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1. 计算$x^2 · x^3$的结果是（
A.$x^2$
B.$x^3$
C.$x^5$
D.$x^6$
C
）A.$x^2$
B.$x^3$
C.$x^5$
D.$x^6$
答案
1.C
2. 计算$a^3 · a · a^x = a^{12}$，则x等于（
A.3
B.4
C.6
D.8
D
）A.3
B.4
C.6
D.8
答案
2.D 【点拨】由题意可知$a^{4+x}=a^{12}$,$\therefore 4+x=12. \therefore x=8.$
3. 已知$6^a = 4$，则$6^{1+a} = $（
A.10
B.16
C.24
D.36
C
）A.10
B.16
C.24
D.36
答案
3.C 【点拨】$\because 6^a=4, \therefore 6^{1+a}=6×6^a=6×4=24.$
4. [2025上海崇明区期中] 计算：$2^a = 4$，$2^b = 16$，则$2^{a+b+1} =$
128
答案
4. 128 【点拨】$\because 2^a=4,2^b=16, \therefore 2^{a+b+1}=2^a×2^b×2=4×16×2=128.$
5. 母题 教材 P99练习T2 计算：
(1)$a^3 · a^6 - (-a)^4 · (-a)^5$；
(2)$(-\dfrac{1}{3}) × (-\dfrac{1}{3})^3 × (-\dfrac{1}{3})^5$；
(3)$(x-y) · (y-x)^2 · (x-y)^3$。
(1)$a^3 · a^6 - (-a)^4 · (-a)^5$；
(2)$(-\dfrac{1}{3}) × (-\dfrac{1}{3})^3 × (-\dfrac{1}{3})^5$；
(3)$(x-y) · (y-x)^2 · (x-y)^3$。
答案
5.【解】(1)原式$= a^{3+6} - (-a)^{4+5} = a^9 - (-a)^9 = a^9 + a^9 = 2a^9.$
(2)原式$= (-\dfrac{1}{3})^{1+3+5} = (-\dfrac{1}{3})^9 = -\dfrac{1}{3^9}.$
(3)原式$= (x-y)^{1+2+3} = (x-y)^6.$
(2)原式$= (-\dfrac{1}{3})^{1+3+5} = (-\dfrac{1}{3})^9 = -\dfrac{1}{3^9}.$
(3)原式$= (x-y)^{1+2+3} = (x-y)^6.$
6. $y^{2m+2}$可以改写成 （
A.$2y^{m+1}$
B.$y^2 · y^{m+1}$
C.$y^{2m} + y^2$
D.$y^{2m} · y^2$
D
）A.$2y^{m+1}$
B.$y^2 · y^{m+1}$
C.$y^{2m} + y^2$
D.$y^{2m} · y^2$
答案
6.D
7. 计算$2^3 + 2^3 + 2^3 + 2^3$的结果是（
A.$(2^3)^4$
B.$2^6$
C.$2^5$
D.$8^2$
C
）A.$(2^3)^4$
B.$2^6$
C.$2^5$
D.$8^2$
答案
7.C
8. 母题 教材 P102习题 T7 电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中$1\ \mathrm{GB}=2^{10}\ \mathrm{MB}$，$1\ \mathrm{MB}=2^{10}\ \mathrm{KB}$，$1\ \mathrm{KB}=2^{10}\ \mathrm{B}$。某视频文件的大小约为1 GB，1 GB等于（
A.$2^{30}\ \mathrm{B}$
B.$8^{30}\ \mathrm{B}$
C.$8×10^{10}\ \mathrm{B}$
D.$2×10^{30}\ \mathrm{B}$
A
）A.$2^{30}\ \mathrm{B}$
B.$8^{30}\ \mathrm{B}$
C.$8×10^{10}\ \mathrm{B}$
D.$2×10^{30}\ \mathrm{B}$
答案
8.A
9. 已知$3^x=12,3^y=6,3^z=72$，则$x,y,z$之间的关系是（
A.$x+y=z$
B.$xy=z$
C.$x+2y=z$
D.$x-y=z$
A
）A.$x+y=z$
B.$xy=z$
C.$x+2y=z$
D.$x-y=z$
答案
9.A 【点拨】$\because 3^x=12,3^y=6,3^z=72,12×6=72,\therefore 3^x · 3^y=3^z,$即:$3^{x+y}=3^z,\therefore x+y=z.$
