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10. 小聪和小明制作了一个模拟钟面. 如图,点$O$为模拟钟面的圆心,点$M$,$O$,$N$在一条直线上,指针$OA$,$OB$分别从$OM$,$ON$同时出发绕点$O$转动,$OA$顺时针转动,$OB$逆时针转动,$OA$转动速度为$15°/\mathrm{s}$,$OB$转动速度为$5°/\mathrm{s}$,设转动的时间为$t\ \mathrm{s}(t＞0)$,请你试着解决下列问题:
(1) 当$t=3$时,求$∠ AOB$的度数.
(2) 当$OA$与$OB$第三次重合时,求$∠ BOM$的度数.
(3) 在$OA$与$OB$第四次重合前,当$t$的值为
思维大爆炸
(1) 当$t=3$时,求$∠ AOB$的度数.
(2) 当$OA$与$OB$第三次重合时,求$∠ BOM$的度数.
(3) 在$OA$与$OB$第四次重合前,当$t$的值为
18或54
时,直线$MN$平分$∠ AOB$.思维大爆炸
答案
10. 解:(1) 当 t = 3 时,∠AOM = 45°,∠BON = 15°,所以∠AOB = 180°−45°−15°=120°.
(2) 当 OA 与 OB 第三次重合时,由题意知,15t + 5t = 360×2 + 180,解得 t = 45. 所以∠BON = 360°−5°×45 = 135°,∠BOM = 180°−135°=45°.
(3) 18 或 54 提示:当 OA 与 OB 第四次重合时,15t + 5t = 360×3 + 180,解得 t = 63. 当 0＜t≤12 时,OA 与 OB 均在直线 MN 上方(包含 MN),所以直线 MN 不可能平分∠AOB;当 12＜t＜24 时,OA 在直线 MN 下方,OB 在直线 MN 上方,此时∠BON = 5t°,∠AON = (15t−180)°,若直线 MN 平分∠AOB,则有∠BON = ∠AON,即 15t−180 = 5t,解得 t = 18;当 24≤t≤36 时,OA 与 OB 均在直线 MN 上方(包含 MN),所以直线 MN 不可能平分∠AOB;当 36＜t≤48 时,OA 与 OB 均在直线 MN 下方(包含 MN),所以直线 MN 不可能平分∠AOB;当 48＜t＜60 时,OA 在直线 MN 上方,OB 在直线 MN 下方,此时∠BON = (360−5t)°,∠AON = (360×2 + 180 −15t)°=(900−15t)°,则有 900−15t = 360−5t,解得 t = 54;当 60≤t＜63 时,OA 与 OB 均在直线 MN 下方(包含 MN),所以直线 MN 不可能平分∠AOB. 综上所述,当 t = 18 或 t = 54 时,直线 MN 平分∠AOB.
(2) 当 OA 与 OB 第三次重合时,由题意知,15t + 5t = 360×2 + 180,解得 t = 45. 所以∠BON = 360°−5°×45 = 135°,∠BOM = 180°−135°=45°.
(3) 18 或 54 提示:当 OA 与 OB 第四次重合时,15t + 5t = 360×3 + 180,解得 t = 63. 当 0＜t≤12 时,OA 与 OB 均在直线 MN 上方(包含 MN),所以直线 MN 不可能平分∠AOB;当 12＜t＜24 时,OA 在直线 MN 下方,OB 在直线 MN 上方,此时∠BON = 5t°,∠AON = (15t−180)°,若直线 MN 平分∠AOB,则有∠BON = ∠AON,即 15t−180 = 5t,解得 t = 18;当 24≤t≤36 时,OA 与 OB 均在直线 MN 上方(包含 MN),所以直线 MN 不可能平分∠AOB;当 36＜t≤48 时,OA 与 OB 均在直线 MN 下方(包含 MN),所以直线 MN 不可能平分∠AOB;当 48＜t＜60 时,OA 在直线 MN 上方,OB 在直线 MN 下方,此时∠BON = (360−5t)°,∠AON = (360×2 + 180 −15t)°=(900−15t)°,则有 900−15t = 360−5t,解得 t = 54;当 60≤t＜63 时,OA 与 OB 均在直线 MN 下方(包含 MN),所以直线 MN 不可能平分∠AOB. 综上所述,当 t = 18 或 t = 54 时,直线 MN 平分∠AOB.
