1. 如图,若$AD ⊥ BC$,$DE ⊥ AB$,垂足分别为$D$,$E$,则表示点$A$到直线$DE$距离的是（）

A.线段$AD$的长
B.线段$AE$的长
C.线段$BE$的长
D.线段$DE$的长

1. B

【分析】
我们首先明确这道题的核心考点是点到直线距离的定义，解题时第一步先回忆对应概念：点到直线的距离，是从该点向目标直线作垂线，得到的垂线段的长度。接下来锁定本题的目标：要找点A到直线DE的距离，就需要找到从点A出发、和直线DE垂直的垂线段，它的长度就是所求的距离。结合题图给出的DE⊥AB、垂足为E的条件，可知AE和DE互相垂直，垂足是E，因此点A到直线DE的垂线段就是AE，对应长度就是所求距离，再逐一核对选项就能得到正确结果。
【解析】
解：根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
已知DE⊥AB，垂足为E，即AE⊥DE，因此点A到直线DE的垂线段为AE，所以表示点A到直线DE距离的是线段AE的长。
逐一判断选项：
A. 线段AD的长是点A到直线BC的距离，不符合题意；
B. 线段AE的长完全符合点A到直线DE的距离的定义，正确；
C. 线段BE的长是点B到直线DE的距离，不符合题意；
D. 线段DE的长是点D到直线AB的距离，不符合题意。
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【点评】本题是几何入门的基础概念题，重点考察对距离定义的准确理解，容易出错的地方是混淆不同点对应不同直线的垂线段，解题时只要紧扣“点向目标直线作垂线，垂线段的长度才是对应距离”这一核心要素，就可以快速排除错误选项。
【难度系数】0.8

2. 若直线$l$外一点$P$与直线$l$上两点的连线段的长分别为3 cm,5 cm,则点$P$到直线$l$的距离是（）

A.不大于3 cm
B.3 cm
C.5 cm
D.不小于5 cm

2. A

【分析】
这道题的核心考点是点到直线距离的相关性质，我们首先要回忆核心规则：直线外一点到直线的所有连线中，垂线段是最短的，而点到直线的距离恰恰就是这条垂线段的长度。题目给出了点P和直线上两个点的连线长度分别是3cm和5cm，我们只需要根据“垂线段最短”的规则，判断出点P到直线的距离和这两个长度的大小关系即可：距离作为所有连线里的最短线段，不可能比两条连线里更短的3cm还长，由此就能推导出最终结论。
【解析】
1. 首先明确基础概念：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
2. 结合垂线段的基本性质：直线外一点与直线上任意点连接的所有线段中，垂线段的长度最短。
3. 已知点P与直线l上两点的连线段长度为3cm、5cm，说明点P到直线l的连线中已经存在长度为3cm的线段，那么作为最短的垂线段（也就是点P到l的距离），长度必然小于等于3cm，即不大于3cm。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
点到直线的距离，垂线段最短
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是很多同学会直接选择3cm，忽略了长度为3cm的线段本身也可能不是垂线段，此时点到直线的距离会小于3cm，解题时要牢牢抓住“垂线段是所有连线里的最短边”这一核心性质，不要遗漏“小于等于”的情况。
【难度系数】
0.8

3. 如图,$AO ⊥ BO$,垂足为$O$,直线$CD$经过点$O$,则下列结论正确的是（）

A.$∠ 1+∠ 2=180°$
B.$∠ 1-∠ 2=90°$
C.$∠ 1-∠ 3=∠ 2$
D.$∠ 1+∠ 2=90°$

3. B 提示:因为$AO⊥BO$,所以$∠AOB=90°$.因为$∠1+∠3=180°$,所以只有当$∠2=∠3$时,等式$∠1+∠2=180°$才成立,故选项A不正确;因为$∠1=180°-∠3$,所以$∠1-∠2=180°-∠3-∠2=90°$,故选项B正确;因为$∠1＞90°$,$∠2+∠3=90°$,所以$∠1≠∠3+∠2$,即$∠1-∠3≠∠2$,故选项C不正确;因为$∠1＞90°$,所以$∠1+∠2＞90°$,故选项D不正确.

