8. 母题 教材 P112思考【探究】如图①，从边长为$a$的大正方形中剪掉一个边长为$b$的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形。比较两图阴影部分的面积，可以得到公式：______（用字母$a,b$表示）；【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知$2m - n = 3$，$2m + n = 4$，则$4m^2 - n^2$的值为________；②计算：$(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$；【拓展】计算$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)\dots(2^{32} + 1)$的结果为________。

【探究】$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
【应用】①12
②$(x-3)(x+3)(x^2+9)=(x^2-9)(x^2+9)=x^4-81.$
【拓展】$2^{64}-1$
点拨：$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\dots(2^{32}+1)=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\dots(2^{32}+1)=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\dots(2^{32}+1)=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)\dots(2^{32}+1)=(2^8-1)(2^8+1)\dots(2^{32}+1)=\dots=2^{64}-1.$

9. 新考法 整体代入法 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式. 例如图①可以得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】(1)若$x+y=3$，$x^2+y^2=5$，求$xy$的值；
【类比应用】(2)填空：①若$x(3-x)=1$，则$x^2+(3-x)^2=$；
②若$(x-3)(x-4)=1$，则$(x-3)^2+(x-4)^2=$；
【知识迁移】(3)两块完全相同的特制直角三角尺($∠AOB=∠COD=90°$，$OA=OC$，$OB=OD$)如图②所示放置，其中$A,O,D$在同一直线上，连接$AC,BD$.若$AD=16$，$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=68$，求三角形$AOB$的面积.

(1)$\because x+y=3,\therefore (x+y)^2=3^2.\therefore x^2+2xy+y^2=9.\therefore 2xy=9-(x^2+y^2).$
又$\because x^2+y^2=5,\therefore 2xy=9-5=4.\therefore xy=2.$
(2)①7
点拨：$\because x+(3-x)=3,\therefore [x+(3-x)]^2=3^2.$
$\therefore x^2+(3-x)^2+2x(3-x)=9.\therefore x^2+(3-x)^2=9-2x(3-x).$又$\because x(3-x)=1,\therefore x^2+(3-x)^2=9-2×1=7.$
②3
点拨：$\because (x-3)-(x-4)=1,\therefore [(x-3)-(x-4)]^2=1.\therefore (x-3)^2+(x-4)^2-2(x-3)(x-4)=1.\therefore (x-3)^2+(x-4)^2=1+2(x-3)(x-4).\because (x-3)(x-4)=1,\therefore (x-3)^2+(x-4)^2=1+2×1=3.$
(3)设$OA=OC=x,OB=OD=y.$易知$∠ AOB=∠ COD=∠ AOC=∠ BOD=90°.$
$\therefore S_{\mathrm{三角形}AOC}=\frac{1}{2}OA· OC=\frac{1}{2}x^2,S_{\mathrm{三角形}BOD}=\frac{1}{2}OB· OD=\frac{1}{2}y^2.$
又$\because S_{\mathrm{三角形}AOC}+S_{\mathrm{三角形}BOD}=68,\therefore \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2=68.$
$\therefore x^2+y^2=136.\because AD=16,\therefore x+y=16.$
$\therefore (x+y)^2=16^2,\mathrm{即 }x^2+y^2+2xy=256.$
$\therefore 2xy=256-(x^2+y^2)=256-136=120.\therefore xy=60.$
$\therefore S_{\mathrm{三角形}AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}×60=30.$