登录
1 下列计算中，正确的是(
A.$\sqrt{2} + \sqrt{9} = \sqrt{11}$
B.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{5} × \sqrt{4} = 4\sqrt{5}$
D.$\sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$
B
)。A.$\sqrt{2} + \sqrt{9} = \sqrt{11}$
B.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{5} × \sqrt{4} = 4\sqrt{5}$
D.$\sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题时需先回忆二次根式的加减、乘除运算法则，再逐个验证选项：1. 二次根式加减时，只有被开方数相同的同类二次根式可以合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变；2. 二次根式乘法满足$\sqrt{a} × \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可先化简根式再计算，最后和选项结果对比判断对错。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：先化简$\sqrt{9}=3$，则$\sqrt{2}+\sqrt{9}=\sqrt{2}+3$，$\sqrt{2}$和3不是同类二次根式，无法合并为$\sqrt{11}$，该选项错误。
选项B：$3\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并得$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，该选项正确。
选项C：先化简$\sqrt{4}=2$，则$\sqrt{5} × \sqrt{4}=\sqrt{5} × 2=2\sqrt{5}≠4\sqrt{5}$，该选项错误。
选项D：$\sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1≠\frac{1}{3}$，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次根式的基本运算规则，解题的关键是熟练区分同类二次根式合并、根式乘除的不同运算要求，避免混淆运算规则导致出错。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的四则运算，解题时需先回忆二次根式的加减、乘除运算法则，再逐个验证选项：1. 二次根式加减时，只有被开方数相同的同类二次根式可以合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变；2. 二次根式乘法满足$\sqrt{a} × \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可先化简根式再计算，最后和选项结果对比判断对错。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：先化简$\sqrt{9}=3$，则$\sqrt{2}+\sqrt{9}=\sqrt{2}+3$，$\sqrt{2}$和3不是同类二次根式，无法合并为$\sqrt{11}$，该选项错误。
选项B：$3\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并得$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，该选项正确。
选项C：先化简$\sqrt{4}=2$，则$\sqrt{5} × \sqrt{4}=\sqrt{5} × 2=2\sqrt{5}≠4\sqrt{5}$，该选项错误。
选项D：$\sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1≠\frac{1}{3}$，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次根式的基本运算规则，解题的关键是熟练区分同类二次根式合并、根式乘除的不同运算要求，避免混淆运算规则导致出错。
【难度系数】
0.85
2 下列运算中，正确的是(
A.$2\sqrt{2} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$3\sqrt{6} - \sqrt{6} = 3$
C.$2\sqrt{7} × \sqrt{7} = 14$
D.$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = 9$
C
)。A.$2\sqrt{2} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$3\sqrt{6} - \sqrt{6} = 3$
C.$2\sqrt{7} × \sqrt{7} = 14$
D.$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = 9$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查二次根式的四则运算，解题思路是先回忆二次根式加减、乘除的运算法则，再逐个计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比判断正误即可。二次根式加减运算时，只有同类二次根式可以合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变；二次根式乘除运算时，系数和被开方数分别乘除，最后将结果化为最简形式。
