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1[2025黑龙江大庆校级期中]如图,有一个直角三角形纸板破损了一个角,如果把它补成完整的三角形纸板,需要补的角的度数是 (
A.$45°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$25°$
B
)A.$45°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$25°$
答案
1.B 【解析】
∵直角三角形的两锐角互余,
∴ 需要补的角的度数为 90°−55°=35°,故选 B.
∵直角三角形的两锐角互余,
∴ 需要补的角的度数为 90°−55°=35°,故选 B.
2 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=2∠ B$，则$∠ A=$（
A.$60°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$90°$
A
）A.$60°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$90°$
答案
2.A 【解析】在Rt△ABC 中, ∠C=90°,
∴ ∠A+∠B = 90°.
∵ ∠A = 2∠B,
∴ 3∠B = 90°,
∴ ∠B=30°,
∴ ∠A=60°. 故选 A.
∴ ∠A+∠B = 90°.
∵ ∠A = 2∠B,
∴ 3∠B = 90°,
∴ ∠B=30°,
∴ ∠A=60°. 故选 A.
3[2026北京海淀区期末]如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若∠BCD=36°，则∠A的度数为（
A.36°
B.44°
C.27°
D.54°
C
）A.36°
B.44°
C.27°
D.54°
答案
3.C 【解析】
∵ CD 平分∠ACB,
∴ ∠ACB = 2∠BCD=2×36°=72°.
∵ BD ⊥ CD,
∴ ∠BDC = 90°,
∴ ∠CBD = 90°−∠DCB = 90°−36° = 54°. 在△BAC 中, ∠A+∠ABC+∠ACB = 180°,即∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACB = 180°,
∴ ∠A+∠A+54°+72°=180°,
∴ ∠A=27°. 故选 C.
∵ CD 平分∠ACB,
∴ ∠ACB = 2∠BCD=2×36°=72°.
∵ BD ⊥ CD,
∴ ∠BDC = 90°,
∴ ∠CBD = 90°−∠DCB = 90°−36° = 54°. 在△BAC 中, ∠A+∠ABC+∠ACB = 180°,即∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACB = 180°,
∴ ∠A+∠A+54°+72°=180°,
∴ ∠A=27°. 故选 C.
4 [2026 云南丽江期末]如图，在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，CD是$△ ABC$的角平分线，过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E，若$∠ ABE=16°$，则$∠ ABC$的度数为
58°
。答案
4.58° 【解析】由题意得∠E = 90°, ∠ADC = ∠BDE.
∵ ∠A = 90°, 90°−∠ADC = 90°−∠BDE,
∴ ∠ACD = ∠ABE = 16°. 又
∵ CD 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠ACB = 2∠ACD = 2×16°=32°,
∴ ∠ABC = 90°−∠ACB = 90°−32°=58°,故答案为 58°.
∵ ∠A = 90°, 90°−∠ADC = 90°−∠BDE,
∴ ∠ACD = ∠ABE = 16°. 又
∵ CD 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠ACB = 2∠ACD = 2×16°=32°,
∴ ∠ABC = 90°−∠ACB = 90°−32°=58°,故答案为 58°.
5 如图,在△ABC中,∠BAC = 90°,BD平分∠ABC.
(1)若∠C=40°,求∠ADB的度数.
(2)在图中画出△ABC的边BC上的高AE,与BD交于点F.试说明:①∠BAE=∠C;②∠AFD=∠ADF.
(1)若∠C=40°,求∠ADB的度数.
(2)在图中画出△ABC的边BC上的高AE,与BD交于点F.试说明:①∠BAE=∠C;②∠AFD=∠ADF.
答案
5.【解】(1)在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=40°,
∴ ∠ABC=90°−40°=50°.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=25°,
∴ ∠ADB=90°−∠ABD=65°.
(2)如图所示.
①
∵ AE 是 BC 边上的高线,
∴ ∠AEC=90°,
∴ ∠C+∠CAE=90°.
∵ ∠BAC = 90°,
∴ ∠BAE + ∠CAE=90°,
∴ ∠BAE=∠C.
②
∵ AE 是 BC 边上的高线,
∴ ∠AEB=90°,
∴ ∠DBC+∠BFE = 90°.
∵ ∠BFE=∠AFD,∠ABD = ∠DBC,
∴ ∠AFD + ∠ABD = 90°.
∵ ∠ABD+∠ADF=90°,
∴ ∠AFD=∠ADF.
