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12 计算：
(1) $(-2)^3 + \sqrt[3]{-64} + \sqrt{(-2)^2} + (-2)^2 + |1 - \sqrt{3}|$；
(2) $3(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{2}(1 - \sqrt{2})$。
(1) $(-2)^3 + \sqrt[3]{-64} + \sqrt{(-2)^2} + (-2)^2 + |1 - \sqrt{3}|$；
(2) $3(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{2}(1 - \sqrt{2})$。
答案
(1) $-7+\sqrt{3}$ (2) $2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+2$
解析
【分析】
这两道题均属于实数的混合运算，解题遵循“先乘方、开方、去绝对值，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序。
第(1)题解题思路：先分别计算出每一项的乘方、立方根、平方根、绝对值的化简结果，再合并常数项和含根式的项即可，注意开方运算的符号，绝对值化简要先判断绝对值内式子的正负。
第(2)题解题思路：先利用乘法分配律去括号，注意括号前是负号时去括号要变号，再合并同类二次根式和常数项即可。
【解析】
(1) 逐项计算各项的值：
$(-2)^3 = -8$，
$\sqrt[3]{-64} = -4$（因为$(-4)^3=-64$），
$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4}=2$，
$(-2)^2=4$，
因为$\sqrt{3}＞1$，所以$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，
将各项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-8 + (-4) + 2 + 4 + (\sqrt{3}-1)\\&=(-8-4+2+4-1) + \sqrt{3}\\&=-7+\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先去括号，再合并同类项：
利用乘法分配律展开：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - \sqrt{2}(1 - \sqrt{2})\\&=3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - \sqrt{2} + 2\\&=(3\sqrt{2}-\sqrt{2}) + 3\sqrt{3} +2\\&=2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-7+\sqrt{3}$；(2) $2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+2$
【知识点】
实数混合运算，绝对值化简，二次根式运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查乘方、开方、绝对值化简、去括号等基础运算规则，解题时需注意各类运算的符号判断，逐项计算可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于实数的混合运算，解题遵循“先乘方、开方、去绝对值，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序。
第(1)题解题思路：先分别计算出每一项的乘方、立方根、平方根、绝对值的化简结果，再合并常数项和含根式的项即可，注意开方运算的符号，绝对值化简要先判断绝对值内式子的正负。
第(2)题解题思路：先利用乘法分配律去括号，注意括号前是负号时去括号要变号，再合并同类二次根式和常数项即可。
【解析】
(1) 逐项计算各项的值：
$(-2)^3 = -8$，
$\sqrt[3]{-64} = -4$（因为$(-4)^3=-64$），
$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4}=2$，
$(-2)^2=4$，
因为$\sqrt{3}＞1$，所以$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，
将各项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-8 + (-4) + 2 + 4 + (\sqrt{3}-1)\\&=(-8-4+2+4-1) + \sqrt{3}\\&=-7+\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先去括号，再合并同类项：
利用乘法分配律展开：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - \sqrt{2}(1 - \sqrt{2})\\&=3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - \sqrt{2} + 2\\&=(3\sqrt{2}-\sqrt{2}) + 3\sqrt{3} +2\\&=2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-7+\sqrt{3}$；(2) $2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+2$
【知识点】
实数混合运算，绝对值化简，二次根式运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查乘方、开方、绝对值化简、去括号等基础运算规则，解题时需注意各类运算的符号判断，逐项计算可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
13 对于实数$a$，我们规定：用符号$[\sqrt{a}]$表示不大于$\sqrt{a}$的最大整数，称$[\sqrt{a}]$为$a$的根整数。例如：$[\sqrt{9}]=3$，$[\sqrt{10}]=3$。
（1）仿照以上方法计算：
$[\sqrt{4}]=$
（2）若$[\sqrt{x}]=1$，写出满足题意的$x$的整数值：
（3）如果我们对$a$连续求根整数，直到结果为1为止。例如：对10连续求根整数2次$[\sqrt{10}]=3 \to [\sqrt{3}]=1$，这时候结果为1。
① 对120连续求根整数，
② 在进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是多少？