解析
【分析】
我们可以分三步逐步思考解题：
1. 第(1)问：初始状态下OM和ON在同一直线，∠MON=180°，OA从OM顺时针转、OB从ON逆时针转，t秒后OA转过15t°，OB转过5t°，∠AOB就等于初始的平角180°减去两个指针各自转过的角度，代入t=3即可直接计算。
2. 第(2)问：两个指针相向转动，相对速度为15°/s +5°/s=20°/s，第一次重合时两指针转过的角度和为初始的180°，之后每多重合1次，两指针转过的角度和就需要多增加一圈360°，因此第三次重合时总转角和为180°+2×360°，列方程求出t后，再计算OB的位置，就能得到∠BOM的度数。
3. 第(3)问：直线MN平分∠AOB等价于∠AON=∠BON，先算出第四次重合的总时间，再按指针转动的不同阶段分段讨论，排除两指针都在MN同侧的不可能区间，在符合条件的区间内列角度相等的方程求解，即可得到所有符合条件的t值。
【解析】
(1) 当t=3时：
OA转过的角度∠AOM = 15°/s × 3s = 45°，
OB转过的角度∠BON = 5°/s × 3s =15°，
因为M、O、N共线，∠MON=180°，
所以∠AOB = 180° - ∠AOM - ∠BON = 180° -45° -15° =120°。
(2) 设第三次重合时转动时间为t s：
两指针相向转动，第三次重合时，二者转过的角度总和为初始的180°加上2整圈的720°，即：
15t +5t = 180 + 2×360
化简得20t=900，解得t=45。
此时OB从ON出发逆时针转过的总角度为5°×45=225°，
因此OB与ON的夹角∠BON = 360° -225°=135°，
所以∠BOM = 180° - ∠BON = 180° -135°=45°。
(3) 先求OA与OB第四次重合的总时间：
15t +5t = 180 + 3×360，解得t=63。
接下来分段讨论：
① 当0＜t≤12时，OA、OB都在直线MN上方，无法满足MN平分∠AOB；
② 当12＜t＜24时，OA转到MN下方，OB仍在MN上方，此时∠BON=5t°，∠AON=(15t-180)°，令∠BON=∠AON：
15t -180 =5t，解得t=18，符合区间要求；
③ 当24≤t≤36时，OA、OB都回到MN上方，无法满足MN平分∠AOB；
④ 当36＜t≤48时，OA、OB都转到MN下方，无法满足MN平分∠AOB；
⑤ 当48＜t＜60时，OA转到MN上方，OB转到MN下方，此时∠BON=(360-5t)°，∠AON=(900-15t)°，令∠BON=∠AON：
900 -15t = 360 -5t，解得t=54，符合区间要求；
⑥ 当60≤t＜63时，OA、OB都在MN下方，无法满足MN平分∠AOB。
综上，符合条件的t为18或54。
【答案】
(1) ∠AOB=120°；(2) ∠BOM=45°；(3) 18或54
【知识点】
角的动态运算，一元一次方程应用，旋转性质
【点评】
本题以模拟钟面指针转动为情境，考察动态角度的计算，需要学生结合指针的转动速度分析不同阶段的位置，通过分类讨论建立方程求解，对空间想象能力和分段分析的逻辑能力有一定要求，容易出现漏解、多次重合时总转角计算错误的问题。
【难度系数】
0.4
我们可以分三步逐步思考解题：
1. 第(1)问：初始状态下OM和ON在同一直线，∠MON=180°，OA从OM顺时针转、OB从ON逆时针转，t秒后OA转过15t°，OB转过5t°，∠AOB就等于初始的平角180°减去两个指针各自转过的角度，代入t=3即可直接计算。
