13. 如图,已知$∠ AOB$与$∠ BOC$互补,$∠ AOD=∠ BOD$, OE在$∠ BOC$的内部.若$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ COE$,$∠ DOE=72°$,则$∠ COE$的度数是.

13. $72°$ 解析:设$∠BOE=x°$.因为$∠BOE=\frac{1}{2}∠COE$,所以$∠COE=2∠BOE=2x°$,所以$∠BOC=∠BOE+∠COE=3x°$,所以$∠AOB=180°−∠BOC=(180−3x)°$.因为$∠AOD=∠BOD$,所以$∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB=(90-\frac{3}{2}x)°$,所以$∠DOE=∠BOD+∠BOE=(90-\frac{1}{2}x)°$.又$∠DOE=72°$,所以$90-\frac{1}{2}x=72$,解得$x=36$,所以$∠COE=72°$.

14. 新素养 推理能力 如图，A,O,E三点在同一条直线上，$∠ AOB = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ AOB$与$∠ DOE$互余，则$∠ COD$与$∠ DOE$之间有什么数量关系？请说明理由。

14. $∠COD = ∠DOE$. 理由如下: 因为$∠AOB = \frac{1}{2}∠AOC$,所以$∠AOB = ∠BOC$. 因为$∠AOB$与$∠DOE$互余,所以$∠AOB + ∠DOE = 90°$,所以$∠BOC + ∠COD = 180°-(∠AOB + ∠DOE) = 90°$,所以$∠COD=∠DOE$.

15. (2026·江苏扬州期末)已知$∠α$与$∠β$互补，且$∠α＞∠β$，给出下列式子：①$90° - ∠β$；②$∠α - 90°$；③$180° - ∠α$；④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$。其中能表示$∠β$的余角的是（）

A.①②③④
B.①②④
C.①②③
D.①②

15. B 解析:由题意,得$∠α+∠β=180°,∠α＞∠β$,所以$\frac{1}{2}∠α+\frac{1}{2}∠β=90°$,$∠β=180°−∠α$,所以$∠β$的余角是$90−∠β=90°−(180°−∠α)=∠α−90°=(\frac{1}{2}∠α+\frac{1}{2}∠β)−∠β=\frac{1}{2}(∠α−∠β)$,故①②④符合题意.

16. 如图,已知∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角,∠AOE=∠BOE,∠COF=∠DOF.若∠BOC=50°,求∠AOD与∠EOF的度数.

16. 因为$∠AOB$ 与$∠COD$ 都是$∠BOC$ 的余角,$∠BOC = 50°$,所以$∠AOB = ∠COD = 90°−∠BOC = 40°$,所以$∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 130°$.因为$∠AOE = ∠BOE$,$∠COF = ∠DOF$,所以$∠AOE = \frac{1}{2}∠AOB = 20°$,$∠DOF = \frac{1}{2}∠COD = 20°$,所以$∠EOF = ∠AOD − ∠AOE − ∠DOF = 90°$.

17. 新趋势 推导探究 将一副直角三角板的直角顶点重合，并按如图所示的方式叠放在一起.
（1）如图①，若$∠ BOD = 35°$，则$∠ AOC =$ ；若$∠ AOC = 135°$，则$∠ BOD =$ ；
（2）如图②，若$∠ AOC = 140°$，则$∠ BOD =$ ；
（3）猜想$∠ AOC$与$∠ BOD$之间的数量关系，并结合图①说明理由；
（4）三角板$AOB$不动，将三角板$COD$的边$OD$与边$OA$重合，然后绕点$O$按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当$∠ AOD(0° ＜ ∠ AOD ＜ 90°)$等于多少度时，这两块三角板各有一条边所在的直线形成$90°$角？直接写出$∠ AOD$度数的所有可能值，不用说明理由.

17. (1) $145°$ $45°$ (2) $40°$
(3) $∠AOC+∠BOD=180°$.理由如下:因为$∠AOB=∠COD=90°$,所以$∠AOC + ∠BOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠BOD = ∠AOB + ∠COD = 180°$.
(4) 分类讨论如下:① 若顺时针旋转,则当$OD$与$AB$所在直线形成$90°$角时,$∠AOD=30°$;当$CD$与$OB$所在直线形成$90°$角时,$∠AOD=45°$;当$CD$与$AB$所在直线形成$90°$角时,$∠AOD=75°$;② 若逆时针旋转,则当$OC$与$AB$所在直线形成$90°$角时,$∠AOD=60°$;当$CD$与$OA$所在直线形成$90°$角时,$∠AOD=45°$.综上所述,$∠AOD$度数的所有可能值为$30°,45°,75°,60°$.