【解析】
我们依次计算每个选项：
A选项：$2\sqrt{2} ÷ \sqrt{2} = 2×(\sqrt{2}÷\sqrt{2})=2×1=2≠\sqrt{2}$，因此A错误；
B选项：$3\sqrt{6} - \sqrt{6} = (3-1)\sqrt{6}=2\sqrt{6}≠3$，因此B错误；
C选项：$2\sqrt{7} × \sqrt{7} = 2×(\sqrt{7}×\sqrt{7})=2×7=14$，因此C正确；
D选项：$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{27÷3}=\sqrt{9}=3≠9$，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是对二次根式四则运算规则的熟练运用，解题时注意区分加减和乘除运算的不同规则，计算时分别处理系数和根式部分，就能避免常见运算错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的四则运算，解题思路是先回忆二次根式加减、乘除的运算法则，再逐个计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比判断正误即可。二次根式加减运算时，只有同类二次根式可以合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变；二次根式乘除运算时，系数和被开方数分别乘除，最后将结果化为最简形式。
【解析】
我们依次计算每个选项：
A选项：$2\sqrt{2} ÷ \sqrt{2} = 2×(\sqrt{2}÷\sqrt{2})=2×1=2≠\sqrt{2}$，因此A错误；
B选项：$3\sqrt{6} - \sqrt{6} = (3-1)\sqrt{6}=2\sqrt{6}≠3$，因此B错误；
C选项：$2\sqrt{7} × \sqrt{7} = 2×(\sqrt{7}×\sqrt{7})=2×7=14$，因此C正确；
D选项：$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{27÷3}=\sqrt{9}=3≠9$，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是对二次根式四则运算规则的熟练运用，解题时注意区分加减和乘除运算的不同规则，计算时分别处理系数和根式部分，就能避免常见运算错误。
【难度系数】
0.8
3 若$x$为实数，在“$(\sqrt{3}-1)□ x$”的“$□$”中添上一种运算符号（在“+”“-”“×”“÷”中选择），其运算结果是有理数，则$x$不可能是（
A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$3\sqrt{3}$
D.$1-\sqrt{3}$
C
）。A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$3\sqrt{3}$
D.$1-\sqrt{3}$
答案
C
解析
【分析】
解题思路：题目要求选择运算符号后结果为有理数，我们可采用逐一验证法，对每个选项分别尝试加、减、乘、除四种运算，判断是否存在至少一种运算能得到有理数，若某选项四种运算结果均为无理数，则为符合题意的答案。思考时要注意：0和整数、分数都属于有理数，含二次根式的运算可利用平方差公式、合并同类二次根式等方法判断结果是否为有理数。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
1. 选项A：$x=\sqrt{3}-1$
选减法运算：$(\sqrt{3}-1)-(\sqrt{3}-1)=0$，0是有理数，故A不符合题意，排除；
2. 选项B：$x=\sqrt{3}+1$
选乘法运算：$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^2 - 1^2=3-1=2$，2是有理数，故B不符合题意，排除；
3. 选项C：$x=3\sqrt{3}$
加法：$(\sqrt{3}-1)+3\sqrt{3}=4\sqrt{3}-1$，为无理数；
减法：$(\sqrt{3}-1)-3\sqrt{3}=-2\sqrt{3}-1$、$3\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}+1$，均为无理数；
乘法：$(\sqrt{3}-1)×3\sqrt{3}=9-3\sqrt{3}$，为无理数；
除法：$(\sqrt{3}-1)÷3\sqrt{3}=\frac{3-\sqrt{3}}{9}$、$3\sqrt{3}÷(\sqrt{3}-1)=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$，均为无理数；
四种运算结果均为无理数，故C符合题意；
4. 选项D：$x=1-\sqrt{3}$
选加法运算：$(\sqrt{3}-1)+(1-\sqrt{3})=0$，0是有理数，故D不符合题意，排除。
【答案】
C
【知识点】
实数的运算、有理数与无理数、平方差公式
【点评】
本题考察实数四则运算中有理数的判断，解题采用逐一验证的排除法即可快速得到答案，要求熟练掌握二次根式的运算规则，能准确判断运算结果是否为有理数。
【难度系数】
0.7
