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19. (8分)为了解某校七年级男生的耐力情况,某兴趣小组随机抽取了该年级部分男生的1000 m跑成绩,将所得数据进行整理,分成A(3'30''≤x＜3'35''),B(3'35''≤x＜3'40''),C(3'40''≤x＜3'45''),D(3'45''≤x＜3'50''),E(3'50''≤x＜3'55'')五组,并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图(每一组含前一个边界值,不含后一个边界值).
抽取的男生1000 m跑成绩频数表
抽取的男生1000 m跑成绩频数分布直方图
请根据所给信息,解答下列问题:
(1) 填空:$a=$
(2) 补全频数分布直方图;
(3) 若该校七年级有800名男生,请根据样本估计1000 m跑成绩在$3'45''$(不含$3'45''$)内的男生人数.
抽取的男生1000 m跑成绩频数表
抽取的男生1000 m跑成绩频数分布直方图
请根据所给信息,解答下列问题:
(1) 填空:$a=$
0.05
,$b=$24
,$c=$0.4
;(2) 补全频数分布直方图;
(3) 若该校七年级有800名男生,请根据样本估计1000 m跑成绩在$3'45''$(不含$3'45''$)内的男生人数.
答案
19. 解：(1)样本容量为$6÷0.1=60$，
则$a=3÷60=0.05$，$b=60-3-6-12-15=24$，
$c=24÷60=0.4$，
故答案为0.05；24；0.4。
(2)补全频数分布直方图如下：
(3)$800×(0.05+0.1+0.2)=280$(人)
答：在$3'45''$内的男生人数有280人。
解析
【分析】要解决这道题，首先需利用已知的B组频数和频率求出样本容量，再结合各组频数计算未知的频率和频数；补全直方图时根据求出的D组频数确定其高度；最后利用样本中对应组的频率估计总体中符合条件的人数，核心是掌握频数、频率、样本容量的关系及用样本估计总体的方法。
【解析】
(1) 已知B组频数为6，频率为0.1，因此样本容量为：$6 ÷ 0.1 = 60$。
A组频数为3，故频率$a = \frac{3}{60} = 0.05$；
D组频数$b = 60 - 3 - 6 - 12 - 15 = 24$；
D组频率$c = \frac{24}{60} = 0.4$。
(2) 补全频数分布直方图：D组对应的频数为24，在直方图中绘制高度对应24的矩形即可（对应参考答案的图片）。
(3) 成绩在$3'45''$（不含$3'45''$）的是A、B、C三组，它们的频率和为$0.05 + 0.1 + \frac{12}{60} = 0.35$，因此该校七年级800名男生中，符合条件的人数为：$800 × 0.35 = 280$（人）。
【答案】
(1) $0.05$，$24$，$0.4$；
(2)；
(3) $280$人。
【知识点】
频数与频率、频数分布直方图、用样本估计总体
【点评】
本题结合频数分布直方图考查统计知识，重点是掌握频数、频率、样本容量的关系，以及用样本估计总体的方法，属于基础统计题，难度适中。
【难度系数】
0.5
【解析】
(1) 已知B组频数为6，频率为0.1，因此样本容量为：$6 ÷ 0.1 = 60$。
A组频数为3，故频率$a = \frac{3}{60} = 0.05$；
D组频数$b = 60 - 3 - 6 - 12 - 15 = 24$；
D组频率$c = \frac{24}{60} = 0.4$。
(2) 补全频数分布直方图：D组对应的频数为24，在直方图中绘制高度对应24的矩形即可（对应参考答案的图片）。
(3) 成绩在$3'45''$（不含$3'45''$）的是A、B、C三组，它们的频率和为$0.05 + 0.1 + \frac{12}{60} = 0.35$，因此该校七年级800名男生中，符合条件的人数为：$800 × 0.35 = 280$（人）。
【答案】
(1) $0.05$，$24$，$0.4$；
(2)
；(3) $280$人。
【知识点】
频数与频率、频数分布直方图、用样本估计总体
【点评】
本题结合频数分布直方图考查统计知识，重点是掌握频数、频率、样本容量的关系，以及用样本估计总体的方法，属于基础统计题，难度适中。
【难度系数】
0.5
20. (8分)如图,已知直线$l$与直线$AB$,$CD$分别交于点$E$,$F$,$EG ⊥ CD$于点$G$,$∠ 1$与$∠ 2$互余.