【分析】
我们先从题目给出的已知条件入手：首先AO⊥BO，根据垂直的定义可以直接得到∠AOB=90°，也就是∠2+∠3=90°；其次直线CD过点O，说明C、O、D三点共线，因此∠COD是平角，可得∠1+∠3=180°。接下来我们就可以利用这两个角的等量关系，对四个选项逐一推导验证，排除错误选项，得到正确结论。
【解析】
解：已知$AO ⊥ BO$，根据垂直的定义，可得：
$∠ AOB = ∠ 2 + ∠ 3 = 90°$
又因为直线$CD$经过点$O$，即$C、O、D$三点共线，平角为$180°$，因此：
$∠ 1 + ∠ 3 = 180°$
接下来逐个判断选项：
1. 分析选项A：若$∠1+∠2=180°$，将$∠1=180°-∠3$代入，可得$180°-∠3+∠2=180°$，即$∠2=∠3$，题目没有给出该条件，因此A错误。
2. 分析选项B：将$∠1=180°-∠3$代入$∠1-∠2$，可得：
$∠1-∠2 = 180° - ∠3 - ∠2 = 180° - (∠2+∠3) = 180° -90° =90°$，该等式成立，因此B正确。
3. 分析选项C：若$∠1-∠3=∠2$，则$∠1=∠2+∠3=90°$，但图中$∠1$为明显大于$90°$的钝角，矛盾，因此C错误。
4. 分析选项D：$∠1$是大于$90°$的钝角，$∠2$为正的锐角，因此$∠1+∠2＞90°$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义，平角的性质，角的和差运算
【点评】
本题属于几何基础概念题，核心考察垂直、平角的性质的灵活代换，易错点是学生容易凭直观误选D，解题时要注意结合已知条件做等量代换推导，不要主观臆断角的和差关系，通过逐个排除错误选项的方法可以快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7

4. 如图,直线 A B, C D 相交于点 O, O E 平分$∠ AOD, OF ⊥ OC, ∠ 1$与$∠ 3$的度数之比为$3:4$,则$∠ 2=$,$∠ EOC=$.

4. $54°$ $153°$ 提示:因为$OF⊥OC$,所以$∠DOF=∠COF=90°$.因为OE平分$∠AOD$,所以$∠AOD=2∠1$.又因为$∠1$与$∠3$的度数之比为$3:4$,所以$∠AOD:∠3=3:2$.设$∠AOD=3x°$,则$∠3=2x°$,所以$3x°+2x°=90°$,解得$x=18$,所以$∠AOD=54°$,$∠3=36°$.由对顶角相等,得$∠2=∠AOD=54°$.因为$∠1=\frac{1}{2}∠AOD=27°$,所以$∠EOC=180°-∠1=180°-27°=153°$.

【分析】
这道题是相交线相关的角度计算问题，我们可以按以下思路逐步推导：
1. 先从已知的垂直条件入手：因为OF⊥OC，CD是直线，根据垂直的性质，可得∠COF=∠DOF=90°，也就是∠AOD + ∠3 = 90°。
2. 结合角平分线的定义：OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠1。
3. 利用题目给出的∠1与∠3的度数比3:4，把角度转化为份数关系，通过设未知数建立方程，就能解出∠1、∠3、∠AOD的具体度数。
4. 再根据对顶角相等，直接得到∠2和∠AOD相等，算出∠2的度数。
5. 最后利用平角为180°的性质，CD是直线，∠1+∠EOC=180°，即可求出∠EOC的度数。
【解析】
1. 由OF⊥OC，CD为直线，可得：
∠COF=∠DOF=90°，即∠AOD + ∠3 = 90°。
2. 因为OE平分∠AOD，根据角平分线定义：
∠AOD = 2∠1。
3. 已知∠1:∠3=3:4，设∠1=3k，∠3=4k，则∠AOD=2×3k=6k，代入∠AOD+∠3=90°得：
6k + 4k = 90°
解得k=9°，因此∠1=27°，∠3=36°，∠AOD=54°。
4. 直线AB和CD相交于O，∠2与∠AOD是对顶角，根据对顶角相等：
∠2 = ∠AOD = 54°。
5. 因为CD是直线，∠COD=180°，所以：
∠EOC = 180° - ∠1 = 180° - 27° = 153°。
【答案】
$54°$；$153°$
【知识点】
对顶角相等，角平分线定义，垂直的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的基础题型，通过比例设未知数的方法简化了角度推导过程，需要准确识别图中各个角的和差关系，结合垂直、角平分线、对顶角的性质即可顺利求解，能有效锻炼学生的角的关系辨析能力。
【难度系数】
0.6