10. 已知$x=2^m +1$，$y=3+2^{m+1}$，若用含x的代数式表示y，则$y=$
2x+1
。答案
10. $2x+1$ 【点拨】$\because x=2^m+1, \therefore 2^m=x-1. \because 2^{m+1}=2· 2^m, \therefore 2^{m+1}=2(x-1), \therefore y=3+2^{m+1}=3+2(x-1)=2x+1.$
11. 观察等式：$2+2^2=2^3-2$；$2+2^2+2^3=2^4-2$；$2+2^2+2^3+2^4=2^5-2$；…已知按一定规律排列的一组数：$2^{100},2^{101},2^{102},\dots,2^{199},2^{200}$，若$2^{100}=S$，用含S的式子表示这组数据的和是
2S² - S
。答案
11. $2S^2 - S$ 【点拨】这组数据的和为$2^{100}+2^{101}+2^{102}+\dots+2^{199}+2^{200}=2^{100}(1+2+\dots+2^{99}+2^{100})=2^{100}(1+2^{101}-2)=2^{100}(2^{101}-1)=2^{100}(2^{100}×2-1). \because 2^{100}=S, \therefore 原式=S(S×2-1)=2S^2-S.$
12. 新考法 阅读类比法 请阅读材料:①一般地，n个相同的因数a相乘记为$a^n$，如$2×2×2=2^3=8$。
②一般地，若$a^n = b(a＞0$且$a≠1,b＞0)$，则指数n叫作以a为底b的对数，记为$\log_a b$（即$\log_a b = n$），如$3^4=81$，则指数4叫作以3为底81的对数，记为$\log_3 81$（即$\log_3 81=4$）。
(1)计算下列各对数的值：
$\log_2 4=$
(2)观察(1)题中的三个数4,16,64之间存在的关系式是
(3)由(2)题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？请你运用幂的运算法则$a^m · a^n = a^{m+n}$以及上述中对数的定义证明你所归纳的结论。
②一般地，若$a^n = b(a＞0$且$a≠1,b＞0)$，则指数n叫作以a为底b的对数，记为$\log_a b$（即$\log_a b = n$），如$3^4=81$，则指数4叫作以3为底81的对数，记为$\log_3 81$（即$\log_3 81=4$）。
(1)计算下列各对数的值：
$\log_2 4=$
2
；$\log_2 16=$4
；$\log_2 64=$6
。(2)观察(1)题中的三个数4,16,64之间存在的关系式是
4×16=64
，那么$\log_2 4,\log_2 16,\log_2 64$之间存在的关系式是$\log_2 4 + \log_2 16 = \log_2 64$
。(3)由(2)题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？请你运用幂的运算法则$a^m · a^n = a^{m+n}$以及上述中对数的定义证明你所归纳的结论。
答案
12.【解】(1)$2;4;6$ 【点拨】$\because 2^2=4, \therefore \log_2 4=2. \because 2^4=16, \therefore \log_2 16=4. \because 2^6=64, \therefore \log_2 64=6.$
(2)$4×16=64;\log_2 4 + \log_2 16 = \log_2 64$
(3)$\log_a M + \log_a N = \log_a(MN).$
证明:设 $\log_a M = x, \log_a N = y$,
则 $a^x=M,a^y=N. \therefore MN=a^x · a^y = a^{x+y}.$
$\therefore x+y=\log_a(MN),即 \log_a M + \log_a N = \log_a(MN).$
(2)$4×16=64;\log_2 4 + \log_2 16 = \log_2 64$
(3)$\log_a M + \log_a N = \log_a(MN).$
证明:设 $\log_a M = x, \log_a N = y$,
则 $a^x=M,a^y=N. \therefore MN=a^x · a^y = a^{x+y}.$
$\therefore x+y=\log_a(MN),即 \log_a M + \log_a N = \log_a(MN).$