解题思路：题目要求选择运算符号后结果为有理数，我们可采用逐一验证法，对每个选项分别尝试加、减、乘、除四种运算，判断是否存在至少一种运算能得到有理数，若某选项四种运算结果均为无理数，则为符合题意的答案。思考时要注意：0和整数、分数都属于有理数，含二次根式的运算可利用平方差公式、合并同类二次根式等方法判断结果是否为有理数。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
1. 选项A：$x=\sqrt{3}-1$
选减法运算：$(\sqrt{3}-1)-(\sqrt{3}-1)=0$，0是有理数，故A不符合题意，排除；
2. 选项B：$x=\sqrt{3}+1$
选乘法运算：$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^2 - 1^2=3-1=2$，2是有理数，故B不符合题意，排除；
3. 选项C：$x=3\sqrt{3}$
加法：$(\sqrt{3}-1)+3\sqrt{3}=4\sqrt{3}-1$，为无理数；
减法：$(\sqrt{3}-1)-3\sqrt{3}=-2\sqrt{3}-1$、$3\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}+1$，均为无理数；
乘法：$(\sqrt{3}-1)×3\sqrt{3}=9-3\sqrt{3}$，为无理数；
除法：$(\sqrt{3}-1)÷3\sqrt{3}=\frac{3-\sqrt{3}}{9}$、$3\sqrt{3}÷(\sqrt{3}-1)=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$，均为无理数；
四种运算结果均为无理数，故C符合题意；
4. 选项D：$x=1-\sqrt{3}$
选加法运算：$(\sqrt{3}-1)+(1-\sqrt{3})=0$，0是有理数，故D不符合题意，排除。
【答案】
C
【知识点】
实数的运算、有理数与无理数、平方差公式
【点评】
本题考察实数四则运算中有理数的判断，解题采用逐一验证的排除法即可快速得到答案，要求熟练掌握二次根式的运算规则，能准确判断运算结果是否为有理数。
【难度系数】
0.7
④ 在如图所示的方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格A处应填的实数为__________。
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline3\sqrt{2} & 2 & \sqrt{3} \\\hline& A & \\\hline\end{array}$
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline3\sqrt{2} & 2 & \sqrt{3} \\\hline& A & \\\hline\end{array}$
答案
$\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先找已知的完整行计算公共乘积，题目给出第一行三个数全是已知的，横、竖、斜对角乘积都相等，所以第一行的乘积就是所有组合的公共乘积。第二步推导中间数A和公共乘积的关系：九宫格9个数的总乘积等于3行公共乘积的乘积，同时过A的4组（中间行、中间列、两条对角线）总乘积也能和总乘积建立联系，最终可得公共乘积等于A的三次方，代入数值化简就能求出A。
【解析】
1. 计算公共乘积$S$：
第一行三个数相乘得：
$S=3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3}=(3×2)×(\sqrt{2}×\sqrt{3})=6\sqrt{6}$
2. 推导中间数$A$与$S$的关系：
九宫格9个数总乘积等于三行乘积的乘积，即总乘积$=S× S× S=S^3$。
过$A$的组合有中间行、中间列、两条对角线共4组，每组乘积都是$S$，则4组总乘积为$S^4$；这4组中$A$被计算了4次，其余8个格子各算1次，因此4组总乘积也可写为$A^4 × (总乘积÷ A)=A^4 × \frac{S^3}{A}=A^3S^3$。
联立得$S^4=A^3S^3$，两边同时除以非零的$S^3$，得$A^3=S$。
3. 计算$A$的值：
将$S=6\sqrt{6}$代入得$A^3=6\sqrt{6}$，又因为$6\sqrt{6}=\sqrt{6}×\sqrt{6}×\sqrt{6}=(\sqrt{6})^3$，实数范围内三次方根唯一，因此$A=\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式乘法，实数乘方，乘法幻方规律
【点评】
本题结合幻方规律考查二次根式的运算，解题的关键是先求出公共乘积，再通过逻辑推导建立中间数和公共乘积的关系，需要掌握二次根式的化简方法和基本的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步先找已知的完整行计算公共乘积，题目给出第一行三个数全是已知的，横、竖、斜对角乘积都相等，所以第一行的乘积就是所有组合的公共乘积。第二步推导中间数A和公共乘积的关系：九宫格9个数的总乘积等于3行公共乘积的乘积，同时过A的4组（中间行、中间列、两条对角线）总乘积也能和总乘积建立联系，最终可得公共乘积等于A的三次方，代入数值化简就能求出A。
【解析】
1. 计算公共乘积$S$：
第一行三个数相乘得：
$S=3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3}=(3×2)×(\sqrt{2}×\sqrt{3})=6\sqrt{6}$