2. 第(2)问：两个指针相向转动，相对速度为15°/s +5°/s=20°/s，第一次重合时两指针转过的角度和为初始的180°，之后每多重合1次，两指针转过的角度和就需要多增加一圈360°，因此第三次重合时总转角和为180°+2×360°，列方程求出t后，再计算OB的位置，就能得到∠BOM的度数。
3. 第(3)问：直线MN平分∠AOB等价于∠AON=∠BON，先算出第四次重合的总时间，再按指针转动的不同阶段分段讨论，排除两指针都在MN同侧的不可能区间，在符合条件的区间内列角度相等的方程求解，即可得到所有符合条件的t值。
【解析】
(1) 当t=3时：
OA转过的角度∠AOM = 15°/s × 3s = 45°，
OB转过的角度∠BON = 5°/s × 3s =15°，
因为M、O、N共线，∠MON=180°，
所以∠AOB = 180° - ∠AOM - ∠BON = 180° -45° -15° =120°。
(2) 设第三次重合时转动时间为t s：
两指针相向转动，第三次重合时，二者转过的角度总和为初始的180°加上2整圈的720°，即：
15t +5t = 180 + 2×360
化简得20t=900，解得t=45。
此时OB从ON出发逆时针转过的总角度为5°×45=225°，
因此OB与ON的夹角∠BON = 360° -225°=135°，
所以∠BOM = 180° - ∠BON = 180° -135°=45°。
(3) 先求OA与OB第四次重合的总时间：
15t +5t = 180 + 3×360，解得t=63。
接下来分段讨论：
① 当0＜t≤12时，OA、OB都在直线MN上方，无法满足MN平分∠AOB；
② 当12＜t＜24时，OA转到MN下方，OB仍在MN上方，此时∠BON=5t°，∠AON=(15t-180)°，令∠BON=∠AON：
15t -180 =5t，解得t=18，符合区间要求；
③ 当24≤t≤36时，OA、OB都回到MN上方，无法满足MN平分∠AOB；
④ 当36＜t≤48时，OA、OB都转到MN下方，无法满足MN平分∠AOB；
⑤ 当48＜t＜60时，OA转到MN上方，OB转到MN下方，此时∠BON=(360-5t)°，∠AON=(900-15t)°，令∠BON=∠AON：
900 -15t = 360 -5t，解得t=54，符合区间要求；
⑥ 当60≤t＜63时，OA、OB都在MN下方，无法满足MN平分∠AOB。
综上，符合条件的t为18或54。
【答案】
(1) ∠AOB=120°；(2) ∠BOM=45°；(3) 18或54
【知识点】
角的动态运算，一元一次方程应用，旋转性质
【点评】
本题以模拟钟面指针转动为情境，考察动态角度的计算，需要学生结合指针的转动速度分析不同阶段的位置，通过分类讨论建立方程求解，对空间想象能力和分段分析的逻辑能力有一定要求，容易出现漏解、多次重合时总转角计算错误的问题。
【难度系数】
0.4
11. 某份数学练习限定时间为 40 min,学生小明在下午4点后的某一时刻开始答题,此时时针与分
针的夹角是$110^{\circ }$.当小明认真思考,做完试题后,发现时间仍是4点多,而此时时针与分针的夹角是$99^{\circ }$,则他比限定时间提前了
针的夹角是$110^{\circ }$.当小明认真思考,做完试题后,发现时间仍是4点多,而此时时针与分针的夹角是$99^{\circ }$,则他比限定时间提前了
2
min 做完试题.答案
11. 2 提示:设小明于4点x分开始答题,4点y分做完试题,则由条件得 120 + 0.5x −6x = 110,6y −120 −0.5y = 99,解得 x=1 9/11,y=39 9/11,所以 y−x=38＜40,所以他比限定时间提前了 2 min 做完试题.
