1[2026辽宁大连期末,中]如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,连接DE,点F为AD上方一点,连接AF,DF,延长BA,CD至M,N.已知AE⊥DE,∠1+∠2=90°.下列结论错误的是 ()

A.∠F与∠FDN为内错角
B.∠AEB+∠ADC=180°
C.AB//CD
D.DE平分∠ADC

(第1题图)
(第2题图)

1.B 【解析】根据题意得∠F 与∠FDN 为内错角,故 A 选项正确,不符合题意.
∵ AB ⊥ BC,即∠B = 90°,
∴ ∠1 + ∠AEB = 90°.
∵ ∠1 + ∠2 = 90°,
∴ ∠2 = ∠AEB.
∵ AE ⊥ DE,即∠AED = 90°,
∴ ∠CED + ∠AEB = 90°,
∴ ∠CED=∠1,
∴ ∠CED+∠2 = ∠1+∠AEB = 90°,
∴ ∠C = 180°−90°=90°,
∴ ∠B + ∠C = 180°,
∴ AB//CD,故 C 选项正确,不符合题意.
∵ AB//CD,
∴ ∠ADC+∠BAD = 180°,无法得出∠AEB+∠ADC = 180°,故 B 选项错误,符合题意.
∵ AE 平分∠BAD,
∴ ∠1 = ∠DAE.
∵ ∠1 + ∠2 = 90°,
∴ ∠DAE + ∠2 = 90°.
∵ ∠AED = 90°,
∴ ∠DAE + ∠ADE = 90°,
∴ ∠2 = ∠ADE,即 DE 平分∠ADC,故 D 选项正确,不符合题意. 故选 B.

2[中]如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的大正方形△ABC，使点C在上，满足这样条件的点C共有（）

A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

2.D 【解析】根据题意可得以 AB 为边画Rt△ABC,使点 C 在格点上,满足这样条件的点 C 共 8 个,如图所示. 故选 D.

3 [中]已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与高CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是.

3.135°或45° 【解析】①如图(1),△ABC 是锐角三角形时,
∵ BD,CE 是△ABC 的高线,
∴ ∠ADB = 90°,∠BEC = 90°. 在△ABD 中,
∵ ∠A = 45°,
∴ ∠ABD = 90°−45° = 45°. 在Rt△BEH 中, ∠EHB = 90° − 45° = 45°,
∴ ∠BHC = 180°−∠EHB = 180°−45°=135°.
②如图(2),△ABC 是钝角三角形时,
∵ BD,CE 是△ABC 的高线,
∴ ∠A + ∠ACE = 90°,∠BHC+∠HCD=90°.
∵ ∠ACE = ∠HCD(对顶角相等),
∴ ∠BHC = ∠A = 45°.
综上所述,∠BHC 的度数是135°或45°.

4[中]在△ABC中，AB=AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为40°，则∠A的度数为。

4.50°或130° 【解析】分两种情况讨论:①如图(1),由折叠的性质可知 EF ⊥ AB,
∴ ∠AEF=90°.
∵ 折痕所在直线与 AC 边所在直线的夹角为 40°,
∴ ∠AFE = 40°,
∴ ∠A = 90°−40°=50°.
②如图(2),由折叠的性质可知 EF ⊥ AB,
∴ ∠AFD=90°.
∵ 折痕所在直线与 AC 边所在直线的夹角为 40°,
∴ ∠D = 40°,
∴ ∠DAB = 90°−∠D = 50°,
∴ ∠BAC = 180°−∠DAB = 180°−50° = 130°. 故答案为 50°或130°.

5[2026河南南阳期末,中]如图,在△ABC中,∠A=32°,∠B=76°,CE平分∠ACB交AB于点E,CD⊥AB于点D.
(1)求∠ACE的度数;
(2)若∠CDF=68°,证明:△CDF是直角三角形.