2. 推导中间数$A$与$S$的关系：
九宫格9个数总乘积等于三行乘积的乘积，即总乘积$=S× S× S=S^3$。
过$A$的组合有中间行、中间列、两条对角线共4组，每组乘积都是$S$，则4组总乘积为$S^4$；这4组中$A$被计算了4次，其余8个格子各算1次，因此4组总乘积也可写为$A^4 × (总乘积÷ A)=A^4 × \frac{S^3}{A}=A^3S^3$。
联立得$S^4=A^3S^3$，两边同时除以非零的$S^3$，得$A^3=S$。
3. 计算$A$的值：
将$S=6\sqrt{6}$代入得$A^3=6\sqrt{6}$，又因为$6\sqrt{6}=\sqrt{6}×\sqrt{6}×\sqrt{6}=(\sqrt{6})^3$，实数范围内三次方根唯一，因此$A=\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式乘法，实数乘方，乘法幻方规律
【点评】
本题结合幻方规律考查二次根式的运算，解题的关键是先求出公共乘积，再通过逻辑推导建立中间数和公共乘积的关系，需要掌握二次根式的化简方法和基本的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
5 在实数原有的运算法则中我们定义一个新运算“Δ”如下：当$x ≤ y$时，$x \Delta y = \sqrt{|x|}$；当$x ＞ y$时，$x \Delta y = y$，则$[-9 \Delta (-3)] × [4 \Delta (-3)]$的值为
$-9$
。答案
$-9$
解析
【分析】
解决本题的核心是先准确理解新运算“Δ”的规则，运算时需先比较新运算前后两个数的大小，再根据大小关系选择对应的运算公式分别计算两个中括号内的结果，最后将两个结果相乘得到最终答案。第一步先计算$[-9\Delta (-3)]$：先判断-9和-3的大小，选择对应公式计算；第二步计算$[4\Delta (-3)]$：同样先判断4和-3的大小，选择对应公式计算；第三步将两个结果相乘即可。
【解析】
首先计算$-9\Delta (-3)$：
比较$-9$和$-3$的大小，$-9 ＜ -3$，满足$x ≤ y$的情况，根据规则$x\Delta y=\sqrt{|x|}$，可得：
$-9\Delta (-3)=\sqrt{|-9|}=\sqrt{9}=3$
接下来计算$4\Delta (-3)$：
比较$4$和$-3$的大小，$4 ＞ -3$，满足$x ＞ y$的情况，根据规则$x\Delta y=y$，可得：
$4\Delta (-3)=-3$
最后计算两个结果的乘积：
$[-9\Delta (-3)] × [4\Delta (-3)] = 3 × (-3) = -9$
【答案】
$-9$
【知识点】
新定义运算，实数大小比较，实数运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，重点考查对新运算规则的理解和应用能力，解题的关键是严格按照规则先判断大小再选对应公式计算，只要认真审题理清运算顺序，就能顺利求出结果。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先准确理解新运算“Δ”的规则，运算时需先比较新运算前后两个数的大小，再根据大小关系选择对应的运算公式分别计算两个中括号内的结果，最后将两个结果相乘得到最终答案。第一步先计算$[-9\Delta (-3)]$：先判断-9和-3的大小，选择对应公式计算；第二步计算$[4\Delta (-3)]$：同样先判断4和-3的大小，选择对应公式计算；第三步将两个结果相乘即可。
【解析】
首先计算$-9\Delta (-3)$：
比较$-9$和$-3$的大小，$-9 ＜ -3$，满足$x ≤ y$的情况，根据规则$x\Delta y=\sqrt{|x|}$，可得：
$-9\Delta (-3)=\sqrt{|-9|}=\sqrt{9}=3$
接下来计算$4\Delta (-3)$：
比较$4$和$-3$的大小，$4 ＞ -3$，满足$x ＞ y$的情况，根据规则$x\Delta y=y$，可得：
$4\Delta (-3)=-3$
最后计算两个结果的乘积：
$[-9\Delta (-3)] × [4\Delta (-3)] = 3 × (-3) = -9$
【答案】
$-9$
【知识点】
新定义运算，实数大小比较，实数运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，重点考查对新运算规则的理解和应用能力，解题的关键是严格按照规则先判断大小再选对应公式计算，只要认真审题理清运算顺序，就能顺利求出结果。
【难度系数】
0.7
⑥ 已知 $ x = \sqrt{5} - 1 $，则代数式 $ x^2 + 3x + 2 $ 的值为
$\sqrt{5}+5$
。答案
$\sqrt{5}+5$
解析
【分析】
已知x是含二次根式的表达式，求代数式的值时，为了简化计算、降低出错概率，可先对二次三项式因式分解后再代入计算，也可以直接代入后按运算法则逐步计算。具体思考路径：首先观察代数式$x^2+3x+2$的结构，可通过十字相乘法分解为两个一次式的乘积，再将x的值代入分解后的式子，最后按二次根式的运算规则计算结果即可。
【解析】
方法一：因式分解后代入计算
第一步，对代数式因式分解：
由十字相乘法可得$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$
第二步，代入$x=\sqrt{5}-1$计算：
$x+1=(\sqrt{5}-1)+1=\sqrt{5}$
$x+2=(\sqrt{5}-1)+2=\sqrt{5}+1$
第三步，计算乘积：