解析
【分析】
首先我们要先明确钟表上时针和分针的转动速度：分针60分钟转一圈360°，因此每分钟转6°；时针12小时转一圈360°，因此每分钟转0.5°。4点整的时候，时针指向4、分针指向12，两者初始夹角为4×30°=120°。接下来设小明4点x分开始答题，此时分针还未追上时针，结合夹角110°的条件可以列出第一个方程；再设小明4点y分做完题，此时分针已经超过时针，结合夹角99°的条件列出第二个方程。解出x和y后，y-x就是小明实际答题的时长，用限定的40分钟减去答题时长，就能得到提前完成的时间。
【解析】
1. 确定时针、分针转速
分针每分钟转过的角度：$360°÷60=6°$
时针每分钟转过的角度：$360°÷(12×60)=0.5°$
4点整时，时针与分针的初始夹角为$4×30°=120°$。
2. 列方程求解两个时刻
设小明4点$x$分开始答题，此时分针尚未追上时针，夹角为$110°$，可得方程：
$120 + 0.5x - 6x = 110$
整理得$5.5x=10$，解得$x=1\frac{9}{11}$。
设小明4点$y$分做完试题，此时分针已经超过时针，夹角为$99°$，可得方程：
$6y - 120 - 0.5y = 99$
整理得$5.5y=219$，解得$y=39\frac{9}{11}$。
3. 计算提前时长
小明实际答题时长为$y-x=39\frac{9}{11}-1\frac{9}{11}=38\ \mathrm{min}$，限定时间为40min，因此提前的时间为$40-38=2\ \mathrm{min}$。
【答案】
2
【知识点】
钟表夹角计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是钟表运动类的典型应用题，核心是明确时针和分针的不同转动速度，准确判断两个时刻时针和分针的位置先后关系，避免列错角度方程，解题后可验证得到答题时长小于40min，符合题目“做完后时间仍是4点多”的隐含条件。
【难度系数】
0.5
首先我们要先明确钟表上时针和分针的转动速度：分针60分钟转一圈360°，因此每分钟转6°；时针12小时转一圈360°，因此每分钟转0.5°。4点整的时候，时针指向4、分针指向12，两者初始夹角为4×30°=120°。接下来设小明4点x分开始答题，此时分针还未追上时针，结合夹角110°的条件可以列出第一个方程；再设小明4点y分做完题，此时分针已经超过时针，结合夹角99°的条件列出第二个方程。解出x和y后，y-x就是小明实际答题的时长，用限定的40分钟减去答题时长，就能得到提前完成的时间。
【解析】
1. 确定时针、分针转速
分针每分钟转过的角度：$360°÷60=6°$
时针每分钟转过的角度：$360°÷(12×60)=0.5°$
4点整时，时针与分针的初始夹角为$4×30°=120°$。
2. 列方程求解两个时刻
设小明4点$x$分开始答题，此时分针尚未追上时针，夹角为$110°$，可得方程：
$120 + 0.5x - 6x = 110$
整理得$5.5x=10$，解得$x=1\frac{9}{11}$。
设小明4点$y$分做完试题，此时分针已经超过时针，夹角为$99°$，可得方程：
$6y - 120 - 0.5y = 99$
整理得$5.5y=219$，解得$y=39\frac{9}{11}$。
3. 计算提前时长
小明实际答题时长为$y-x=39\frac{9}{11}-1\frac{9}{11}=38\ \mathrm{min}$，限定时间为40min，因此提前的时间为$40-38=2\ \mathrm{min}$。
【答案】
2
【知识点】
钟表夹角计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是钟表运动类的典型应用题，核心是明确时针和分针的不同转动速度，准确判断两个时刻时针和分针的位置先后关系，避免列错角度方程，解题后可验证得到答题时长小于40min，符合题目“做完后时间仍是4点多”的隐含条件。
【难度系数】
0.5
12.【概念理解】
若两个角 $α$ 与 $β$ 满足$2α+β=180°$,则称 $α$ 与 $β$互为“准补角”.
(1) 与 $50°$ 角互为“准补角”的角的度数为
【初步运用】
(2) 如图,点 $O$ 在直线 $AB$ 上,射线 $OC$,$OD$ 在直线 $AB$ 上方($OD$ 在 $∠ BOC$内部),$OE$ 在直线 $AB$ 的右下方,$OE⊥ OD$,且 $∠ COE=∠ AOE$. 判断$∠ COD$ 与 $∠ AOC$ 是否互为“准补角”,并说明理由.
【深入探究】
(3) 在(2)的条件下,与 $∠ COD$ 互为“准补角”的角的个数 $m$ 随$∠ COD$度数的变化而变化,直接写出$∠ COD$ 的度数及对应的 $m$ 值.
若两个角 $α$ 与 $β$ 满足$2α+β=180°$,则称 $α$ 与 $β$互为“准补角”.