@刷素养→………………走向重高

5.(1)【解】
∵ ∠A = 32°, ∠B = 76°,
∴ ∠ACB = 180°−∠A−∠B = 180°−32°−76° = 72°.
∵ CE 平分∠ACB,
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$ ×72°=36°.
(2)【证明】由(1)可知∠ACE = 36°.
∵ ∠A = 32°,
∴ ∠CED = 180°−∠AEC = ∠A + ∠ACE = 32°+36°=68°.
∵ CD ⊥ AB,
∴ 在Rt△CDE 中,∠ECD=90°−∠CED=90°−68°=22°. 在△CDF 中,
∵ ∠CDF = 68°,
∴ ∠CFD = 180°−∠CDF−∠FCD = 180°−68°−22°=90°,
∴ △CDF 是直角三角形.

6 核心素养 几何直观 [较难]如图，$AB// CD$，点E是AB上一点，连接CE.
(1)如图(1)，若CE平分$∠ ACD$，过点E作$EM⊥ CE$交CD于点M，试说明$∠ A=2∠ CME$；
(2)如图(2)，若AF平分$∠ CAB$，CF平分$∠ DCE$，且$∠ F=70°$，求$∠ ACE$的度数；
(3)如图(3)，过点E作$EM⊥ CE$交$∠ DCE$的平分线于点M，$MN⊥ CM$交AB于点N，$CH⊥ AB$，垂足为H.若$∠ ACH=\dfrac{1}{2}∠ ECH$，请直接写出$∠ MNB$与$∠ A$之间的数量关系.

6.【解】(1)
∵ EM ⊥ CE,
∴ ∠CEM = 90°,
∴ ∠ECD+∠CME=90°,
∴ 2∠ECD+2∠CME=180°.
∵ CE 平分∠ACD,
∴ ∠ACD = 2∠ECD,
∴ ∠ACD+2∠CME=180°.
∵ AB//CD,
∴ ∠ACD+∠A=180°,
∴ ∠A=2∠CME.
(2)如图(1),过点 F 作 FM//AB.
∵ AB//CD,
∴ FM//AB//CD,
∴ ∠AFM=∠BAF,∠CFM=∠DCF,
∴ ∠AFM+∠CFM = ∠BAF + ∠DCF,即∠AFC = ∠BAF+∠DCF.
∵ AF 平分∠CAB,CF 平分∠DCE,
∴ ∠CAB = 2∠BAF,∠DCE=2∠DCF,
∴ ∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC.
∵ ∠AFC=70°,
∴ ∠CAB+∠DCE=140°.
∵ AB//CD,
∴ ∠CAB+∠ACD = ∠CAB+∠ACE+∠DCE = 180°,
∴ ∠ACE = 180°−(∠CAB+∠DCE)=180°−140°=40°.
(3)∠MNB 与 ∠A 之间的数量关系是∠MNB=135°−∠A. 如图(2),延长 CM 交 AB 于点 G.
∵ MN ⊥ CM,
∴ ∠NMG = 90°,
∴ ∠MNB=90°−∠MGN,同理∠HCG = 90°−∠MGN,
∴ ∠MNB = ∠HCG.
∵ ∠ACH = $\frac{1}{2}$∠ECH,
∴ 设∠ACH = x, 则 ∠ECH = 2x.
∵ CM 平分∠DCE,
∴ 设∠ECM = ∠DCM = y,
∴ ∠MNB = ∠HCG = 2x+y.
∵ AB//CD,CH ⊥ AB,
∴ CH ⊥ CD,
∴ ∠HCD = 90°,
∴ ∠ECH+∠ECD = 90°,
∴ 2x+2y = 90°,
∴ x+y = 45°.
∵ CH ⊥ AB,
∴ ∠A = 90°−∠ACH = 90°−x,
∴ ∠A+∠MNB = 90°−x+2x+y = 90°+x+y = 135°,
∴ ∠MNB=135°−∠A.