原式$=\sqrt{5}×(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5})^2+\sqrt{5}×1=5+\sqrt{5}=\sqrt{5}+5$
方法二：直接代入计算
将$x=\sqrt{5}-1$代入原式：
先计算$x^2=(\sqrt{5}-1)^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$
再计算$3x=3(\sqrt{5}-1)=3\sqrt{5}-3$
合并各项得：
$x^2+3x+2=(6-2\sqrt{5})+(3\sqrt{5}-3)+2=5+\sqrt{5}=\sqrt{5}+5$
【答案】
$\sqrt{5}+5$
【知识点】
代数式求值、因式分解、二次根式运算
【点评】
本题是实数运算中的基础题型，两种解法都符合学段要求，其中先因式分解再代入的方法计算量更小，更推荐使用，同学们要熟练掌握十字相乘法分解二次三项式的技巧。
【难度系数】
0.7
已知x是含二次根式的表达式，求代数式的值时，为了简化计算、降低出错概率，可先对二次三项式因式分解后再代入计算，也可以直接代入后按运算法则逐步计算。具体思考路径：首先观察代数式$x^2+3x+2$的结构，可通过十字相乘法分解为两个一次式的乘积，再将x的值代入分解后的式子，最后按二次根式的运算规则计算结果即可。
【解析】
方法一：因式分解后代入计算
第一步，对代数式因式分解：
由十字相乘法可得$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$
第二步，代入$x=\sqrt{5}-1$计算：
$x+1=(\sqrt{5}-1)+1=\sqrt{5}$
$x+2=(\sqrt{5}-1)+2=\sqrt{5}+1$
第三步，计算乘积：
原式$=\sqrt{5}×(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5})^2+\sqrt{5}×1=5+\sqrt{5}=\sqrt{5}+5$
方法二：直接代入计算
将$x=\sqrt{5}-1$代入原式：
先计算$x^2=(\sqrt{5}-1)^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$
再计算$3x=3(\sqrt{5}-1)=3\sqrt{5}-3$
合并各项得：
$x^2+3x+2=(6-2\sqrt{5})+(3\sqrt{5}-3)+2=5+\sqrt{5}=\sqrt{5}+5$
【答案】
$\sqrt{5}+5$
【知识点】
代数式求值、因式分解、二次根式运算
【点评】
本题是实数运算中的基础题型，两种解法都符合学段要求，其中先因式分解再代入的方法计算量更小，更推荐使用，同学们要熟练掌握十字相乘法分解二次三项式的技巧。
【难度系数】
0.7
7 $(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})-(\sqrt{3}-1)^2=$
$-6+2\sqrt{3}$
。答案
$-6+2\sqrt{3}$
解析
【分析】
这道题是实数的混合运算，可利用整式乘法的平方差公式和完全平方公式简化计算，解题思路为：1. 先用平方差公式计算$(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})$；2. 再用完全平方公式计算$(\sqrt{3}-1)^2$；3. 去括号后合并同类项得到结果，计算时要注意去括号的符号变化，避免符号错误。
【解析】
解：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$分步计算：
1. 计算第一部分：
$(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=1^2 - (\sqrt{3})^2=1-3=-2$
2. 计算第二部分：
$(\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 + 1^2=3 - 2\sqrt{3} + 1=4 - 2\sqrt{3}$
3. 代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=-2 - (4 - 2\sqrt{3})\\&=-2 -4 + 2\sqrt{3}\\&=-6 + 2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-6+2\sqrt{3}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，实数运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查乘法公式在实数运算中的应用，计算时需注意完全平方公式展开不要漏项，去括号时若括号前为负号，括号内各项要变号，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
这道题是实数的混合运算，可利用整式乘法的平方差公式和完全平方公式简化计算，解题思路为：1. 先用平方差公式计算$(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})$；2. 再用完全平方公式计算$(\sqrt{3}-1)^2$；3. 去括号后合并同类项得到结果，计算时要注意去括号的符号变化，避免符号错误。
【解析】
解：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$分步计算：
1. 计算第一部分：