(1) 判断直线$AB$与$CD$的位置关系,并说明理由;
(2) 若$∠ 1=3∠ 2$,求$∠ 3$的度数.
(1) 判断直线$AB$与$CD$的位置关系,并说明理由;
(2) 若$∠ 1=3∠ 2$,求$∠ 3$的度数.
答案
20. 解：(1)$AB// CD$，理由如下：
$\because EG⊥ CD,\therefore ∠ 2+∠ 4=90°$。
$\because ∠ 1$与$∠ 2$互余，$\therefore ∠ 1+∠ 2=90°$，
$\therefore ∠ 1=∠ 4,\therefore AB// CD$。
(2)$\because ∠ 1+∠ 2=90°,∠ 1=3∠ 2$，
$\therefore ∠ 2=22.5°,∠ 1=67.5°$，
$\therefore ∠ 5=∠ 1=67.5°$。
$\because AB// CD,\therefore ∠ 3+∠ 5=180°$，
$\therefore ∠ 3=112.5°$。
$\because EG⊥ CD,\therefore ∠ 2+∠ 4=90°$。
$\because ∠ 1$与$∠ 2$互余，$\therefore ∠ 1+∠ 2=90°$，
$\therefore ∠ 1=∠ 4,\therefore AB// CD$。
(2)$\because ∠ 1+∠ 2=90°,∠ 1=3∠ 2$，
$\therefore ∠ 2=22.5°,∠ 1=67.5°$，
$\therefore ∠ 5=∠ 1=67.5°$。
$\because AB// CD,\therefore ∠ 3+∠ 5=180°$，
$\therefore ∠ 3=112.5°$。
解析
【分析】
首先，第(1)问需判断AB与CD的位置关系，结合已知EG⊥CD得到∠2与∠EFG互余，再利用∠1与∠2互余，通过同角的余角相等得到同位角相等，进而判定两直线平行；第(2)问先根据∠1与∠2的数量关系求出∠1的度数，再利用AB//CD的性质，结合邻补角关系求出∠3的度数。
【解析】
(1) AB//CD，理由如下：
∵ EG⊥CD（已知），
∴ ∠2 + ∠EFG = 90°（垂直的定义）。
又
∵ ∠1与∠2互余（已知），
∴ ∠1 + ∠2 = 90°（互余的定义），
∴ ∠1 = ∠EFG（同角的余角相等），
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
(2)
∵ ∠1与∠2互余，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°，
又
∵ ∠1 = 3∠2（已知），
∴ 3∠2 + ∠2 = 90°，解得∠2 = 22.5°，则∠1 = 3×22.5° = 67.5°。
∵ AB//CD（已证），
∴ ∠3 + ∠1 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠3 = 180° - 67.5° = 112.5°。
【答案】
(1) AB//CD；(2) ∠3=112.5°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、余角
【点评】
本题结合垂直、互余的定义，考查平行线的判定与性质，是几何基础题型，需熟练掌握角度关系推导及平行线定理的应用。
【难度系数】
0.5
首先，第(1)问需判断AB与CD的位置关系，结合已知EG⊥CD得到∠2与∠EFG互余，再利用∠1与∠2互余，通过同角的余角相等得到同位角相等，进而判定两直线平行；第(2)问先根据∠1与∠2的数量关系求出∠1的度数，再利用AB//CD的性质，结合邻补角关系求出∠3的度数。
【解析】
(1) AB//CD，理由如下：
∵ EG⊥CD（已知），
∴ ∠2 + ∠EFG = 90°（垂直的定义）。
又
∵ ∠1与∠2互余（已知），
∴ ∠1 + ∠2 = 90°（互余的定义），
∴ ∠1 = ∠EFG（同角的余角相等），
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
(2)
∵ ∠1与∠2互余，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°，
又
∵ ∠1 = 3∠2（已知），
∴ 3∠2 + ∠2 = 90°，解得∠2 = 22.5°，则∠1 = 3×22.5° = 67.5°。
∵ AB//CD（已证），
∴ ∠3 + ∠1 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠3 = 180° - 67.5° = 112.5°。
【答案】
(1) AB//CD；(2) ∠3=112.5°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、余角
【点评】
本题结合垂直、互余的定义，考查平行线的判定与性质，是几何基础题型，需熟练掌握角度关系推导及平行线定理的应用。
【难度系数】
0.5