(1) 与 $50°$ 角互为“准补角”的角的度数为
80或65
$°$.【初步运用】
(2) 如图,点 $O$ 在直线 $AB$ 上,射线 $OC$,$OD$ 在直线 $AB$ 上方($OD$ 在 $∠ BOC$内部),$OE$ 在直线 $AB$ 的右下方,$OE⊥ OD$,且 $∠ COE=∠ AOE$. 判断$∠ COD$ 与 $∠ AOC$ 是否互为“准补角”,并说明理由.
【深入探究】
(3) 在(2)的条件下,与 $∠ COD$ 互为“准补角”的角的个数 $m$ 随$∠ COD$度数的变化而变化,直接写出$∠ COD$ 的度数及对应的 $m$ 值.
答案
12. 解:(1) 80 或 65
(2) ∠COD 与∠AOC 互为“准补角”.理由如下:
因为∠AOE + ∠BOE = 180°,∠COE = ∠AOE,所以∠COE + ∠BOE = 180°,所以∠COB + ∠BOE = ∠COE = 180°−∠BOE,所以∠COB = 180°−2∠BOE. 因为 OE ⊥ OD,所以∠BOD + ∠BOE = ∠DOE = 90°,所以∠BOE = 90°−∠BOD. 所以∠COB = 180°−2(90°−∠BOD) = 2∠BOD,所以∠COD = ∠BOD. 因为∠BOC + ∠AOC = 180°,所以 2∠COD + ∠AOC = 180°,所以∠COD 与∠AOC 互为“准补角”.
(3) 当∠COD = 36°或∠COD = 60°时,m = 2;当∠COD = 45°或∠COD = 30°时,m = 3;其他情况下,与∠COD 互为“准补角”的角只有∠AOC,即 m = 1. 提示:设∠COD = x°(0＜x＜90),则∠BOC = 2x°,∠AOC = (180−2x)°,∠BOD = ∠COD = x°,∠BOE = (90−x)°,∠AOE = ∠COE = (90+x)°,∠AOD = (180−x)°. 可知∠COD + ∠BOE = 90°,∠AOD + ∠COD = 180°,所以∠BOE,∠AOD 不可能与∠COD 互为“准补角”.由(2)可知,∠COD 一直与∠AOC 互为“准补角”.
①若 2∠COD + ∠BOC = 180°,即 2x + 2x = 180,解得 x = 45. 此时∠BOC = 90°,∠BOD = 45°,∠BOE = 45°,∠AOE = ∠COE = 135°,所以此时与∠COD 互为“准补角”的角有∠AOC,∠BOC,∠DOE,故 m = 3.
②若∠COD + 2∠BOC = 180°,即 x + 2×2x = 180,解得 x = 36,此时∠BOC = 72°,∠BOD = 36°,∠BOE = 54°,∠AOE = ∠COE = 126°,所以此时与∠COD 互为“准补角”的角有∠AOC,∠BOC,故 m = 2.
③若 2∠COD + ∠BOD = 180°或∠COD + 2∠BOD = 180°,则 2x + x = 180,解得 x = 60. 此时∠BOC = 120°,∠BOD = 60°,∠BOE = 30°,∠AOE = ∠COE = 150°,所以此时与∠COD 互为“准补角”的角有∠AOC,∠BOD,故 m = 2.
④若 2∠COD + ∠COE = 180°,即 2x + 90 + x = 180,解得 x = 30. 此时∠BOC = 60°,∠BOD = 30°,∠BOE = 60°,∠AOE = ∠COE = 120°,所以此时与∠COD 互为“准补角”的角有∠AOC,∠AOE,∠COE,故 m = 3.
综上所述,与∠COD 互为“准补角”的角的个数 m 随∠COD 度数的变化而变化. 当∠COD = 36°或∠COD = 60°时,m = 2;当∠COD = 45°或∠COD = 30°时,m = 3;其他情况下,与∠COD 互为“准补角”的角只有∠AOC,即 m = 1.
