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10 如图，若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍，则此数轴的原点在点
C或D
。（横线上填A、B、C或D）答案
C或D [提示:由图示知,b-a=4,①当a＞0,b＞0时,由题意可得|a|=3|b|,即a=3b,解得a=-6,b=-2,舍去;②当a＜0,b＜0时,由题意可得|a|=3|b|,即a=3b,解得a=-6,b=-2,故数轴的原点在D点;③当a＜0,b＞0时,由题意可得|a|=3|b|,即-a=3b,解得a=-3,b=1,故数轴的原点在C点。综上所述,数轴的原点在点C或点D。]
解析
【分析】首先观察数轴可得a、b之间相差4个单位长度，即$b=a+4$，结合题目的条件$|a|=3|b|$，由于a、b的正负性不确定，需要分三种情况讨论：a、b均为正，a、b均为负，a负b正，分别求解a、b的值，判断是否符合对应情况的正负假设，再根据求得的a、b的值确定原点的位置即可。
【解析】解：由数轴可知，b在a右侧，且两点间隔4个单位长度，因此$b-a=4$，即$b=a+4$。
已知$|a|=3|b|$，分三种情况讨论：
① 当$a＞0,b＞0$时，去掉绝对值得$a=3b$，代入$b=a+4$得：
$b=3b+4$，解得$b=-2,a=-6$，与$a＞0,b＞0$矛盾，舍去；
② 当$a＜0,b＜0$时，去掉绝对值得$-a=3×(-b)$，即$a=3b$，代入$b=a+4$得：
$b=3b+4$，解得$b=-2,a=-6$，符合假设。此时b对应的值为-2，原点0在b右侧2个单位长度处，即点D；
③ 当$a＜0,b＞0$时，去掉绝对值得$-a=3b$，即$a=-3b$，代入$b=a+4$得：
$b=-3b+4$，解得$b=1,a=-3$，符合假设。此时b对应的值为1，原点0在b左侧1个单位长度处，即点C。
综上，数轴的原点在点C或D。
【答案】C或D
【知识点】数轴的应用；绝对值的性质；分类讨论思想
【点评】本题解题的关键是先根据数轴得到a、b的差的关系，再结合绝对值的性质分情况讨论，求解后要注意验证结果是否符合对应情况的正负要求，避免出现错解、漏解。
【难度系数】0.6
【解析】解：由数轴可知，b在a右侧，且两点间隔4个单位长度，因此$b-a=4$，即$b=a+4$。
已知$|a|=3|b|$，分三种情况讨论：
① 当$a＞0,b＞0$时，去掉绝对值得$a=3b$，代入$b=a+4$得：
$b=3b+4$，解得$b=-2,a=-6$，与$a＞0,b＞0$矛盾，舍去；
② 当$a＜0,b＜0$时，去掉绝对值得$-a=3×(-b)$，即$a=3b$，代入$b=a+4$得：
$b=3b+4$，解得$b=-2,a=-6$，符合假设。此时b对应的值为-2，原点0在b右侧2个单位长度处，即点D；
③ 当$a＜0,b＞0$时，去掉绝对值得$-a=3b$，即$a=-3b$，代入$b=a+4$得：
$b=-3b+4$，解得$b=1,a=-3$，符合假设。此时b对应的值为1，原点0在b左侧1个单位长度处，即点C。
综上，数轴的原点在点C或D。
【答案】C或D
【知识点】数轴的应用；绝对值的性质；分类讨论思想
【点评】本题解题的关键是先根据数轴得到a、b的差的关系，再结合绝对值的性质分情况讨论，求解后要注意验证结果是否符合对应情况的正负要求，避免出现错解、漏解。
【难度系数】0.6
11 比较大小。
(1) $-\dfrac{3}{7}$和$-\dfrac{2}{7}$；
(2) $-\dfrac{3}{11}$和$-0.272$；
(3) $-\dfrac{2}{3}$和$-\dfrac{5}{8}$；
(4) $-\dfrac{5}{7}$和$-\dfrac{10}{13}$。
(1) $-\dfrac{3}{7}$和$-\dfrac{2}{7}$；
(2) $-\dfrac{3}{11}$和$-0.272$；
(3) $-\dfrac{2}{3}$和$-\dfrac{5}{8}$；
(4) $-\dfrac{5}{7}$和$-\dfrac{10}{13}$。
答案
(1) $-\frac{3}{7}＜-\frac{2}{7}$
(2) $-\frac{3}{11}＜-0.272$
(3) $-\frac{2}{3}＜-\frac{5}{8}$
(4) $-\frac{5}{7}＞-\frac{10}{13}$
(2) $-\frac{3}{11}＜-0.272$
(3) $-\frac{2}{3}＜-\frac{5}{8}$
(4) $-\frac{5}{7}＞-\frac{10}{13}$
解析
【分析】
比较两个负数的大小，核心规则是“两个负数，绝对值大的反而小”，解题思路统一为：第一步先求出两个负数的绝对值，第二步比较两个绝对值的大小，第三步根据规则判断原负数的大小关系。不同类型的数比较绝对值时可灵活选用方法：同分母分数直接比分子；分数和小数比较可将分数化为小数（或小数化分数）；异分母分数可先通分化为同分母分数，或统一分子后比较分母大小。
