{1+\sqrt{3}}$或$\boxed{1-\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 无限转化思想
3. 分式方程求解
【点评】
本题结合传统数学文化设计，将陌生的无限结构式子转化为熟悉的方程问题求解，能让学生体会数学转化思想的实用性，同时也考查了一元二次方程、分式方程的求解能力。
【难度系数】
0.6
本题运用无限与有限转化的思想解题，对于无限重复结构的式子，其无限重复部分和原式本身数值相等，我们可以通过设未知数将无限式子转化为有限方程求解，最后结合式子的意义取舍解。
(1) 待求式是无限嵌套的算术平方根，根号内的无限部分和原式完全相同，设原式为x，两边平方即可得到关于x的一元二次方程，结合算术平方根非负舍去不符合的解即可；
(2) 无限连分数的分母部分就是原式本身，设原式为y，即可列出关于y的分式方程，转化为一元二次方程求解即可。
【解析】
(1) 设$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+···}}}=x$，
由于式子无限嵌套，根号下的$\sqrt{6+\sqrt{6+···}}$与原式相等，即也为x，
将等式两边平方得：$x^2=6+x$，
整理得$x^2-x-6=0$，
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$，
因为算术平方根的结果为非负数，所以舍去$x=-2$，
故$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+···}}}=3$。
(2) 设这个无限连分数的值为$y$，即$y=2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{···}}}$，
由于式子无限迭代，分母处的$2+\frac{2}{2+\frac{2}{···}}$与原式相等，即也为$y$，
代入得$y=2+\frac{2}{y}$，
两边同乘$y$（$y≠0$）去分母得$y^2=2y+2$，
整理得$y^2-2y-2=0$，
由求根公式得$y=\frac{2±\sqrt{(-2)^2-4×1×(-2)}}{2×1}=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}=1±\sqrt{3}$，
经检验$y=1+\sqrt{3}$和$y=1-\sqrt{3}$都是原方程的解，
故此数的值为$1+\sqrt{3}$或$1-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{1+\sqrt{3}}$或$\boxed{1-\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 无限转化思想
3. 分式方程求解
【点评】
本题结合传统数学文化设计，将陌生的无限结构式子转化为熟悉的方程问题求解，能让学生体会数学转化思想的实用性，同时也考查了一元二次方程、分式方程的求解能力。
【难度系数】
0.6
7[2026江苏无锡梁溪区模拟,中]阅读下面的例题,并解决问题.
分解因式:$x^2+2x-1$.
令$x^2+2x-1=0$,得到一个关于$x$的一元二次方程.
$\because a=1, b=2, c=-1, \therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}, \therefore$方程的解为$x_1=-1+\sqrt{2}, x_2=-1-\sqrt{2}, \therefore x^2+2x-1=(x-x_1)(x-x_2)=[x-(-1+\sqrt{2})]·[x-(-1-\sqrt{2})]=(x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})$.
这种因式分解的方法叫求根法,请你利用这种方法完成下面的问题:
(1)已知代数式$x^2-2x-k$对应的方程的解为$-3$和$5$,则代数式$x^2-2x-k$分解后为
(2)将代数式$x^2-3x+1$分解因式.
分解因式:$x^2+2x-1$.
令$x^2+2x-1=0$,得到一个关于$x$的一元二次方程.
$\because a=1, b=2, c=-1, \therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}, \therefore$方程的解为$x_1=-1+\sqrt{2}, x_2=-1-\sqrt{2}, \therefore x^2+2x-1=(x-x_1)(x-x_2)=[x-(-1+\sqrt{2})]·[x-(-1-\sqrt{2})]=(x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})$.
这种因式分解的方法叫求根法,请你利用这种方法完成下面的问题:
(1)已知代数式$x^2-2x-k$对应的方程的解为$-3$和$5$,则代数式$x^2-2x-k$分解后为
$(x+3)(x-5)$
,$k$的值为15
;(2)将代数式$x^2-3x+1$分解因式.
答案
(1)
∵ 代数式 $x^2-2x-k$ 对应的方程的解为 -3 和 5,
∴ 代数式 $x^2-2x-k$ 分解后为 $(x+3)(x-5)$.
∵ $(x+3)(x-5)=x^2-2x-15, \therefore k=15$, 故答案为 $(x+3)(x-5), 15$.
(2) 令 $x^2-3x+1=0$, 得到一个关于 $x$ 的一元二次方程.