$(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=1^2 - (\sqrt{3})^2=1-3=-2$
2. 计算第二部分：
$(\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 + 1^2=3 - 2\sqrt{3} + 1=4 - 2\sqrt{3}$
3. 代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=-2 - (4 - 2\sqrt{3})\\&=-2 -4 + 2\sqrt{3}\\&=-6 + 2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-6+2\sqrt{3}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，实数运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查乘法公式在实数运算中的应用，计算时需注意完全平方公式展开不要漏项，去括号时若括号前为负号，括号内各项要变号，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
⑧ 如果 $x=\sqrt{2}-1$，$y=3\sqrt{2}+2$，那么 $2y - 3x =$
$3\sqrt{2}+7$
。答案
$3\sqrt{2}+7$
解析
【分析】
本题是已知代数式中字母的取值求代数式结果的题型，解题思路如下：第一步，将给定的x、y的值代入待求式$2y-3x$中；第二步，根据去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号；第三步，分别合并同类二次根式和常数项，即可得到最终结果。
【解析】
将$x=\sqrt{2}-1$，$y=3\sqrt{2}+2$代入$2y-3x$，计算过程如下：
$\begin{aligned}2y-3x&=2×(3\sqrt{2}+2)-3×(\sqrt{2}-1)\\&=6\sqrt{2}+4-3\sqrt{2}+3\\&=(6\sqrt{2}-3\sqrt{2})+(4+3)\\&=3\sqrt{2}+7\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{2}+7$
【知识点】
代数式求值；二次根式的加减运算；去括号法则
【点评】
本题属于实数运算的基础常规题，核心考查代入求值的方法和二次根式的合并运算，计算时需注意去括号的符号变化，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
本题是已知代数式中字母的取值求代数式结果的题型，解题思路如下：第一步，将给定的x、y的值代入待求式$2y-3x$中；第二步，根据去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号；第三步，分别合并同类二次根式和常数项，即可得到最终结果。
【解析】
将$x=\sqrt{2}-1$，$y=3\sqrt{2}+2$代入$2y-3x$，计算过程如下：
$\begin{aligned}2y-3x&=2×(3\sqrt{2}+2)-3×(\sqrt{2}-1)\\&=6\sqrt{2}+4-3\sqrt{2}+3\\&=(6\sqrt{2}-3\sqrt{2})+(4+3)\\&=3\sqrt{2}+7\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{2}+7$
【知识点】
代数式求值；二次根式的加减运算；去括号法则
【点评】
本题属于实数运算的基础常规题，核心考查代入求值的方法和二次根式的合并运算，计算时需注意去括号的符号变化，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
9 已知$a=2+\sqrt{5}$，$b=2-\sqrt{5}$，则$a^2 - b^2 =$
$8\sqrt{5}$
。答案
$8\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题思路：首先观察所求代数式$a^2 - b^2$的结构，符合平方差公式的形式，因此优先用平方差公式因式分解，将其转化为$(a+b)(a-b)$的形式，再分别代入$a$、$b$的值计算$a+b$和$a-b$，最后将两个结果相乘即可。该方法比直接计算$a^2$、$b^2$再相减更简便，可减少计算错误。
【解析】
解：利用平方差公式因式分解得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
计算$a+b$的值：
$a + b = (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) = 2 + 2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 4$
计算$a-b$的值：
$a - b = (2+\sqrt{5}) - (2-\sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5} - 2 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
将结果相乘得：
$(a+b)(a-b) = 4 × 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$
【答案】