【解析】
(1) 先求两个数的绝对值：$\left|-\dfrac{3}{7}\right|=\dfrac{3}{7}$，$\left|-\dfrac{2}{7}\right|=\dfrac{2}{7}$
因为 $\dfrac{3}{7}＞\dfrac{2}{7}$，根据两个负数绝对值大的反而小，可得 $-\dfrac{3}{7}＜-\dfrac{2}{7}$
(2) 先求两个数的绝对值：$\left|-\dfrac{3}{11}\right|=\dfrac{3}{11}\approx0.2727$，$\left|-0.272\right|=0.272$
因为 $0.2727＞0.272$，根据两个负数绝对值大的反而小，可得 $-\dfrac{3}{11}＜-0.272$
(3) 先求两个数的绝对值：$\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$，$\left|-\dfrac{5}{8}\right|=\dfrac{5}{8}$
对两个分数通分，分母3和8的最小公倍数是24：$\dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{24}$，$\dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{24}$
因为 $\dfrac{16}{24}＞\dfrac{15}{24}$，即 $\dfrac{2}{3}＞\dfrac{5}{8}$，根据两个负数绝对值大的反而小，可得 $-\dfrac{2}{3}＜-\dfrac{5}{8}$
(4) 先求两个数的绝对值：$\left|-\dfrac{5}{7}\right|=\dfrac{5}{7}$，$\left|-\dfrac{10}{13}\right|=\dfrac{10}{13}$
统一分子比较：$\dfrac{5}{7}=\dfrac{10}{14}$，分子相同的正分数，分母越大分数越小，所以 $\dfrac{10}{14}＜\dfrac{10}{13}$，即 $\dfrac{5}{7}＜\dfrac{10}{13}$
根据两个负数绝对值小的反而大，可得 $-\dfrac{5}{7}＞-\dfrac{10}{13}$
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{7}＜-\dfrac{2}{7}$
(2) $-\dfrac{3}{11}＜-0.272$
(3) $-\dfrac{2}{3}＜-\dfrac{5}{8}$
(4) $-\dfrac{5}{7}＞-\dfrac{10}{13}$
【知识点】
负数大小比较，绝对值的性质，分数通分
【点评】
本题重点考查负数大小比较的规则，解题核心是熟练运用“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的结论，需要掌握分数通分、分数与小数互化的基础运算，计算时注意准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
比较两个负数的大小，核心规则是“两个负数，绝对值大的反而小”，解题思路统一为：第一步先求出两个负数的绝对值，第二步比较两个绝对值的大小，第三步根据规则判断原负数的大小关系。不同类型的数比较绝对值时可灵活选用方法：同分母分数直接比分子；分数和小数比较可将分数化为小数（或小数化分数）；异分母分数可先通分化为同分母分数，或统一分子后比较分母大小。
【解析】
(1) 先求两个数的绝对值：$\left|-\dfrac{3}{7}\right|=\dfrac{3}{7}$，$\left|-\dfrac{2}{7}\right|=\dfrac{2}{7}$
因为 $\dfrac{3}{7}＞\dfrac{2}{7}$，根据两个负数绝对值大的反而小，可得 $-\dfrac{3}{7}＜-\dfrac{2}{7}$
(2) 先求两个数的绝对值：$\left|-\dfrac{3}{11}\right|=\dfrac{3}{11}\approx0.2727$，$\left|-0.272\right|=0.272$
因为 $0.2727＞0.272$，根据两个负数绝对值大的反而小，可得 $-\dfrac{3}{11}＜-0.272$
(3) 先求两个数的绝对值：$\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$，$\left|-\dfrac{5}{8}\right|=\dfrac{5}{8}$
对两个分数通分，分母3和8的最小公倍数是24：$\dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{24}$，$\dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{24}$