∵ $a=1, b=-3, c=1, \therefore x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm \sqrt{9-4× 1× 1}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}, \therefore$ 方程的解为 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \therefore x^2-3x+1=(x-x_1)(x-x_2)=(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2})$.
∵ 代数式 $x^2-2x-k$ 对应的方程的解为 -3 和 5,
∴ 代数式 $x^2-2x-k$ 分解后为 $(x+3)(x-5)$.
∵ $(x+3)(x-5)=x^2-2x-15, \therefore k=15$, 故答案为 $(x+3)(x-5), 15$.
(2) 令 $x^2-3x+1=0$, 得到一个关于 $x$ 的一元二次方程.
∵ $a=1, b=-3, c=1, \therefore x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm \sqrt{9-4× 1× 1}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}, \therefore$ 方程的解为 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \therefore x^2-3x+1=(x-x_1)(x-x_2)=(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2})$.
解析
【分析】
本题是材料阅读类题型，需先掌握例题给出的求根法因式分解的逻辑：若二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两个根为$x_1$、$x_2$，则二次三项式$x^2+bx+c$可分解为$(x-x_1)(x-x_2)$。
(1) 已知二次三项式对应方程的两个根，直接套用上述关系即可写出分解结果，再将分解后的式子展开和原式对比就能求出$k$的值；
(2) 仿照例题步骤，先令二次三项式等于0得到一元二次方程，用求根公式算出方程的两个根，再代入因式分解的形式即可得到结果。
【解析】
(1) 已知代数式$x^2-2x-k$对应的方程的解为$x_1=-3$，$x_2=5$，根据求根法因式分解的规则：
$x^2-2x-k=(x-x_1)(x-x_2)=[x-(-3)](x-5)=(x+3)(x-5)$
将$(x+3)(x-5)$展开得：$x^2-5x+3x-15=x^2-2x-15$，和原式$x^2-2x-k$对比可得：$-k=-15$，即$k=15$。
(2) 令$x^2-3x+1=0$，得到关于$x$的一元二次方程，其中$a=1$，$b=-3$，$c=1$。
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×1×1}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
即方程的两个根为$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
因此$x^2-3x+1=(x-x_1)(x-x_2)=(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2})$
【答案】
(1) $(x+3)(x-5)$；$15$
(2) $(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2})$
【知识点】
1. 求根法因式分解
2. 一元二次方程求根公式
3. 因式分解应用
【点评】
本题属于新方法应用类题型，需要先读懂材料给出的求根法因式分解的规则，再结合已学的一元二次方程相关知识解决问题，侧重考查知识迁移能力和阅读理解能力，掌握方法后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
本题是材料阅读类题型，需先掌握例题给出的求根法因式分解的逻辑：若二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两个根为$x_1$、$x_2$，则二次三项式$x^2+bx+c$可分解为$(x-x_1)(x-x_2)$。
(1) 已知二次三项式对应方程的两个根，直接套用上述关系即可写出分解结果，再将分解后的式子展开和原式对比就能求出$k$的值；
(2) 仿照例题步骤，先令二次三项式等于0得到一元二次方程，用求根公式算出方程的两个根，再代入因式分解的形式即可得到结果。
【解析】
(1) 已知代数式$x^2-2x-k$对应的方程的解为$x_1=-3$，$x_2=5$，根据求根法因式分解的规则：
$x^2-2x-k=(x-x_1)(x-x_2)=[x-(-3)](x-5)=(x+3)(x-5)$
将$(x+3)(x-5)$展开得：$x^2-5x+3x-15=x^2-2x-15$，和原式$x^2-2x-k$对比可得：$-k=-15$，即$k=15$。
(2) 令$x^2-3x+1=0$，得到关于$x$的一元二次方程，其中$a=1$，$b=-3$，$c=1$。
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×1×1}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
即方程的两个根为$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
因此$x^2-3x+1=(x-x_1)(x-x_2)=(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2})$
【答案】
(1) $(x+3)(x-5)$；$15$
(2) $(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2})$
【知识点】
1. 求根法因式分解
2. 一元二次方程求根公式
3. 因式分解应用
【点评】
本题属于新方法应用类题型，需要先读懂材料给出的求根法因式分解的规则，再结合已学的一元二次方程相关知识解决问题，侧重考查知识迁移能力和阅读理解能力，掌握方法后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
