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1. 一元二次方程 $x(x-5)=5-x$ 的根是（
A.$-1$
B.$0$
C.$-1$ 或 $5$
D.$1$ 或 $5$
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$-1$ 或 $5$
D.$1$ 或 $5$
答案
1. C 解析:$\because x(x-5)=5-x,\therefore x(x-5)+(x-5)=0$,$\therefore(x-5)(x+1)=0,\therefore x-5=0$ 或 $x+1=0$,解得 $x_1=5$,$x_2=-1$.
解析
【分析】
解一元二次方程时，不能直接对含未知数的因式约分，否则会漏根。正确思路是先将方程右边的项移到左边，使方程左边为0，再通过提取公因式因式分解，转化为两个一元一次方程求解，最后对应选项得出答案。
【解析】
原方程移项得：$x(x-5)+(x-5)=0$，提取公因式$(x-5)$得：$(x-5)(x+1)=0$，则$x-5=0$或$x+1=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法（因式分解法）、一元二次方程的根
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程，核心是移项后提取公因式，避免直接约去含未知数的式子导致漏根，属于基础题型，需注意解题的规范性。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程时，不能直接对含未知数的因式约分，否则会漏根。正确思路是先将方程右边的项移到左边，使方程左边为0，再通过提取公因式因式分解，转化为两个一元一次方程求解，最后对应选项得出答案。
【解析】
原方程移项得：$x(x-5)+(x-5)=0$，提取公因式$(x-5)$得：$(x-5)(x+1)=0$，则$x-5=0$或$x+1=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法（因式分解法）、一元二次方程的根
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程，核心是移项后提取公因式，避免直接约去含未知数的式子导致漏根，属于基础题型，需注意解题的规范性。
【难度系数】
0.7
2. 用配方法解关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x-11=0$，配方后的方程是（
A.$(x-1)^{2}=10$
B.$(x-1)^{2}=12$
C.$(x+1)^{2}=10$
D.$(x+1)^{2}=12$
B
）A.$(x-1)^{2}=10$
B.$(x-1)^{2}=12$
C.$(x+1)^{2}=10$
D.$(x+1)^{2}=12$
答案
2. B
解析
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路是：先将方程中的常数项移到等号右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边式子变形为完全平方式，从而得到配方后的方程，再对应选项选出答案。
【解析】解：对于方程$x^2 - 2x - 11 = 0$，
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = 11$；
第二步：配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2 = 1$，在方程两边同时加上1，得$x^2 - 2x + 1 = 11 + 1$；
第三步：将左边整理为完全平方式，得$(x - 1)^2 = 12$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的基本操作步骤，只要掌握移项、加一次项系数一半平方的关键步骤，即可快速得出答案，属于基础题。
【难度系数】0.7
【解析】解：对于方程$x^2 - 2x - 11 = 0$，
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = 11$；
第二步：配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2 = 1$，在方程两边同时加上1，得$x^2 - 2x + 1 = 11 + 1$；
第三步：将左边整理为完全平方式，得$(x - 1)^2 = 12$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的基本操作步骤，只要掌握移项、加一次项系数一半平方的关键步骤，即可快速得出答案，属于基础题。
【难度系数】0.7
3. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x+c=0$有两个相等的实数根，则实数$c$的值为（
A.$-16$
B.$-4$
C.$4$
D.$16$
C
）A.$-16$
B.$-4$
C.$4$
D.$16$
答案
3. C 解析:$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4x+c=0$ 有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=(-4)^2-4c=0$,解得 $c=4$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。本题中方程为$x^2 -4x +c=0$，确定$a=1$、$b=-4$，代入判别式公式计算即可得到$c$的值，再对应选项选出答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有两个相等的实数根，则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
本题中方程$x^2 -4x +c=0$中，$a=1$，$b=-4$，代入判别式得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1×c = 0$