因为 $\dfrac{16}{24}＞\dfrac{15}{24}$，即 $\dfrac{2}{3}＞\dfrac{5}{8}$，根据两个负数绝对值大的反而小，可得 $-\dfrac{2}{3}＜-\dfrac{5}{8}$
(4) 先求两个数的绝对值：$\left|-\dfrac{5}{7}\right|=\dfrac{5}{7}$，$\left|-\dfrac{10}{13}\right|=\dfrac{10}{13}$
统一分子比较：$\dfrac{5}{7}=\dfrac{10}{14}$，分子相同的正分数，分母越大分数越小，所以 $\dfrac{10}{14}＜\dfrac{10}{13}$，即 $\dfrac{5}{7}＜\dfrac{10}{13}$
根据两个负数绝对值小的反而大，可得 $-\dfrac{5}{7}＞-\dfrac{10}{13}$
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{7}＜-\dfrac{2}{7}$
(2) $-\dfrac{3}{11}＜-0.272$
(3) $-\dfrac{2}{3}＜-\dfrac{5}{8}$
(4) $-\dfrac{5}{7}＞-\dfrac{10}{13}$
【知识点】
负数大小比较，绝对值的性质，分数通分
【点评】
本题重点考查负数大小比较的规则，解题核心是熟练运用“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的结论，需要掌握分数通分、分数与小数互化的基础运算，计算时注意准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
12 阅读小彬的日记,完成相应任务。
×年×月×日
比较两个数的大小的方法
今天,我在一本数学课外书上看到这样一道题:比较$-\frac{99}{201}$与$-\frac{51}{101}$的大小,这道题利用绝对值法比较这两个负数的
小太复杂,怎样办?
该书提供了如下的方法:
解:因为$\frac{99}{201}＜\frac{1}{2}$,$\frac{51}{101}＞\frac{1}{2}$,所以$\frac{99}{201}＜\frac{51}{101}$,所以$-\frac{99}{201}＞-\frac{51}{101}$。
我有如下思考:这种方法叫什么方法?是通过哪个量做比较的?……
任务:
(1) 上述方法是先通过找中间量
(2) 利用上述方法比较$-\frac{77}{230}$与$-\frac{39}{121}$的大小。
×年×月×日
比较两个数的大小的方法
今天,我在一本数学课外书上看到这样一道题:比较$-\frac{99}{201}$与$-\frac{51}{101}$的大小,这道题利用绝对值法比较这两个负数的
小太复杂,怎样办?该书提供了如下的方法:
解:因为$\frac{99}{201}＜\frac{1}{2}$,$\frac{51}{101}＞\frac{1}{2}$,所以$\frac{99}{201}＜\frac{51}{101}$,所以$-\frac{99}{201}＞-\frac{51}{101}$。
我有如下思考:这种方法叫什么方法?是通过哪个量做比较的?……
任务:
(1) 上述方法是先通过找中间量
$\frac{1}{2}$
来比较$\frac{99}{201}$与$\frac{51}{101}$的大小,再根据两个负数比较大小,绝对值
大的负数反而小,这种方法叫做借助中间量比较法。(2) 利用上述方法比较$-\frac{77}{230}$与$-\frac{39}{121}$的大小。
答案
(1) $\frac{1}{2}$,绝对值
(2) 因为$\frac{77}{230}＞\frac{1}{3}$,$\frac{39}{121}＜\frac{1}{3}$,所以$\frac{77}{230}＞\frac{39}{121}$,所以$-\frac{77}{230}＜-\frac{39}{121}$。
(2) 因为$\frac{77}{230}＞\frac{1}{3}$,$\frac{39}{121}＜\frac{1}{3}$,所以$\frac{77}{230}＞\frac{39}{121}$,所以$-\frac{77}{230}＜-\frac{39}{121}$。
解析
【分析】
(1) 阅读题目给出的示例，能发现比较两个正分数时选用了$\frac{1}{2}$作为参照的中间量，先判断两个正分数和中间量的大小，即可得到两个正分数的大小关系；再结合负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的反而小，就能得到最终的大小关系，因此第一问的两个空可依次确定。
(2) 用中间量法比较两个负数的大小，首先要找适配的中间量，观察两个正分数$\frac{77}{230}$、$\frac{39}{121}$的分母，可选取$\frac{1}{3}$作为中间量：先分别判断两个正分数和$\frac{1}{3}$的大小，得到两个正分数的大小关系后，再根据负数比较大小的规则，就能得出两个负数的大小。
【解析】