5. 如图,已知$∠ AOB=108°$,$OE$是$∠ AOB$的平分线,若$OC ⊥ OB$,则$∠ EOC$的度数为.

5. $36°或144°$ 提示:因为$∠AOB=108°$,$OE$是$∠AOB$的平分线,所以$∠AOE=∠BOE=54°$.①当OC在$∠AOB$的内部时,如图1,因为$OC⊥OB$,所以$∠EOC=∠BOC-∠BOE=90°-54°=36°$;②当OC在$∠AOB$的外部时,如图2,因为$OC⊥OB$,所以$∠EOC=∠BOC+∠BOE=90°+54°=144°$.综上所述,$∠EOC$的度数为$36°或144°$.

【分析】
这道题没有限定OC的具体位置，仅给出OC⊥OB的条件，因此需要分类讨论求解：第一步先根据角平分线的定义，算出∠AOB被平分后得到的∠BOE的度数；第二步分别讨论OC在∠AOB内部、OC在∠AOB外部两种情况，结合OC⊥OB得到∠BOC=90°，再通过角的和差关系分别计算出两种情况下∠EOC的度数，最后汇总得到全部结果，避免出现漏解。
【解析】
1. 计算角平分线分出的角的度数：
已知∠AOB=108°，OE是∠AOB的平分线，因此$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2} × 108° = 54°$。
2. 分两种情况计算∠EOC：
① 当OC在∠AOB的内部时：
因为OC⊥OB，所以∠BOC=90°，此时$∠ EOC = ∠ BOC - ∠ BOE = 90° - 54° = 36°$；
② 当OC在∠AOB的外部时：
因为OC⊥OB，所以∠BOC=90°，此时$∠ EOC = ∠ BOC + ∠ BOE = 90° + 54° = 144°$。
综上，∠EOC的度数为36°或144°。
【答案】
$36°或144°$


【知识点】
角平分线定义，垂直的性质，角的和差运算
【点评】
本题的易错点是容易忽略OC的位置不唯一，仅计算出OC在∠AOB内部的结果，漏掉OC在∠AOB外部的解，解题时遇到未限定位置的几何条件，要主动进行分类讨论，锻炼多角度分析几何问题的能力。
【难度系数】
0.5

6. 若$∠ A$和$∠ B$的两边分别垂直，且$∠ A$比$∠ B$的两倍少$30^{\circ }$，则$∠ B$的度数是。

6. $30°或70°$ 提示:根据题意,设$∠B=x°$,则$∠B=2x°-30°$.分两种情况:①如图1,当两个角相等时,$∠B=∠A=x°$,$x°=2x°-30°$,解得$x=30$,故$∠B=30°$;②如图2,当两个角互补时,$x°+2x°-30°=180°$,解得$x=70$,故$∠B=70°$.综上所述,$∠B$的度数为$30°或70°$.

