1[2025山东德州质检,中]一个零件的形状如图所示,按照规定,AB所在直线和CD所在直线的夹角为$40°$的零件为合格零件.要检验该零件是否合格,有以下三种方案:
甲:延长BA和CD,设交点为O,然后测量$∠ O$是否等于$40°$就可以检验该零件是否合格;
乙:只需测量出$∠ B$和$∠ C$的度数;
丙:测量出$∠ BAD$和$∠ ADC$的度数也可以检验该零件是否合格.
则正确的方案有 ()

A.甲、乙、丙
B.甲、乙
C.甲、丙
D.乙、丙

(第1题图)
(第2题图)

【解析】甲:延长 BA 和 CD,设交点为 O,则测量∠O 是否等于 40°可以检验该零件是否合格,符合题意;乙:只需测量出∠B 和∠C 的度数,由三角形内角和定理即可检验该零件是否合格,符合题意;丙:测量出∠BAD 和∠ADC 的度数,利用邻补角的定义和三角形内角和定理即可检验该零件是否合格,符合题意. 故选 A.
关键点拨
根据题意可判断甲;根据三角形内角和定理可判断乙;根据邻补角的定义和三角形内角和定理可判断丙.

2[2026 吉林长春期中,中]如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合,若∠1+∠2=80°,则∠BPC的度数是 ()

A.100°
B.110°
C.120°
D.130°

【解析】由折叠可知∠PDE = ∠ADE,∠PED=∠AED,
∴ ∠1+2∠ADE=180°,∠2+2∠AED=180°,
∴ ∠1 + ∠2 + 2 (∠ADE +∠AED) = 360°. 又
∵ ∠ADE+∠AED=180°-∠A,
∴ ∠1+∠2+2(180°-∠A)=360°,即∠A=$\frac{1}{2}$(∠1+∠2)=40°.
∵ BP, CP 平分∠ABC,∠ACB,
∴ ∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB. 又
∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴ ∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A),
∴ ∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+20°=110°. 故选 B.

3[中]三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“灵动三角形”.例如,三个内角分别为$120°,40°,20°$的三角形是“灵动三角形”.如图,$∠ MON=60°$,在射线OM上找一点A,过点A作$AB⊥ OM$交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C($0°＜∠ OAC＜90°$).

①$∠ ABO$的度数为$30°$;
②$△ AOB$是“灵动三角形”;
③若$∠ BAC=70°$,则$△ AOC$是“灵动三角形”;
④当$△ ABC$为“灵动三角形”时,$∠ OAC$的度数为$30°$或$52.5°$.
正确的结论有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

【解析】
∵ AB⊥OM,
∴ ∠BAO=90°.
∵ ∠AOB=60°,
∴ ∠ABO=30°.
∵ 90°=3×30°,
∴ △AOB是“灵动三角形”,故①②正确.
∵ ∠OAB=90°,∠BAC=70°,
∴ ∠OAC=20°.
∵ ∠AOC=60°=3×20°,
∴ △AOC是“灵动三角形”,故③正确.
当△ABC是“灵动三角形”时,分三种情况讨论:
当∠ACB = 3∠ABC 时,∠ACB = 90°,
∴ ∠CAB = 60°,
∴ ∠OAC= 30°;
当∠ABC = 3∠CAB 时,∠CAB = 10°,
∴ ∠OAC = 80°;
当∠ACB=3∠CAB 时,
∵ ∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°, 即 4∠CAB + 30° = 180°,
∴ ∠CAB = 37.5°,
∴ ∠OAC=52.5°.
综上所述,满足条件的∠OAC 的度数为 30°或 52.5°或 80°,故④错误. 综上所述,正确的有①②③,共 3 个. 故选 C.

4[中]将三角尺(△MPN, ∠MPN=90°)放置在△ABC上(点P在△ABC内),如图(1)所示,三角尺的两边PM,PN恰好经过点B和点C.探究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系.
(1)特例探索:若∠A=50°,则∠PBC+∠PCB=°,∠ABP+∠ACP=°;
(2)类比探索:写出∠ABP,∠ACP,∠A之间满足的数量关系,并说明理由;
(3)变式探索:如图(2),改变三角尺的位置,使点P在△ABC外,三角尺的两边PM,PN恰好经过点C和点B,写出∠ABP,∠ACP,∠A之间满足的数量关系,并说明理由.

【解】(1)
∵ ∠A = 50°,
∴ ∠ABC + ∠ACB = 130°.
∵ ∠P = 90°,
∴ ∠PBC + ∠PCB = 90°,
∴ ∠ABP+∠ACP=130°-90°=40°,故答案为90,40.
(2) ∠ABP + ∠ACP = 90° - ∠A. 理 由:
∵ (∠PBC+∠PCB) + (∠ABP + ∠ACP) + ∠A= 180°,
∴ (180° - ∠P) + (∠ABP + ∠ACP)+∠A = 180°.
∵ ∠P = 90°,
∴ ∠ABP+∠ACP + ∠A = 90°,
∴ ∠ABP + ∠ACP = 90°-∠A.
(3)∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 理由:设AB交PC于O, 如图.
∵ ∠AOC = ∠POB,
∴ ∠ACO+∠A = ∠P+∠PBO,即 ∠ACP + ∠A = 90° + ∠ABP,
∴ ∠ACP-∠ABP=90°-∠A.

5 思想方法分类讨论[较难]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=50°$,$∠ ACB=100°$,$M$是射线$AB$上的一个动点,过点$M$作$MN// BC$交射线$AC$于点$N$,连接$BN$,若$△ BMN$中有两个角相等,则$∠ MNB$的度数为。

【解析】(1)当点 M 在线段 AB 上时,如图(1).
∵ MN // BC,
∴ ∠ABC=∠AMN=50°,
∴ ∠BMN=180°-50°=130°.
∵ △BMN 中有两个角相等,
∴ 只有∠MBN=∠BNM 这一种情况,
∴ ∠MNB = $\frac{180°-130°}{2}$=25°.
(2)当点 M 在 AB 的延长线上时,如图(2).
①当∠BMN=∠BNM 时,由MN//BC,得∠BMN=∠ABC=50°,
∴ ∠BNM=50°.
②当∠BMN=∠MBN 时,∠BMN=∠ABC=50°,
∴ ∠MBN=50°,
∴ ∠MNB=180°-50°-50°=80°.
③当∠MBN=∠MNB 时,∠BMN=∠ABC=50°,
∴ ∠MNB = $\frac{180°-50°}{2}$=65°.
综上所述,∠MNB 的度数为 25°或 50°或 65°或 80°,故答案为 25°或 50°或 65°或 80°.