计算得：$16 - 4c = 0$，解得$c=4$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于一元二次方程章节的基础题型，只要牢记“方程有两个相等实数根时判别式为0”这一核心性质，即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。本题中方程为$x^2 -4x +c=0$，确定$a=1$、$b=-4$，代入判别式公式计算即可得到$c$的值，再对应选项选出答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有两个相等的实数根，则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
本题中方程$x^2 -4x +c=0$中，$a=1$，$b=-4$，代入判别式得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1×c = 0$
计算得：$16 - 4c = 0$，解得$c=4$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于一元二次方程章节的基础题型，只要牢记“方程有两个相等实数根时判别式为0”这一核心性质，即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 明明在解关于$x$的方程$ax^{2}-3x+2=0(a ≠ 0)$时，抄错了$a$的符号，解出其中一个根是$x=1$，则原方程的根的情况是（
A.没有实数根
B.有一个实数根是$x=-1$
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
D
）A.没有实数根
B.有一个实数根是$x=-1$
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
答案
4. D 解析:将 $x=1$ 代入方程,得 $a-3+2=0$,解得 $a=1$,$\therefore a$ 的正确值为 $-1$,则原方程为 $-x^2-3x+2=0$,而 $\Delta=(-3)^2-4×(-1)×2=17＞0$,$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
要解决本题，需先求出原方程中正确的$a$值：明明抄错了$a$的符号，因此他使用的方程是原方程中$a$的符号被改变后的方程，而$x=1$是这个错误方程的根，将$x=1$代入错误方程可求出$a$的值；得到正确的$a$后，写出原方程，再计算其判别式$\Delta$，根据$\Delta$的正负即可判断原方程根的情况。
【解析】
1. 求正确的$a$值：
因为明明抄错了$a$的符号，所以他解的方程为$-ax^2 -3x +2=0$，将$x=1$代入该方程：
$(-a) × 1^2 - 3 × 1 + 2 = 0$
化简得：$-a -1 = 0$，解得$a=-1$。
2. 判断原方程根的情况：
原方程为$-x^2 -3x +2=0$，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，判别式$\Delta = B^2 -4AC$，其中$A=-1$，$B=-3$，$C=2$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 -4 × (-1) × 2 = 9 +8 =17 ＞0$
判别式大于0，说明原方程有两个不相等的实数根。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的解与根的判别式，核心是理解“抄错$a$的符号”的含义，先通过错误方程的根求出正确的$a$，再利用判别式判断根的情况，需掌握判别式的计算规则。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先求出原方程中正确的$a$值：明明抄错了$a$的符号，因此他使用的方程是原方程中$a$的符号被改变后的方程，而$x=1$是这个错误方程的根，将$x=1$代入错误方程可求出$a$的值；得到正确的$a$后，写出原方程，再计算其判别式$\Delta$，根据$\Delta$的正负即可判断原方程根的情况。
【解析】
1. 求正确的$a$值：
因为明明抄错了$a$的符号，所以他解的方程为$-ax^2 -3x +2=0$，将$x=1$代入该方程：
$(-a) × 1^2 - 3 × 1 + 2 = 0$
化简得：$-a -1 = 0$，解得$a=-1$。
2. 判断原方程根的情况：
原方程为$-x^2 -3x +2=0$，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，判别式$\Delta = B^2 -4AC$，其中$A=-1$，$B=-3$，$C=2$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 -4 × (-1) × 2 = 9 +8 =17 ＞0$
判别式大于0，说明原方程有两个不相等的实数根。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的解与根的判别式，核心是理解“抄错$a$的符号”的含义，先通过错误方程的根求出正确的$a$，再利用判别式判断根的情况，需掌握判别式的计算规则。
【难度系数】
0.5
5. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+(m-1)x-2=0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$, 若 $x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=2$,则 $m$ 的值为（
A.1
B.$-5$
C.3
D.5
D
）A.1
B.$-5$
C.3
D.5
答案
5. D 解析:$\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^2+(m-1)x-2=0$ 的两个实数根分别为 $x_1$、$x_2$,$\therefore x_1+x_2=1-m$,$x_1x_2=-2$.$\because x_1x_2-x_1-x_2=x_1x_2-(x_1+x_2)=2$,$\therefore -2+m-1=2$,$\therefore m=5$.