$8\sqrt{5}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 二次根式运算
3. 代数式化简求值
【点评】
本题考查实数范围内的代数式求值，灵活运用平方差公式对所求式子变形，能大幅简化计算过程，是解决此类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察所求代数式$a^2 - b^2$的结构，符合平方差公式的形式，因此优先用平方差公式因式分解，将其转化为$(a+b)(a-b)$的形式，再分别代入$a$、$b$的值计算$a+b$和$a-b$，最后将两个结果相乘即可。该方法比直接计算$a^2$、$b^2$再相减更简便，可减少计算错误。
【解析】
解：利用平方差公式因式分解得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
计算$a+b$的值：
$a + b = (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) = 2 + 2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 4$
计算$a-b$的值：
$a - b = (2+\sqrt{5}) - (2-\sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5} - 2 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
将结果相乘得：
$(a+b)(a-b) = 4 × 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$
【答案】
$8\sqrt{5}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 二次根式运算
3. 代数式化简求值
【点评】
本题考查实数范围内的代数式求值，灵活运用平方差公式对所求式子变形，能大幅简化计算过程，是解决此类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
⑩ 已知m、n是有理数，且$(\sqrt{5}+2)m + (3 - 2\sqrt{5})n +7=0$，则$m^n =$
$-\frac{1}{2}$
。答案
$-\frac{1}{2}$
[提示:由$(\sqrt{5}+2)m+(3-2\sqrt{5})n+7=0$,得$\sqrt{5}(m-2n)+2m+3n+7=0$,因为$m$、$n$是有理数,所以$m-2n$、$2m+3n+7$必为有理数,又因为$\sqrt{5}$是无理数,所以当且仅当$m-2n=0$、$2m+3n+7=0$时,等式才成立,所以$n=-1$,$m=-2$。所以$m^n=-\frac{1}{2}$。]
[提示:由$(\sqrt{5}+2)m+(3-2\sqrt{5})n+7=0$,得$\sqrt{5}(m-2n)+2m+3n+7=0$,因为$m$、$n$是有理数,所以$m-2n$、$2m+3n+7$必为有理数,又因为$\sqrt{5}$是无理数,所以当且仅当$m-2n=0$、$2m+3n+7=0$时,等式才成立,所以$n=-1$,$m=-2$。所以$m^n=-\frac{1}{2}$。]
解析
【分析】
本题给出含无理数$\sqrt{5}$的等式，且m、n为有理数，解题核心思路是：先将等式展开，把含$\sqrt{5}$的项和不含$\sqrt{5}$的有理数项分别合并。由于无理数和有理数的运算性质：非零有理数乘无理数仍为无理数，无法和有理数相加得到0，因此只有当含$\sqrt{5}$项的系数为0，同时有理数部分的和也为0时，等式才能成立，据此可列二元一次方程组求出m、n的值，最后代入计算$m^n$即可。
【解析】
首先展开并整理原等式：
$\begin{aligned}(\sqrt{5}+2)m + (3 - 2\sqrt{5})n +7 &= 0 \\\sqrt{5}m + 2m + 3n - 2\sqrt{5}n +7 &=0 \\\sqrt{5}(m - 2n) + (2m + 3n +7) &=0\end{aligned}$
因为m、n是有理数，所以$m-2n$、$2m+3n+7$都是有理数，而$\sqrt{5}$是无理数。
若等式成立，需满足：无理数项的系数为0，有理数部分的和也为0，因此得到方程组：
$\begin{cases}m - 2n = 0 ① \\2m + 3n +7 =0 ②\end{cases}$
由①得：$m=2n$，将其代入②：
$2×2n +3n +7=0$
$4n +3n = -7$
$7n=-7$，解得$n=-1$
把$n=-1$代入$m=2n$，得$m=2×(-1)=-2$
最后计算$m^n=(-2)^{-1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 无理数的性质 2. 二元一次方程组解法 3. 负整数指数幂
【点评】
本题是实数运算的典型题型，解题的关键是掌握“有理数与无理数相加结果为0时，需有理数部分、无理数项的系数分别为0”的性质，通过拆分等式建立方程组求解，同时要注意负整数指数幂的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
本题给出含无理数$\sqrt{5}$的等式，且m、n为有理数，解题核心思路是：先将等式展开，把含$\sqrt{5}$的项和不含$\sqrt{5}$的有理数项分别合并。由于无理数和有理数的运算性质：非零有理数乘无理数仍为无理数，无法和有理数相加得到0，因此只有当含$\sqrt{5}$项的系数为0，同时有理数部分的和也为0时，等式才能成立，据此可列二元一次方程组求出m、n的值，最后代入计算$m^n$即可。