6[2026河南南阳期末]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=∠ BCD$,则$△ BDC$是 (
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
C
)A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
答案
6.C 【解析】在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,
∴ ∠A+∠B = 180°−∠ACB = 180°−90°=90°.又
∵ ∠A = ∠BCD,
∴ ∠B + ∠BCD = 90°,
∴ ∠BDC = 180°−(∠B+∠BCD) = 180°−90°=90°,
∴ △BDC 是直角三角形. 故选 C.
∴ ∠A+∠B = 180°−∠ACB = 180°−90°=90°.又
∵ ∠A = ∠BCD,
∴ ∠B + ∠BCD = 90°,
∴ ∠BDC = 180°−(∠B+∠BCD) = 180°−90°=90°,
∴ △BDC 是直角三角形. 故选 C.
7 [2026 山东东营质检]在下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=∠B=2∠C;④∠A=90°−∠B;⑤∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC为直角三角形的条件有
3
个.答案
7.3 【解析】①
∵ ∠A+∠B = ∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A+∠B = ∠C = $\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴ △ABC 为直角三角形,故①符合题意;
②
∵ ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3,
∴ ∠C = $\frac{3}{6}$ ×180°=90°,
∴ △ABC 为直角三角形,故②符合题意;③
∵ ∠A=∠B=2∠C,
∴ ∠A=∠B=$\frac{2}{5}$×180°=72°,∠C = $\frac{1}{5}$×180°=36°,
∴ △ABC 不是直角三角形,故③不符合题意; ④
∵ ∠A = 90°−∠B,
∴ ∠A+∠B = 90°,
∴ ∠C = 180°−(∠A+∠B)=90°,
∴ △ABC 为直角三角形,故④符合题意; ⑤
∵ ∠A = ∠B = ∠C,
∴ ∠A = ∠B = ∠C = $\frac{1}{3}$×180°=60°,
∴ △ABC 不是直角三角形,故⑤不符合题意. 综上,符合题意的有①②④,故答案为 3.
∵ ∠A+∠B = ∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A+∠B = ∠C = $\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴ △ABC 为直角三角形,故①符合题意;
②
∵ ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3,
∴ ∠C = $\frac{3}{6}$ ×180°=90°,
∴ △ABC 为直角三角形,故②符合题意;③
∵ ∠A=∠B=2∠C,
∴ ∠A=∠B=$\frac{2}{5}$×180°=72°,∠C = $\frac{1}{5}$×180°=36°,
∴ △ABC 不是直角三角形,故③不符合题意; ④
∵ ∠A = 90°−∠B,
∴ ∠A+∠B = 90°,
∴ ∠C = 180°−(∠A+∠B)=90°,
∴ △ABC 为直角三角形,故④符合题意; ⑤
∵ ∠A = ∠B = ∠C,
∴ ∠A = ∠B = ∠C = $\frac{1}{3}$×180°=60°,
∴ △ABC 不是直角三角形,故⑤不符合题意. 综上,符合题意的有①②④,故答案为 3.
8[2026湖北武汉期中]如图所示,在$△ ABC$中,AD是BC边上的高,E是AB边上一点,CE交AD于点M,且$∠ DCM=∠ MAE$,求证:$△ AEM$是直角三角形.
刷易错 小心有坑~
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答案
8.【证明】
∵ AD 是 BC 边上的高,
∴ ∠MDC=90°,
∴ ∠DMC+∠DCM=90°.
∵ ∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME,
∴ ∠AME+∠MAE=90°,
∴ △AEM 是直角三角形.
∵ AD 是 BC 边上的高,
∴ ∠MDC=90°,
∴ ∠DMC+∠DCM=90°.
∵ ∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME,
∴ ∠AME+∠MAE=90°,
∴ △AEM 是直角三角形.
9[2026重庆沙坪坝区质检]在$△ ABC$中,$∠ A=15°,∠ C=65°$,点$D$在$AC$边上,连接$BD$,若$△ ABD$为直角三角形,则$∠ DBC$的度数为
10°或25°
.答案
9.10°或25° 【解析】如图,当∠ADB = 90°时,∠CDB=90°,
∴ ∠DBC=90°−∠C=90°−65°=25°; 当∠ABD' = 90°时,∠AD'B = 90°−∠A = 90°−15°=75°,
∴ ∠BD'C = 105°,
∴ ∠D'BC = 180°−∠BD'C−∠C=10°. 综上所述,∠DBC 的度数为10°或25°.