(2) ∠COD 与∠AOC 互为“准补角”.理由如下:
因为∠AOE + ∠BOE = 180°,∠COE = ∠AOE,所以∠COE + ∠BOE = 180°,所以∠COB + ∠BOE = ∠COE = 180°−∠BOE,所以∠COB = 180°−2∠BOE. 因为 OE ⊥ OD,所以∠BOD + ∠BOE = ∠DOE = 90°,所以∠BOE = 90°−∠BOD. 所以∠COB = 180°−2(90°−∠BOD) = 2∠BOD,所以∠COD = ∠BOD. 因为∠BOC + ∠AOC = 180°,所以 2∠COD + ∠AOC = 180°,所以∠COD 与∠AOC 互为“准补角”.
(3) 当∠COD = 36°或∠COD = 60°时,m = 2;当∠COD = 45°或∠COD = 30°时,m = 3;其他情况下,与∠COD 互为“准补角”的角只有∠AOC,即 m = 1. 提示:设∠COD = x°(0＜x＜90),则∠BOC = 2x°,∠AOC = (180−2x)°,∠BOD = ∠COD = x°,∠BOE = (90−x)°,∠AOE = ∠COE = (90+x)°,∠AOD = (180−x)°. 可知∠COD + ∠BOE = 90°,∠AOD + ∠COD = 180°,所以∠BOE,∠AOD 不可能与∠COD 互为“准补角”.由(2)可知,∠COD 一直与∠AOC 互为“准补角”.
①若 2∠COD + ∠BOC = 180°,即 2x + 2x = 180,解得 x = 45. 此时∠BOC = 90°,∠BOD = 45°,∠BOE = 45°,∠AOE = ∠COE = 135°,所以此时与∠COD 互为“准补角”的角有∠AOC,∠BOC,∠DOE,故 m = 3.
②若∠COD + 2∠BOC = 180°,即 x + 2×2x = 180,解得 x = 36,此时∠BOC = 72°,∠BOD = 36°,∠BOE = 54°,∠AOE = ∠COE = 126°,所以此时与∠COD 互为“准补角”的角有∠AOC,∠BOC,故 m = 2.
③若 2∠COD + ∠BOD = 180°或∠COD + 2∠BOD = 180°,则 2x + x = 180,解得 x = 60. 此时∠BOC = 120°,∠BOD = 60°,∠BOE = 30°,∠AOE = ∠COE = 150°,所以此时与∠COD 互为“准补角”的角有∠AOC,∠BOD,故 m = 2.
④若 2∠COD + ∠COE = 180°,即 2x + 90 + x = 180,解得 x = 30. 此时∠BOC = 60°,∠BOD = 30°,∠BOE = 60°,∠AOE = ∠COE = 120°,所以此时与∠COD 互为“准补角”的角有∠AOC,∠AOE,∠COE,故 m = 3.
综上所述,与∠COD 互为“准补角”的角的个数 m 随∠COD 度数的变化而变化. 当∠COD = 36°或∠COD = 60°时,m = 2;当∠COD = 45°或∠COD = 30°时,m = 3;其他情况下,与∠COD 互为“准补角”的角只有∠AOC,即 m = 1.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问：根据“准补角”的定义$2α+β=180°$，分两种情况讨论：①已知的$50°$是$α$，代入求$β$；②已知的$50°$是$β$，代入求$α$，即可得到所有符合条件的角的度数。
2. 第(2)问：要判断$∠COD$和$∠AOC$是否互为准补角，核心是验证$2∠COD + ∠AOC$是否等于$180°$。先利用平角性质和$∠COE=∠AOE$推导得到$∠COB=180°-2∠BOE$，再结合$OE⊥OD$得到$∠BOE=90°-∠BOD$，代入后化简可得$∠COB=2∠BOD$，结合$OD$在$∠BOC$内部，可推出$∠COD=∠BOD$，即$∠COB=2∠COD$，最后结合平角$∠AOC+∠COB=180°$，代入即可验证符合准补角的定义。
