1.计算:$(a+2b)(a-2b)-2(3a+b)^2.$

原式$=a^2-(2b)^2-2(9a^2+6ab+b^2)$
$=a^2-4b^2-18a^2-12ab-2b^2$
$=-17a^2-6b^2-12ab.$

2. [2025 上海杨浦区月考] 先化简，再求值：$(x-2y)(x+y)-(x-2y)(x+2y)-(2x-y)^2$，其中$x=-\frac{1}{2}, y=-0.25$。

原式$=x^2-xy-2y^2-x^2+4y^2-(4x^2-4xy+y^2)$
$=x^2-xy-2y^2-x^2+4y^2-4x^2+4xy-y^2$
$=-4x^2+3xy+y^2.$
当$x=-\frac{1}{2},y=-0.25=-\frac{1}{4}$时，
原式$=-4×(-\frac{1}{2})^2 + 3×(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{4}) + (-\frac{1}{4})^2=-4×\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{1}{16}=-1+\frac{3}{8}+\frac{1}{16}=-\frac{9}{16}.$

3. 化简求值:当$x^2 -6x -1=0$时,求$3(x-2)^2 - (x+3)(x-3)$的值.

$\because x^2-6x-1=0,\therefore x^2-6x=1.\therefore 2x^2-12x=2.$
$3(x-2)^2-(x+3)(x-3)=3(x^2-4x+4)-(x^2-9)=3x^2-12x+12-x^2+9=2x^2-12x+21=2+21=23.$

4. 简便计算：
(1)$999 × 1001$；
(2)$-19\dfrac{7}{9} × 20\dfrac{2}{9}$；
(3)$2026^2 - 2025 × 2027$；
(4)$999^2 + 10.1 × 9.9$。

(1)原式$=(1\ 000-1)×(1\ 000+1)=1\ 000^2-1=999\ 999.$
(2)原式$=-(20-\frac{2}{9})×(20+\frac{2}{9})=-[20^2-(\frac{2}{9})^2]=-400+\frac{4}{81}=-399\frac{77}{81}.$
(3)原式$=2\ 026^2-(2\ 026-1)×(2\ 026+1)$
$=2\ 026^2-2\ 026^2+1=1.$
(4)原式$=(1\ 000-1)^2+(10+0.1)(10-0.1)$
$=1\ 000^2-2×1\ 000+1+10^2-0.1^2$
$=1\ 000\ 000-2\ 000+1+100-0.01$
$=998\ 001+99.99$
$=998\ 100.99.$

5. 已知$a+\frac{1}{a}=2$，则$a^2+\frac{1}{a^2}=$.

$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2× a×\frac{1}{a}=2^2-2=2.$

6. 母题 教材 P118习题 T7 已知$ab=2$,$a+b=5$,求下列各式的值：
(1)$a^2 + b^2$；
(2)$(a - b)^2$.

(1)$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×2=25-4=21.$
(2)$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=5^2-4×2=25-8=17.$

7. [2025乐山期末] 我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$进行变形，如：$a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab=(a - b)^2 + 2ab$，$(a + b)^2 - (a - b)^2=4ab$。
(1)根据以上变形填空：
①已知$a^2 + b^2=10$，$(a + b)^2=16$，则$ab=$；
②已知$(a + b)^2=16$，$ab=3$，则$a - b=$；
(2)若$2x + 3y=11$，$xy=4$，求$2x - 3y$的值；
(3)如图，正方形ABCD，BEFG的边长分别为$x,y$，若$x^2 + y^2=29$，$AE=3$，求图中阴影部分的面积之和。

(1)①3 ②$\pm2$
(2)$\because 2x+3y=11,xy=4$，
$\therefore (2x-3y)^2=(2x+3y)^2-24xy=11^2-24×4=25.$
$\therefore 2x-3y=\pm\sqrt{25}=\pm5.$
(3)$\because$正方形ABCD,BEFG的边长分别为$x,y$，
$\therefore AB=AD=CD=BC=x,BE=EF=GF=BG=y$，
$∠ EAD=∠ BEF=∠ FGC=90°.$
$\therefore AE=CG=x-y=3,EF// AD,∠ AEF=90°.$
$\therefore △ AEF≌△ CGF,$四边形AEFD为直角梯形.
$\therefore S_{△ AEF}=S_{△ FGC}.$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}AEFD}=\frac{1}{2}AE·(EF+AD)=\frac{1}{2}(x-y)(x+y)=\frac{3}{2}(x+y).$
$\because x^2+y^2=29,x-y=3,$
$\therefore 2xy=(x^2+y^2)-(x-y)^2=29-9=20.$
$\therefore (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=29+20=49.$
$\therefore x+y=7(\mathrm{负值已舍去}).$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=\frac{3}{2}(x+y)=\frac{3}{2}×7=\frac{21}{2}.$