解析
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路是先利用韦达定理求出方程两根之和与两根之积，再将其代入已知等式，转化为关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题中方程为$x^2+(m-1)x-2=0$，其中$a=1$，$b=m-1$，$c=-2$，因此：
$x_1+x_2=-(m-1)=1 - m$，$x_1x_2=-2$。
已知$x_1x_2 - x_1 - x_2=2$，将式子变形为$x_1x_2 - (x_1 + x_2)=2$，代入上述结果得：
$-2 - (1 - m)=2$，
化简得：$-2 -1 + m=2$，即$m - 3=2$，解得$m=5$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的解法
【点评】本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是准确记忆根与系数的关系，并对代数式合理变形，整体难度较低，学生掌握相关知识点即可顺利解答。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题中方程为$x^2+(m-1)x-2=0$，其中$a=1$，$b=m-1$，$c=-2$，因此：
$x_1+x_2=-(m-1)=1 - m$，$x_1x_2=-2$。
已知$x_1x_2 - x_1 - x_2=2$，将式子变形为$x_1x_2 - (x_1 + x_2)=2$，代入上述结果得：
$-2 - (1 - m)=2$，
化简得：$-2 -1 + m=2$，即$m - 3=2$，解得$m=5$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的解法
【点评】本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是准确记忆根与系数的关系，并对代数式合理变形，整体难度较低，学生掌握相关知识点即可顺利解答。
【难度系数】0.8
6. 方程 $x^{2}-2x=0$ 的根为
$x_1=0,x_2=2$
.答案
6. $x_1=0,x_2=2$ 解析:$\because x^2-2x=0$,$\therefore x(x-2)=0$,$\therefore x=0$ 或 $x-2=0$,解得 $x_1=0$,$x_2=2$.
解析
【分析】
解一元二次方程时，观察方程结构，可采用因式分解法。先将方程左边提取公因式转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别求解两个一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
对原方程$x^2 - 2x = 0$左边提取公因式，得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘积为0的因式性质，可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解上述两个一次方程，得：
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
【答案】
$x_1=0,x_2=2$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，直接运用因式分解法即可快速求解，考查学生对一元二次方程基本解法的掌握情况，属于必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
解一元二次方程时，观察方程结构，可采用因式分解法。先将方程左边提取公因式转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别求解两个一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
对原方程$x^2 - 2x = 0$左边提取公因式，得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘积为0的因式性质，可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解上述两个一次方程，得：
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
【答案】
$x_1=0,x_2=2$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，直接运用因式分解法即可快速求解，考查学生对一元二次方程基本解法的掌握情况，属于必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
7. 用配方法解一元二次方程 $x^{2}-6x=1$ 时,可将原方程配方成 $(x-m)^{2}=n$,则 $m+n$ 的值是
13
.答案
7. 13 解析:$\because x^2-6x=1$,$\therefore x^2-6x+9=1+9$,$\therefore (x-3)^2=10$,$\therefore m=3$,$n=10$,$\therefore m+n=3+10=13$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需掌握配方法解一元二次方程的核心步骤：对于形如$x^2 + bx = c$的一元二次方程，需在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边转化为完全平方式$(x+\frac{b}{2})^2$。本题中先对原方程配方得到$(x-m)^2=n$的形式，再确定$m$、$n$的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
对原方程$x^2 -6x =1$进行配方：
1. 确定一次项系数为$-6$，其一半为$-6÷2=-3$，平方为$(-3)^2=9$；
2. 在方程两边同时加上9，使左边成为完全平方式，等式保持成立：
$x^2 -6x +9 =1 +9$；
3. 整理得$(x-3)^2=10$，对比$(x-m)^2=n$，可得$m=3$，$n=10$；
4. 计算$m+n=3+10=13$。
【答案】
13
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，核心是掌握配方法的操作规则，属于一元二次方程章节的基础题型，侧重对基本方法的掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需掌握配方法解一元二次方程的核心步骤：对于形如$x^2 + bx = c$的一元二次方程，需在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边转化为完全平方式$(x+\frac{b}{2})^2$。本题中先对原方程配方得到$(x-m)^2=n$的形式，再确定$m$、$n$的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