【分析】
首先我们先梳理解题思路：已知两个角的两边分别垂直，首先要明确这类位置关系的两个角存在两种数量关系，既可能相等，也可能互补，不能直接默认两角互补导致漏解。接下来我们可以根据题干的倍数关系设未知数，设∠B=x°，那么∠A的度数就可以表示为(2x-30)°，之后分两种情况分别列一元一次方程求解，验证得到的解都符合角的度数的实际意义后，合并结果即可。
【解析】
解：设∠B的度数为$x°$，根据“∠A比∠B的两倍少$30°$”，可得∠A的度数为$(2x-30)°$。
因为∠A和∠B的两边分别垂直，分两种情况讨论：
① 当两个角相等时：
列方程得：$x = 2x - 30$
移项计算得：$x=30$，即∠B=$30°$，符合角的度数要求。
② 当两个角互补时：
列方程得：$x + (2x-30) = 180$
整理得：$3x=210$，解得$x=70$，即∠B=$70°$，符合角的度数要求。
综上，∠B的度数为$30°$或$70°$。
【答案】
$30°或70°$
【知识点】
垂线的性质，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题的核心易错点是多数学生容易忽略“两边分别垂直的两个角相等”的特殊位置情况，仅默认两角互补得到单一解，解题时需要先完整梳理两边分别垂直的两角的所有位置关系，通过分类讨论覆盖所有可能的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.5

7. 如图,在三角形 ABC 中,$AC=5,BC=6$,边 BC 上的高$AD=4$.若点 P 在边 AC 上移动,则线段 BP 长的最小值为.

7. $\frac{24}{5}$ 提示:根据垂线段最短可知,当$BP⊥AC$时,$BP$的长有最小值.因为$S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BP$,所以$\frac{1}{2}×6×4=\frac{1}{2}×5BP$,所以$BP=\frac{24}{5}$.

【分析】
要找到点P在AC上移动时BP的最小值，首先根据“点到直线的所有连线中，垂线段最短”的性质，可以确定当BP⊥AC时，BP的长度取得最小值。接下来无需构造复杂辅助线，利用等面积法即可求解：已知BC的长度和BC边上的高AD，先算出△ABC的面积，再把AC当作底，此时垂直于AC的BP就是AC边上对应的高，代入面积公式建立等式，就能直接解出BP的长度。
【解析】
解：根据垂线段的性质，可知当$BP⊥ AC$时，线段BP的长度最小。
三角形的面积可以用不同的底和对应高表示，因此$△ ABC$的面积满足：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AC × BP$
将已知条件$AC=5$，$BC=6$，$AD=4$代入等式：
$\frac{1}{2} × 6 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × BP$
两边同时消去$\frac{1}{2}$，可得$24=5BP$，解得$BP=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
垂线段最短，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题是几何最值的经典基础题型，解题关键是先利用垂线段最短确定BP取最小值的位置，再通过等面积法快速计算出对应高的长度，避免了复杂的推导过程，方法简洁实用，能帮助学生加深对三角形不同底和对应高的关系的理解。
【难度系数】
0.7

8. 如图,直线 AB,CD,EF 相交于点 O,$OG ⊥ CD$于点O,$∠ BOD=32°$.
(1) 求$∠ AOG$的度数.
(2) 如果 OC 是$∠ AOE$的平分线,那么OG 是$∠ AOF$的平分线吗? 请说明理由.

8. 解:(1) 由对顶角相等,得$∠AOC=∠BOD=32°$.因为$OG⊥CD$,所以$∠COG=90°$,所以$∠AOG=∠COG-∠AOC=90°-32°=58°$.
(2) OG是$∠AOF$的平分线.理由如下:
由OC是$∠AOE$的平分线,得$∠COE=∠AOC$.因为$∠DOF=∠COE$,所以$∠DOF=∠AOC$.因为$∠AOC+∠AOG=∠COG=90°$,$∠DOF+∠FOG=∠DOG=90°$,所以$∠AOG=∠FOG$,即OG是$∠AOF$的平分线.