（1）仿照以上方法计算：
$[\sqrt{4}]=$
$2$
；$[\sqrt{17}]=$$4$
；（2）若$[\sqrt{x}]=1$，写出满足题意的$x$的整数值：
$1、2、3$
；（3）如果我们对$a$连续求根整数，直到结果为1为止。例如：对10连续求根整数2次$[\sqrt{10}]=3 \to [\sqrt{3}]=1$，这时候结果为1。
① 对120连续求根整数，
$3$
次后结果为1；② 在进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是多少？
答案
(1) 2, 4 (2) 1、2、3 (3) ① 第一次求根整数:$[\sqrt{120}]=10$,第二次求根整数:$[\sqrt{10}]=3$,第三次求根整数:$[\sqrt{3}]=1$。故答案为 3;② 设$[\sqrt{a}]=b$,$[\sqrt{b}]=c$,$[\sqrt{c}]=1$,要使得$a$最大,则$b$要取得最大,同理$c$要取得最大,因为$[\sqrt{c}]=1$,所以$c$能取到的最大值为3,则$[\sqrt{b}]=3$,所以$b$能取到的最大值为15,则$[\sqrt{a}]=15$,所以$a$能取得的最大值为255。所以在进行3次求根整数运算后结果为1的所有正整数中,最大的正整数是255。
解析
【分析】
解题核心是先准确理解“根整数”的定义：$[\sqrt{a}]$是不大于$\sqrt{a}$的最大整数，本质是求$\sqrt{a}$的整数部分。
（1）计算$[\sqrt{4}]$直接求算术平方根即可得结果；计算$[\sqrt{17}]$先估算$\sqrt{17}$的取值范围，再取范围内的最大整数。
（2）根据根整数定义列关于$\sqrt{x}$的不等式，平方后得到$x$的范围，再取范围内的整数。
（3）①按要求对120连续求根整数，直到结果为1，统计运算次数即可；②用逆向推导法：要得到最大的正整数，需让每次运算的输入值都取对应范围内的最大值，从最后一次运算结果为1倒推即可。
【解析】
（1）$\because \sqrt{4}=2$，$\therefore [\sqrt{4}]=2$；
$\because 4^2=16＜17＜25=5^2$，$\therefore 4＜\sqrt{17}＜5$，$\therefore [\sqrt{17}]=4$。
（2）由$[\sqrt{x}]=1$，根据定义得$1≤ \sqrt{x}＜2$，
$\because \sqrt{x}$是非负数，对不等式三边同时平方得$1≤ x＜4$，
$\because x$是整数，$\therefore x$的整数值为1、2、3。
（3）① 第一次运算：$\because 10^2=100＜120＜121=11^2$，$\therefore [\sqrt{120}]=10$；
第二次运算：$\because 3^2=9＜10＜16=4^2$，$\therefore [\sqrt{10}]=3$；
第三次运算：$\because 1^2=1＜3＜4=2^2$，$\therefore [\sqrt{3}]=1$，共3次运算后结果为1。
② 逆向推导最大正整数：
设第三次运算的输入值为$c$，$\because [\sqrt{c}]=1$，$\therefore 1≤ \sqrt{c}＜2$，平方得$1≤ c＜4$，$c$的最大值为3；
设第二次运算的输入值为$b$，$\because [\sqrt{b}]=3$，$\therefore 3≤ \sqrt{b}＜4$，平方得$9≤ b＜16$，$b$的最大值为15；
设第一次运算的输入值为$a$，$\because [\sqrt{a}]=15$，$\therefore 15≤ \sqrt{a}＜16$，平方得$225≤ a＜256$，$a$的最大值为255。
【答案】
(1) 2，4；(2) 1、2、3；(3) ①3；②255
【知识点】
1. 新定义运算 2. 无理数的估算 3. 不等式的应用
【点评】
本题结合新定义考查对新概念的理解和应用能力，解题的关键是紧扣根整数的定义，正向计算时要准确估算无理数的范围，逆向求最大值时要注意边界的取值，避免因范围判断错误失分。
【难度系数】
0.6
解题核心是先准确理解“根整数”的定义：$[\sqrt{a}]$是不大于$\sqrt{a}$的最大整数，本质是求$\sqrt{a}$的整数部分。
（1）计算$[\sqrt{4}]$直接求算术平方根即可得结果；计算$[\sqrt{17}]$先估算$\sqrt{17}$的取值范围，再取范围内的最大整数。
（2）根据根整数定义列关于$\sqrt{x}$的不等式，平方后得到$x$的范围，再取范围内的整数。
（3）①按要求对120连续求根整数，直到结果为1，统计运算次数即可；②用逆向推导法：要得到最大的正整数，需让每次运算的输入值都取对应范围内的最大值，从最后一次运算结果为1倒推即可。
【解析】
（1）$\because \sqrt{4}=2$，$\therefore [\sqrt{4}]=2$；
$\because 4^2=16＜17＜25=5^2$，$\therefore 4＜\sqrt{17}＜5$，$\therefore [\sqrt{17}]=4$。
（2）由$[\sqrt{x}]=1$，根据定义得$1≤ \sqrt{x}＜2$，
$\because \sqrt{x}$是非负数，对不等式三边同时平方得$1≤ x＜4$，
$\because x$是整数，$\therefore x$的整数值为1、2、3。
（3）① 第一次运算：$\because 10^2=100＜120＜121=11^2$，$\therefore [\sqrt{120}]=10$；
第二次运算：$\because 3^2=9＜10＜16=4^2$，$\therefore [\sqrt{10}]=3$；
第三次运算：$\because 1^2=1＜3＜4=2^2$，$\therefore [\sqrt{3}]=1$，共3次运算后结果为1。
② 逆向推导最大正整数：
设第三次运算的输入值为$c$，$\because [\sqrt{c}]=1$，$\therefore 1≤ \sqrt{c}＜2$，平方得$1≤ c＜4$，$c$的最大值为3；
设第二次运算的输入值为$b$，$\because [\sqrt{b}]=3$，$\therefore 3≤ \sqrt{b}＜4$，平方得$9≤ b＜16$，$b$的最大值为15；
设第一次运算的输入值为$a$，$\because [\sqrt{a}]=15$，$\therefore 15≤ \sqrt{a}＜16$，平方得$225≤ a＜256$，$a$的最大值为255。
【答案】
(1) 2，4；(2) 1、2、3；(3) ①3；②255
【知识点】
1. 新定义运算 2. 无理数的估算 3. 不等式的应用
【点评】
本题结合新定义考查对新概念的理解和应用能力，解题的关键是紧扣根整数的定义，正向计算时要准确估算无理数的范围，逆向求最大值时要注意边界的取值，避免因范围判断错误失分。
【难度系数】
0.6