(1) 示例中将$\frac{99}{201}$、$\frac{51}{101}$分别和中间量$\frac{1}{2}$比较，得到两个正分数的大小后，依据“两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小”得到最终结果，因此两个空依次填$\frac{1}{2}$、绝对值。
(2) 解：选取中间量$\frac{1}{3}$，分别比较两个正分数与$\frac{1}{3}$的大小：
$\frac{1}{3}=\frac{230÷3}{230}=\frac{76\frac{2}{3}}{230}$，因为$77＞76\frac{2}{3}$，所以$\frac{77}{230}＞\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3}=\frac{121÷3}{121}=\frac{40\frac{1}{3}}{121}$，因为$39＜40\frac{1}{3}$，所以$\frac{39}{121}＜\frac{1}{3}$；
由此可得$\frac{77}{230}＞\frac{39}{121}$，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$-\frac{77}{230}＜-\frac{39}{121}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$，绝对值
(2) 因为$\frac{77}{230}＞\frac{1}{3}$,$\frac{39}{121}＜\frac{1}{3}$,所以$\frac{77}{230}＞\frac{39}{121}$,所以$-\frac{77}{230}＜-\frac{39}{121}$。
【知识点】
负数大小比较，有理数大小比较，中间量比较法
【点评】
本题考查有理数大小比较的实用技巧，借助中间量比较的方法可以规避通分计算的繁琐，降低运算量。解题的核心是根据待比较数的特征选取合适的中间参照量，同时要牢固掌握负数比较大小的规则。
【难度系数】
0.7
(1) 阅读题目给出的示例，能发现比较两个正分数时选用了$\frac{1}{2}$作为参照的中间量，先判断两个正分数和中间量的大小，即可得到两个正分数的大小关系；再结合负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的反而小，就能得到最终的大小关系，因此第一问的两个空可依次确定。
(2) 用中间量法比较两个负数的大小，首先要找适配的中间量，观察两个正分数$\frac{77}{230}$、$\frac{39}{121}$的分母，可选取$\frac{1}{3}$作为中间量：先分别判断两个正分数和$\frac{1}{3}$的大小，得到两个正分数的大小关系后，再根据负数比较大小的规则，就能得出两个负数的大小。
【解析】
(1) 示例中将$\frac{99}{201}$、$\frac{51}{101}$分别和中间量$\frac{1}{2}$比较，得到两个正分数的大小后，依据“两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小”得到最终结果，因此两个空依次填$\frac{1}{2}$、绝对值。
(2) 解：选取中间量$\frac{1}{3}$，分别比较两个正分数与$\frac{1}{3}$的大小：
$\frac{1}{3}=\frac{230÷3}{230}=\frac{76\frac{2}{3}}{230}$，因为$77＞76\frac{2}{3}$，所以$\frac{77}{230}＞\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3}=\frac{121÷3}{121}=\frac{40\frac{1}{3}}{121}$，因为$39＜40\frac{1}{3}$，所以$\frac{39}{121}＜\frac{1}{3}$；
由此可得$\frac{77}{230}＞\frac{39}{121}$，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$-\frac{77}{230}＜-\frac{39}{121}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$，绝对值
(2) 因为$\frac{77}{230}＞\frac{1}{3}$,$\frac{39}{121}＜\frac{1}{3}$,所以$\frac{77}{230}＞\frac{39}{121}$,所以$-\frac{77}{230}＜-\frac{39}{121}$。
【知识点】
负数大小比较，有理数大小比较，中间量比较法
【点评】
本题考查有理数大小比较的实用技巧，借助中间量比较的方法可以规避通分计算的繁琐，降低运算量。解题的核心是根据待比较数的特征选取合适的中间参照量，同时要牢固掌握负数比较大小的规则。
【难度系数】
0.7