【分析】
这是相交线相关的角度计算与证明题，解题思路如下：
1. 第(1)问求∠AOG的度数：首先利用对顶角相等的性质，从已知的∠BOD度数得到和它相等的∠AOC的度数；再结合OG⊥CD的垂直条件，得到∠COG=90°，用90°减去∠AOC的度数即可算出∠AOG。
2. 第(2)问判断OG是否为∠AOF的平分线：核心是推导∠AOG=∠FOG。先根据角平分线定义得到∠AOC=∠COE，再通过对顶角相等替换得到∠DOF=∠AOC，最后结合OG⊥CD得到的两组互余角，利用等角的余角相等，即可推出两个角相等，完成证明。
【解析】
(1) 由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=32°。
因为OG⊥CD，根据垂直的定义，所以∠COG=90°，
因此∠AOG=∠COG-∠AOC=90°-32°=58°。
(2) OG是∠AOF的平分线，理由如下：
由OC是∠AOE的平分线，得∠COE=∠AOC。
因为∠DOF和∠COE是对顶角，所以∠DOF=∠COE，
通过等量代换可得∠DOF=∠AOC。
又因为OG⊥CD，所以∠COG=∠DOG=90°，
即∠AOC+∠AOG=90°，∠DOF+∠FOG=90°，
根据等角的余角相等，可得∠AOG=∠FOG，
即OG是∠AOF的平分线。
【答案】
(1) ∠AOG的度数为58°；(2) OG是∠AOF的平分线，理由如上。
【知识点】
对顶角相等，垂直的定义，角平分线判定
【点评】
本题是相交线章节的基础综合题型，重点考察相交线中对顶角、垂直的性质应用，通过等量代换、等角的余角相等完成角的等量推导，帮助学生梳理相交线相关角度转化的逻辑，巩固角平分线的判定方法，难度较低，适合巩固基础知识点使用。
【难度系数】
0.7

9. 如图,点$O$在直线$EF$上,射线$OA$,$OB$与射线$OC$,$OD$分别在直线$EF$两侧,且$∠ AOB=120°$,$∠ COD=70°$.
(1) 如图1,若$OC$平分$∠ BOD$,$OE$平分$∠ AOD$,过点$O$作射线$OG⊥ OB$,求$∠ EOG$的度数.
(2) 如图2,若在$∠ BOC$内部作一条射线$OH$,使得$∠ COH:∠ BOH=2:3$,$∠ DOE=5∠ FOH$,试判断$∠ AOE$与$∠ DOE$的数量关系.

9. 解:(1) 因为OC平分$∠BOD$,所以$∠BOD=2∠COD=2×70°=140°$.又因为$∠AOB=120°$,所以$∠AOD=360°-∠AOB-∠BOD=360°-120°-140°=100°$.因为OE平分$∠AOD$,所以$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOD=50°$.如图1,当OG在EF下方时,因为$OG⊥OB$,所以$∠BOG=90°$,所以$∠AOG=∠AOB-∠BOG=120°-90°=30°$,所以$∠EOG=∠AOG+∠AOE=80°$.
如图2,当OG在EF上方时,因为$OG⊥OB$,所以$∠BOG=90°$.因为$∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG=360°$,所以$∠EOG=360°-50°-120°-90°=100°$.
综上所述,$∠EOG$的度数为$80°或100°$.
(2) 如图3,当OH在OF的上方时,设$∠FOH=α$,则$∠DOE=5α$,所以$∠COH=180°-∠DOE-∠COD-∠FOH=110°-6α$.因为$∠COH:∠BOH=2:3$,所以$∠BOC=\frac{5}{2}∠COH=275°-15α$,所以$∠AOD=360°-∠COD-∠BOC-∠AOB=360°-70°-(275°-15α)-120°=15α-105°$,所以$∠AOE=∠AOD-∠DOE=10α-105°$,所以$∠AOE=2∠DOE-105°$.当OH在OF的下方时,同理可得$∠COH=180°-∠DOE-∠COD+∠FOH=110°-4α$,因为$∠COH:∠BOH=2:3$,所以$∠BOC=\frac{5}{2}∠COH=275°-10α$,所以$∠AOD=360°-∠COD-∠BOC-∠AOB=360°-70°-(275°-10α)-120°=10α-105°$,所以$∠AOE=∠AOD-∠DOE=5α-105°$,所以$∠AOE=∠DOE-105°$.综上所述,$∠AOE=2∠DOE-105°$或$∠AOE=∠DOE-105°$.