【解析】
首先展开并整理原等式：
$\begin{aligned}(\sqrt{5}+2)m + (3 - 2\sqrt{5})n +7 &= 0 \\\sqrt{5}m + 2m + 3n - 2\sqrt{5}n +7 &=0 \\\sqrt{5}(m - 2n) + (2m + 3n +7) &=0\end{aligned}$
因为m、n是有理数，所以$m-2n$、$2m+3n+7$都是有理数，而$\sqrt{5}$是无理数。
若等式成立，需满足：无理数项的系数为0，有理数部分的和也为0，因此得到方程组：
$\begin{cases}m - 2n = 0 ① \\2m + 3n +7 =0 ②\end{cases}$
由①得：$m=2n$，将其代入②：
$2×2n +3n +7=0$
$4n +3n = -7$
$7n=-7$，解得$n=-1$
把$n=-1$代入$m=2n$，得$m=2×(-1)=-2$
最后计算$m^n=(-2)^{-1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 无理数的性质 2. 二元一次方程组解法 3. 负整数指数幂
【点评】
本题是实数运算的典型题型，解题的关键是掌握“有理数与无理数相加结果为0时，需有理数部分、无理数项的系数分别为0”的性质，通过拆分等式建立方程组求解，同时要注意负整数指数幂的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
11 计算：
(1) $2\sqrt{7} + 3\sqrt{7} - 4\sqrt{7}$；
(2) $\sqrt{5} × 3\sqrt{3} ÷ \frac{1}{6\sqrt{5}}$；
(3) $(2 - \sqrt{3})^2 × (2 + \sqrt{3})^2$。
(1) $2\sqrt{7} + 3\sqrt{7} - 4\sqrt{7}$；
(2) $\sqrt{5} × 3\sqrt{3} ÷ \frac{1}{6\sqrt{5}}$；
(3) $(2 - \sqrt{3})^2 × (2 + \sqrt{3})^2$。
答案
(1) $\sqrt{7}$ (2) $90\sqrt{3}$ (3) $1$
解析
【分析】
这三道题均为二次根式的基础运算题：
(1) 属于同类二次根式的加减运算，解题思路类比合并同类项，将各根式的系数相加减，根号部分保持不变即可。
(2) 属于二次根式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法运算，再分别计算系数的乘积、二次根式的乘积，最后化简结果。
(3) 可利用运算律简化计算，先逆用积的乘方公式将两个平方的乘积转化为底数乘积的平方，再利用平方差公式计算底数的乘积，最后计算平方即可，避免分别展开平方带来的复杂计算。
【解析】
(1) 解：原式$=(2+3-4)\sqrt{7}=1×\sqrt{7}=\sqrt{7}$
(2) 解：原式$=\sqrt{5}×3\sqrt{3}×6\sqrt{5}$
$=(1×3×6)×(\sqrt{5}×\sqrt{5}×\sqrt{3})$
$=18×5×\sqrt{3}$
$=90\sqrt{3}$
(3) 解：原式$=[(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})]^2$
$=[2^2-(\sqrt{3})^2]^2$
$=(4-3)^2$
$=1^2=1$
【答案】
(1) $\sqrt{7}$；(2) $90\sqrt{3}$；(3) $1$
【知识点】
1. 二次根式加减运算
2. 二次根式乘除运算
3. 乘法公式的运用
【点评】
这三道题是二次根式运算的常规基础题，分别考查了二次根式不同类型的运算规则，解题时若能灵活运用运算律和乘法公式，可大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这三道题均为二次根式的基础运算题：
(1) 属于同类二次根式的加减运算，解题思路类比合并同类项，将各根式的系数相加减，根号部分保持不变即可。
(2) 属于二次根式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法运算，再分别计算系数的乘积、二次根式的乘积，最后化简结果。
(3) 可利用运算律简化计算，先逆用积的乘方公式将两个平方的乘积转化为底数乘积的平方，再利用平方差公式计算底数的乘积，最后计算平方即可，避免分别展开平方带来的复杂计算。
【解析】
(1) 解：原式$=(2+3-4)\sqrt{7}=1×\sqrt{7}=\sqrt{7}$
(2) 解：原式$=\sqrt{5}×3\sqrt{3}×6\sqrt{5}$
$=(1×3×6)×(\sqrt{5}×\sqrt{5}×\sqrt{3})$
$=18×5×\sqrt{3}$
$=90\sqrt{3}$
(3) 解：原式$=[(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})]^2$
$=[2^2-(\sqrt{3})^2]^2$
$=(4-3)^2$
$=1^2=1$
【答案】
(1) $\sqrt{7}$；(2) $90\sqrt{3}$；(3) $1$
【知识点】
1. 二次根式加减运算
2. 二次根式乘除运算
3. 乘法公式的运用
【点评】
这三道题是二次根式运算的常规基础题，分别考查了二次根式不同类型的运算规则，解题时若能灵活运用运算律和乘法公式，可大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