3. 第(3)问：先设$∠COD=x°$，把图中所有的角都用含$x$的代数式表示出来，再逐个验证其余角是否满足$2x + 该角=180°$，分类求解对应的$x$值，统计符合条件的角的总个数$m$即可。
【解析】
(1) 分两种情况计算：
① 当$α=50°$时，代入$2α+β=180°$，得$2×50°+β=180°$，解得$β=80°$；
② 当$β=50°$时，代入$2α+β=180°$，得$2α+50°=180°$，解得$α=65°$；
因此符合条件的角为$80°$或$65°$。
(2) $∠COD$ 与$∠AOC$ 互为“准补角”，理由如下：
因为点$O$在直线$AB$上，所以$∠AOE + ∠BOE = 180°$，
又因为$∠COE=∠AOE$，所以$∠COE + ∠BOE = 180°$，
即$∠COB + ∠BOE + ∠BOE = 180°$，整理得$∠COB = 180° - 2∠BOE$。
因为$OE⊥OD$，所以$∠DOE=90°$，即$∠BOD + ∠BOE = 90°$，
因此$∠BOE = 90° - ∠BOD$，代入上式得：
$∠COB = 180° - 2(90° - ∠BOD) = 2∠BOD$，
又因为$OD$在$∠BOC$内部，所以$∠COB = ∠COD + ∠BOD$，因此$∠COD=∠BOD$。
因为$∠AOC + ∠COB = 180°$，代入$∠COB=2∠COD$，可得：
$∠AOC + 2∠COD = 180°$，完全符合“准补角”的定义，因此$∠COD$与$∠AOC$互为准补角。
(3) 设$∠COD=x°$，其中$0＜x＜90$，由(2)可知：
$∠BOD=∠COD=x°$，$∠BOC=2x°$，$∠AOC=180°-2x°$，$∠BOE=90°-x°$，$∠AOE=∠COE=90°+x°$，$∠AOD=180°-x°$，$∠DOE=90°$。
已知$∠COD$始终和$∠AOC$互为准补角，逐一验证其余角：
① 若$2x + ∠BOC=180°$，即$2x+2x=180$，解得$x=45$，此时满足条件的角有$∠AOC$、$∠BOC$、$∠DOE$，共3个，即$m=3$；
② 若$x + 2∠BOC=180°$，即$x+4x=180$，解得$x=36$，此时满足条件的角有$∠AOC$、$∠BOC$，共2个，即$m=2$；
③ 若$2x + ∠BOD=180°$，即$2x+x=180$，解得$x=60$，此时满足条件的角有$∠AOC$、$∠BOD$，共2个，即$m=2$；
④ 若$2x + ∠COE=180°$，即$2x + 90 + x=180$，解得$x=30$，此时满足条件的角有$∠AOC$、$∠AOE$、$∠COE$，共3个，即$m=3$；
其余$x$的取值下，仅$∠AOC$满足条件，$m=1$。
综上可得：当$∠COD=36°$或$∠COD=60°$时，$m=2$；当$∠COD=45°$或$∠COD=30°$时，$m=3$；其他情况下$m=1$。
【答案】
(1) 80或65；(2) $∠COD$ 与$∠AOC$ 互为“准补角”，理由见上述解析；(3) 当$∠COD = 36°$或$∠COD = 60°$时，$m = 2$；当$∠COD = 45°$或$∠COD = 30°$时，$m = 3$；其他情况下$m = 1$。
【知识点】
新定义运算，角的和差运算，垂直的性质
【点评】
本题是新定义背景下的角的综合探究题，首先要求学生准确理解“准补角”的定义，第(1)问容易遗漏其中一种情况导致丢分，第(2)问需要结合平角、垂直的性质推导角的倍分关系，第(3)问需要用变量表示所有角后分类讨论所有可能符合准补角定义的角，对学生的逻辑推导能力和分类讨论的严谨性要求较高，能很好地锻炼学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.25
解题思路如下：
1. 第(1)问：根据“准补角”的定义$2α+β=180°$，分两种情况讨论：①已知的$50°$是$α$，代入求$β$；②已知的$50°$是$β$，代入求$α$，即可得到所有符合条件的角的度数。