对原方程$x^2 -6x =1$进行配方：
1. 确定一次项系数为$-6$，其一半为$-6÷2=-3$，平方为$(-3)^2=9$；
2. 在方程两边同时加上9，使左边成为完全平方式，等式保持成立：
$x^2 -6x +9 =1 +9$；
3. 整理得$(x-3)^2=10$，对比$(x-m)^2=n$，可得$m=3$，$n=10$；
4. 计算$m+n=3+10=13$。
【答案】
13
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，核心是掌握配方法的操作规则，属于一元二次方程章节的基础题型，侧重对基本方法的掌握。
【难度系数】
0.8
8. 若关于$x$的一元二次方程$3x^{2}-2x+m=0$有两个相等的实数根，则$m$的值为
$\dfrac{1}{3}$
.答案
8. $\dfrac{1}{3}$ 解析:$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $3x^2-2x+m=0$ 有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=0$,即 $(-2)^2-4×3m=0$,解得 $m=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根。因此，先确定题目中方程的$a、b、c$的值，再代入判别式等于0的条件，解关于$m$的方程即可得到结果。
【解析】
解：因为关于$x$的一元二次方程$3x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = 0$。
对于方程$3x^2 - 2x + m = 0$，其中$a=3$，$b=-2$，$c=m$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×3×m = 0$
计算得：$4 - 12m = 0$
移项求解：$12m = 4$，即$m = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题型，直接利用判别式等于0的条件即可求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根。因此，先确定题目中方程的$a、b、c$的值，再代入判别式等于0的条件，解关于$m$的方程即可得到结果。
【解析】
解：因为关于$x$的一元二次方程$3x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = 0$。
对于方程$3x^2 - 2x + m = 0$，其中$a=3$，$b=-2$，$c=m$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×3×m = 0$
计算得：$4 - 12m = 0$
移项求解：$12m = 4$，即$m = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题型，直接利用判别式等于0的条件即可求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
9. 已知$M=x^{2}+x$，$N=3x-2$，则$M$、$N$的大小关系是$M\_\_\_\_\_\_N$。（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）
答案
9. $＞$ 解析:$M-N=x^2+x-(3x-2)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1≥1$,$\therefore M-N＞0$,$\therefore M＞N$.
解析
【分析】
要比较代数式$M$和$N$的大小，常用作差法：计算$M$与$N$的差，通过判断差的正负确定两者大小关系。若$M-N＞0$则$M＞N$，若$M-N=0$则$M=N$，若$M-N＜0$则$M＜N$。接下来对差化简后，利用完全平方公式配方即可判断差的取值范围。
【解析】
计算$M-N$：
$\begin{aligned}M - N&=(x^2 + x) - (3x - 2)\\&=x^2 + x - 3x + 2\\&=x^2 - 2x + 2\end{aligned}$
对结果配方：
$x^2 - 2x + 2=(x - 1)^2 + 1$
因为$(x - 1)^2 ≥ 0$，所以$(x - 1)^2 + 1 ≥ 1＞0$，即$M-N＞0$，故$M＞N$。
【答案】
＞
【知识点】
作差法比较代数式大小；完全平方公式
【点评】
本题是代数中比较大小的基础题型，核心方法为作差法，通过配方将差转化为非负数加常数的形式，快速判断差的正负，解题思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.7
要比较代数式$M$和$N$的大小，常用作差法：计算$M$与$N$的差，通过判断差的正负确定两者大小关系。若$M-N＞0$则$M＞N$，若$M-N=0$则$M=N$，若$M-N＜0$则$M＜N$。接下来对差化简后，利用完全平方公式配方即可判断差的取值范围。
【解析】
计算$M-N$：
$\begin{aligned}M - N&=(x^2 + x) - (3x - 2)\\&=x^2 + x - 3x + 2\\&=x^2 - 2x + 2\end{aligned}$
对结果配方：
$x^2 - 2x + 2=(x - 1)^2 + 1$
因为$(x - 1)^2 ≥ 0$，所以$(x - 1)^2 + 1 ≥ 1＞0$，即$M-N＞0$，故$M＞N$。
【答案】
＞
【知识点】
作差法比较代数式大小；完全平方公式
【点评】
本题是代数中比较大小的基础题型，核心方法为作差法，通过配方将差转化为非负数加常数的形式，快速判断差的正负，解题思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.7
10. 已知一元二次方程 $8x^{2}-2x-15=0$ 的两个根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$, 则 $8x_{1}^{2}-3x_{1}-x_{2}$ 的值为
$\dfrac{59}{4}$
.答案
10. $\dfrac{59}{4}$ 解析:$\because$ 一元二次方程 $8x^2-2x-15=0$ 的两个根分别为 $x_1$、$x_2$,$\therefore 8x_1^2-2x_1-15=0$,$x_1+x_2=-\dfrac{-2}{8}=\dfrac{1}{4}$,$\therefore 8x_1^2-3x_1-x_2=8x_1^2-2x_1-(x_1+x_2)=15-\dfrac{1}{4}=\dfrac{59}{4}$.