【分析】
这道题围绕共顶点的多个角度展开运算，解题思路如下：
1. 第(1)问：先利用角平分线的定义，由OC平分∠BOD，结合已知∠COD=70°，直接求出∠BOD的度数；再根据点O处周角为360°，减去已知的∠AOB和刚算出的∠BOD，得到∠AOD的大小；接着由OE平分∠AOD，算出∠AOE的度数。由于题目没有限定OG的位置，仅给出OG⊥OB，因此需要分两种情况讨论：OG在直线EF的下方、OG在直线EF的上方，分别结合垂直对应的90°条件计算∠EOG即可。
2. 第(2)问：题目给出了角的比例关系和∠DOE与∠FOH的倍数关系，我们可以设参数∠FOH=α，把所有相关角都用α表示，再结合平角、周角的性质推导∠AOE和∠DOE的关系；同时注意OH在∠BOC内部，没有限定在EF的哪一侧，因此要分OH在OF上方、OH在OF下方两种情况分别推导，最终得到对应的数量关系。
【解析】
(1) 已知OC平分∠BOD，因此：
∠BOD = 2∠COD = 2×70° = 140°
由点O处周角为360°，结合∠AOB=120°，可得：
∠AOD = 360° - ∠AOB - ∠BOD = 360° - 120° - 140° = 100°
已知OE平分∠AOD，因此：
∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOD = 50°
分两种情况讨论OG的位置：
① 当OG在EF下方时：
∵ OG⊥OB，
∴ ∠BOG=90°
∴ ∠AOG = ∠AOB - ∠BOG = 120° - 90° = 30°
∴ ∠EOG = ∠AOE + ∠AOG = 50° + 30° = 80°
② 当OG在EF上方时：
∵ OG⊥OB，
∴ ∠BOG=90°
由周角性质可得：∠AOE + ∠AOB + ∠BOG + ∠EOG = 360°
代入数值：∠EOG = 360° - 50° - 120° - 90° = 100°
综上，∠EOG的度数为80°或100°。
(2) 设∠FOH=α，由∠DOE=5∠FOH可得∠DOE=5α，分两种情况讨论OH的位置：
① 当OH在OF的上方时：
由平角性质，∠DOE + ∠COD + ∠COH + ∠FOH = 180°
代入已知角度得：∠COH = 180° - ∠DOE - ∠COD - ∠FOH = 110° - 6α
由∠COH:∠BOH=2:3，可得∠BOH = $\frac{3}{2}$∠COH，因此∠BOC = ∠COH + ∠BOH = $\frac{5}{2}$∠COH = 275° - 15α
由周角性质，∠AOD = 360° - ∠COD - ∠BOC - ∠AOB = 360° -70° -(275°-15α) -120° =15α -105°
因此∠AOE = ∠AOD - ∠DOE = 15α -105° -5α =10α -105°，结合∠DOE=5α，可得∠AOE=2∠DOE -105°。
② 当OH在OF的下方时：
由平角性质，∠DOE + ∠COD - ∠COH + ∠FOH =180°
代入已知角度得：∠COH = 180° - ∠DOE - ∠COD + ∠FOH =110° -4α
由∠COH:∠BOH=2:3，可得∠BOC=$\frac{5}{2}$∠COH=275° -10α
由周角性质，∠AOD = 360° -∠COD -∠BOC -∠AOB = 360° -70° -(275°-10α) -120° =10α -105°
因此∠AOE = ∠AOD - ∠DOE =10α -105° -5α =5α -105°，结合∠DOE=5α，可得∠AOE=∠DOE -105°。
综上，∠AOE与∠DOE的数量关系为∠AOE=2∠DOE-105°或∠AOE=∠DOE-105°。
【答案】
(1) ∠EOG的度数为80°或100°


(2) ∠AOE与∠DOE的数量关系为∠AOE=2∠DOE-105°或∠AOE=∠DOE-105°

【知识点】
角平分线性质，角度和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题是角度计算的综合题，核心考察共顶点角度的和差推导，题目没有限定射线的具体位置，需要主动分类讨论避免漏解，通过设参数的方法可以把复杂的角度关系转化为代数运算，大幅降低推导难度，是初中几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.3