2. 第(2)问：要判断$∠COD$和$∠AOC$是否互为准补角，核心是验证$2∠COD + ∠AOC$是否等于$180°$。先利用平角性质和$∠COE=∠AOE$推导得到$∠COB=180°-2∠BOE$，再结合$OE⊥OD$得到$∠BOE=90°-∠BOD$，代入后化简可得$∠COB=2∠BOD$，结合$OD$在$∠BOC$内部，可推出$∠COD=∠BOD$，即$∠COB=2∠COD$，最后结合平角$∠AOC+∠COB=180°$，代入即可验证符合准补角的定义。
3. 第(3)问：先设$∠COD=x°$，把图中所有的角都用含$x$的代数式表示出来，再逐个验证其余角是否满足$2x + 该角=180°$，分类求解对应的$x$值，统计符合条件的角的总个数$m$即可。
【解析】
(1) 分两种情况计算：
① 当$α=50°$时，代入$2α+β=180°$，得$2×50°+β=180°$，解得$β=80°$；
② 当$β=50°$时，代入$2α+β=180°$，得$2α+50°=180°$，解得$α=65°$；
因此符合条件的角为$80°$或$65°$。
(2) $∠COD$ 与$∠AOC$ 互为“准补角”，理由如下：
因为点$O$在直线$AB$上，所以$∠AOE + ∠BOE = 180°$，
又因为$∠COE=∠AOE$，所以$∠COE + ∠BOE = 180°$，
即$∠COB + ∠BOE + ∠BOE = 180°$，整理得$∠COB = 180° - 2∠BOE$。
因为$OE⊥OD$，所以$∠DOE=90°$，即$∠BOD + ∠BOE = 90°$，
因此$∠BOE = 90° - ∠BOD$，代入上式得：
$∠COB = 180° - 2(90° - ∠BOD) = 2∠BOD$，
又因为$OD$在$∠BOC$内部，所以$∠COB = ∠COD + ∠BOD$，因此$∠COD=∠BOD$。
因为$∠AOC + ∠COB = 180°$，代入$∠COB=2∠COD$，可得：
$∠AOC + 2∠COD = 180°$，完全符合“准补角”的定义，因此$∠COD$与$∠AOC$互为准补角。
(3) 设$∠COD=x°$，其中$0＜x＜90$，由(2)可知：
$∠BOD=∠COD=x°$，$∠BOC=2x°$，$∠AOC=180°-2x°$，$∠BOE=90°-x°$，$∠AOE=∠COE=90°+x°$，$∠AOD=180°-x°$，$∠DOE=90°$。
已知$∠COD$始终和$∠AOC$互为准补角，逐一验证其余角：
① 若$2x + ∠BOC=180°$，即$2x+2x=180$，解得$x=45$，此时满足条件的角有$∠AOC$、$∠BOC$、$∠DOE$，共3个，即$m=3$；
② 若$x + 2∠BOC=180°$，即$x+4x=180$，解得$x=36$，此时满足条件的角有$∠AOC$、$∠BOC$，共2个，即$m=2$；
③ 若$2x + ∠BOD=180°$，即$2x+x=180$，解得$x=60$，此时满足条件的角有$∠AOC$、$∠BOD$，共2个，即$m=2$；
④ 若$2x + ∠COE=180°$，即$2x + 90 + x=180$，解得$x=30$，此时满足条件的角有$∠AOC$、$∠AOE$、$∠COE$，共3个，即$m=3$；
其余$x$的取值下，仅$∠AOC$满足条件，$m=1$。
综上可得：当$∠COD=36°$或$∠COD=60°$时，$m=2$；当$∠COD=45°$或$∠COD=30°$时，$m=3$；其他情况下$m=1$。
【答案】
(1) 80或65；(2) $∠COD$ 与$∠AOC$ 互为“准补角”，理由见上述解析；(3) 当$∠COD = 36°$或$∠COD = 60°$时，$m = 2$；当$∠COD = 45°$或$∠COD = 30°$时，$m = 3$；其他情况下$m = 1$。
【知识点】
新定义运算，角的和差运算，垂直的性质
【点评】
本题是新定义背景下的角的综合探究题，首先要求学生准确理解“准补角”的定义，第(1)问容易遗漏其中一种情况导致丢分，第(2)问需要结合平角、垂直的性质推导角的倍分关系，第(3)问需要用变量表示所有角后分类讨论所有可能符合准补角定义的角，对学生的逻辑推导能力和分类讨论的严谨性要求较高，能很好地锻炼学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.25