解析
【分析】
要计算代数式$8x_{1}^{2}-3x_{1}-x_{2}$的值，首先利用一元二次方程根的定义：因为$x_1$是方程的根，所以满足方程，可将$8x_1^2$转化为含$x_1$的一次式实现降次；再利用韦达定理（根与系数的关系）求出两根之和$x_1+x_2$，最后将所求代数式变形为可代入的形式，整体代入计算即可。
【解析】
解：因为$x_1$是一元二次方程$8x^2 -2x -15=0$的根，将$x=x_1$代入方程得：
$8x_1^2 -2x_1 -15=0$，整理得$8x_1^2=2x_1 +15$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，此处$a=8$，$b=-2$，因此：
$x_1+x_2=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
将$8x_1^2=2x_1+15$代入所求代数式：
$8x_1^2 -3x_1 -x_2=(2x_1 +15)-3x_1 -x_2$
化简得：$-x_1 -x_2 +15=-(x_1+x_2)+15$
把$x_1+x_2=\frac{1}{4}$代入上式：
$-\frac{1}{4}+15=\frac{59}{4}$。
【答案】
$\frac{59}{4}$
【知识点】
一元二次方程的根的定义；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义和韦达定理的应用，核心是利用根的定义对代数式降次，结合韦达定理进行整体代换，解题关键是将所求代数式变形为包含$x_1+x_2$的形式，属于基础题型，需掌握整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.6
要计算代数式$8x_{1}^{2}-3x_{1}-x_{2}$的值，首先利用一元二次方程根的定义：因为$x_1$是方程的根，所以满足方程，可将$8x_1^2$转化为含$x_1$的一次式实现降次；再利用韦达定理（根与系数的关系）求出两根之和$x_1+x_2$，最后将所求代数式变形为可代入的形式，整体代入计算即可。
【解析】
解：因为$x_1$是一元二次方程$8x^2 -2x -15=0$的根，将$x=x_1$代入方程得：
$8x_1^2 -2x_1 -15=0$，整理得$8x_1^2=2x_1 +15$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，此处$a=8$，$b=-2$，因此：
$x_1+x_2=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
将$8x_1^2=2x_1+15$代入所求代数式：
$8x_1^2 -3x_1 -x_2=(2x_1 +15)-3x_1 -x_2$
化简得：$-x_1 -x_2 +15=-(x_1+x_2)+15$
把$x_1+x_2=\frac{1}{4}$代入上式：
$-\frac{1}{4}+15=\frac{59}{4}$。
【答案】
$\frac{59}{4}$
【知识点】
一元二次方程的根的定义；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义和韦达定理的应用，核心是利用根的定义对代数式降次，结合韦达定理进行整体代换，解题关键是将所求代数式变形为包含$x_1+x_2$的形式，属于基础题型，需掌握整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.6
三、解答题（共 50 分）
11.（20 分）解下列方程：
(1)$(2x-1)^{2}=9$；
(2)$3x(x-1)=x-1$；
(3)$2x^{2}+3x-4=0$(配方法)；
(4)$3x^{2}-6x+1=0$(公式法).
11.（20 分）解下列方程：
(1)$(2x-1)^{2}=9$；
(2)$3x(x-1)=x-1$；
(3)$2x^{2}+3x-4=0$(配方法)；
(4)$3x^{2}-6x+1=0$(公式法).
答案
11. (1)$\because(2x-1)^2=9$,$\therefore 2x-1=\pm3$,$\therefore x_1=2$,$x_2=-1$.
(2)$\because 3x(x-1)=x-1$,$\therefore 3x(x-1)-(x-1)=0$,$\therefore (x-1)(3x-1)=0$,$\therefore x-1=0$ 或 $3x-1=0$,$\therefore x_1=1$,$x_2=\dfrac{1}{3}$.
(3)$\because 2x^2+3x-4=0$,$\therefore x^2+\dfrac{3}{2}x=2$,$\therefore x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}=2+\dfrac{9}{16}$,即 $(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{41}{16}$,$\therefore x+\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,$\therefore x_1=\dfrac{-3+\sqrt{41}}{4}$,$x_2=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{4}$.
