18 新情境 求双曲线冷却塔高度（2025·深圳中学三模）发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴对称图形，其由底部矩形ABCD和两个反比例函数图象一部分DE，CF组成。以地面为x轴、AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。已知AB=84 m，BC=20 m，EF=16 m，则整个冷却塔的高度为m.

18.105

三、解答题(第19,20题每题8分,其余每题10分,共46分)
19(2024·乐山中考)如图,已知点$A(1,m),B(n,1)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上,过点A的一次函数$y=kx+b$的图象与y轴交于点$C(0,1)$.
(1)求$m,n$的值和一次函数的表达式;
(2)连接AB,求点C到线段AB的距离.

19. (1)$m=3,n=3.$
一次函数的表达式为$y=2x+1.$
(2)如图,连接 BC,过点 A 作 $AD⊥ BC$,垂足为 D,过点 C 作 $CE⊥ AB$,垂足为 E.

$\because C(0,1),B(3,1),\therefore BC// x$轴，$BC=3.$
$\because A(1,3),B(3,1),AD⊥ BC,$
$\therefore D(1,1),AD=2,DB=2.$
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2},$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AB· CE,$
利用三角形面积的不同计算方法列方程
即 $\frac{1}{2}×3×2=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}× CE,$ 解得 $CE=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$
故点 C 到线段 AB 的距离为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}.$
思路引导 (1)把点 $A(1,m),B(n,1)$ 代入反比例函数表达式 $y=\frac{3}{x}$ 中,求出 $m,n$ 的值,再利用待定系数法求出一次函数的表达式即可;
(2)连接 BC,过点 A 作 $AD⊥ BC$,垂足为 D,过点 C 作 $CE⊥ AB$,垂足为 E,利用同一三角形面积的不同计算方法求出 CE 即可.

20 新考法 新定义问题(2026·湖南永州冷水滩区期末)新定义:在坐标平面内,若点$P(a,b)$满足$b=2a$,则我们把点$P$称作“纵二倍点”,例如点$(-3,-6)$与$(\sqrt{2},2\sqrt{2})$都是“纵二倍点”.
(1)一次函数$y=4x-2$的图象上的“纵二倍点”的坐标为;
(2)若双曲线$y=\frac{k}{x}$上存在“纵二倍点”$(t,4)$,且经过另一点$(m+2,m)$,求$m$的值;
(3)若关于$x$的二次函数$y=mx^2-2x+n$(常数$m≠0$)的图象上恰好有唯一的“纵二倍点”$P$,当$m＞4$时,求$n$的取值范围.

20. (1)$(1,2)$
(2)$\because$点$(t,4)$为反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上的“纵二倍点”,
$\therefore t=2,$
把 $(2,4)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=8,\therefore y=\frac{8}{x}.$
根据双曲线 $y=\frac{8}{x}$ 经过 $(m+2,m),$
$\therefore m(m+2)=8,$ 解得 $m_1=2,m_2=-4,$
$\therefore m$ 的值为 2 或 $-4.$
(3)$\because$“纵二倍点”$P(a,2a)$ 在直线 $y=2x$ 上,
联立 $\begin{cases}y=mx^2-2x+n\\y=2x,\end{cases}$ 则 $mx^2-2x+n=2x,$
整理,得 $mx^2-4x+n=0.$
$\because$ 抛物线 $y=mx^2-2x+n$($m,n$ 均为常数)上有且只有一个“纵二倍点”,
$\therefore$ 方程 $mx^2-4x+n=0$ 有两个相等的实数根,
$\therefore\Delta=(-4)^2-4nm=0,$ 解得 $mn=4,$ 即 $n=\frac{4}{m}.$
$\because m＞4,\therefore 0＜n＜1.$

21 分类讨论思想(2025·天门模拟)如图,一次函数$y=k_1x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象交于$A(-4,1),B(m,4)$两点.($k_1,k_2,b$为常数)
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式$k_1x+b＞\frac{k_2}{x}$的解集；
(3)$P$为$y$轴正半轴上一点,若$△ PAB$的面积为3,求点$P$的坐标.

21. (1)反比例函数的表达式为 $y=-\frac{4}{x}.$
一次函数的表达式为 $y=x+5.$
(2)观察函数的图象可知,当 $-4＜x＜-1$ 或 $x＞0$ 时,一次函数图象均在反比例函数图象的上方,
$\therefore k_1x+b＞\frac{k_2}{x}$ 的解集为 $-4＜x＜-1$ 或 $x＞0.$
(3)如图,过点 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别为 C,D.

$\because A(-4,1),B(-1,4),$
$\therefore AC=4,OC=1,BD=1,OD=4,$
$\therefore CD=OD-OC=4-1=3.$
$\because AC⊥ y$ 轴, $BD⊥ y$ 轴,
$\therefore$ 四边形 ACDB 为直角梯形,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ACDB}=\frac{1}{2}(BD+AC)CD=\frac{15}{2}.$
设点 P 的坐标为 $(0,t).\because△ PAB$ 的面积为 3,
$\therefore$ 有以下两种情况:
点 P 分别在点 D 的上下两侧
①如图,当点 P 在线段 CD 上时, $OP=t,$
$\therefore DP=OD-OP=4-t,PC=OP-OC=t-1,$
$\therefore S_{△ PBD}=\frac{1}{2}PD· BD=\frac{4-t}{2},S_{△ PAC}=\frac{1}{2}PC· AC=2t-2.$
又 $S_{\mathrm{四边形}ACDB}-S_{△ PBD}-S_{△ PAC}=S_{△ PAB},$
$\therefore\frac{15}{2}-\frac{4-t}{2}-(2t-2)=3,$ 解得 $t=3,$
$\therefore$ 此时点 P 的坐标为 $(0,3).$
②如图,当点 P 在线段 CD 延长线上时,记作 $P',OP'=t,$
$\therefore DP'=t-4,P'C=t-1,\therefore S_{△ P'AC}=\frac{1}{2}AC· P'C=2(t-1),$
$S_{△ P'BD}=\frac{1}{2}BD· P'D=\frac{1}{2}(t-4).$
又 $S_{△ P'AC}-S_{△ P'BD}-S_{\mathrm{梯形}ACDB}=S_{△ P'AB},$
$\therefore 2(t-1)-\frac{1}{2}(t-4)-\frac{15}{2}=3,$ 解得 $t=7,$
$\therefore$ 此时点 P 的坐标为 $(0,7).$
综上所述,点 P 的坐标为 $(0,3)$ 或 $(0,7).$
思路引导 解答(3)时,可以根据相关点的坐标向坐标轴作垂线,把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差.