(4)$\because \Delta=(-6)^2-4×3×1=24＞0$,$\therefore x=\dfrac{6\pm\sqrt{24}}{2×3}=\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{3}$,$\therefore x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$,$x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$.
(2)$\because 3x(x-1)=x-1$,$\therefore 3x(x-1)-(x-1)=0$,$\therefore (x-1)(3x-1)=0$,$\therefore x-1=0$ 或 $3x-1=0$,$\therefore x_1=1$,$x_2=\dfrac{1}{3}$.
(3)$\because 2x^2+3x-4=0$,$\therefore x^2+\dfrac{3}{2}x=2$,$\therefore x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}=2+\dfrac{9}{16}$,即 $(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{41}{16}$,$\therefore x+\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,$\therefore x_1=\dfrac{-3+\sqrt{41}}{4}$,$x_2=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{4}$.
(4)$\because \Delta=(-6)^2-4×3×1=24＞0$,$\therefore x=\dfrac{6\pm\sqrt{24}}{2×3}=\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{3}$,$\therefore x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$,$x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$.
解析
【分析】
本题是解一元二次方程的题目，需根据方程特点及指定方法选择解题路径：
(1) 方程为完全平方等于常数的形式，适合用直接开平方法，利用平方根的定义转化为一次方程；
(2) 方程含公因式$(x-1)$，适合用因式分解法，移项后提取公因式转化为一次方程；
(3) 题目指定用配方法，需先化二次项系数为1，再通过移项、配方构造完全平方求解；
(4) 题目指定用公式法，需先计算判别式，再代入求根公式计算结果。
【解析】
(1) $\because(2x-1)^2=9$，根据平方根定义得：$2x-1=\pm3$，
当$2x-1=3$时，$2x=4$，解得$x_1=2$；
当$2x-1=-3$时，$2x=-2$，解得$x_2=-1$。
(2) 移项得：$3x(x-1)-(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)(3x-1)=0$，
则$x-1=0$或$3x-1=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=\dfrac{1}{3}$。
(3) 方程$2x^2+3x-4=0$，两边除以2得：$x^2+\dfrac{3}{2}x=2$，
配方：两边加$(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，得$x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}=2+\dfrac{9}{16}$，
即$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{41}{16}$，
开方得：$x+\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{41}}{4}$，
解得$x_1=\dfrac{-3+\sqrt{41}}{4}$，$x_2=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{4}$。
(4) 方程$3x^2-6x+1=0$，其中$a=3$，$b=-6$，$c=1$，
计算判别式$\Delta=(-6)^2-4×3×1=24＞0$，
代入求根公式$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\dfrac{6\pm\sqrt{24}}{6}=\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{3}$，
解得$x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$，$x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
11. (1)$x_1=2$，$x_2=-1$；(2)$x_1=1$，$x_2=\dfrac{1}{3}$；(3)$x_1=\dfrac{-3+\sqrt{41}}{4}$，$x_2=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{4}$；(4)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$，$x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程
【点评】
本题覆盖一元二次方程的四种核心解法，要求学生掌握不同方法的适用条件与操作步骤，是初中代数的基础考点，需熟练运用。
【难度系数】
0.7
本题是解一元二次方程的题目，需根据方程特点及指定方法选择解题路径：
(1) 方程为完全平方等于常数的形式，适合用直接开平方法，利用平方根的定义转化为一次方程；
(2) 方程含公因式$(x-1)$，适合用因式分解法，移项后提取公因式转化为一次方程；
(3) 题目指定用配方法，需先化二次项系数为1，再通过移项、配方构造完全平方求解；
(4) 题目指定用公式法，需先计算判别式，再代入求根公式计算结果。
【解析】
(1) $\because(2x-1)^2=9$，根据平方根定义得：$2x-1=\pm3$，
当$2x-1=3$时，$2x=4$，解得$x_1=2$；
当$2x-1=-3$时，$2x=-2$，解得$x_2=-1$。
(2) 移项得：$3x(x-1)-(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)(3x-1)=0$，
则$x-1=0$或$3x-1=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=\dfrac{1}{3}$。
(3) 方程$2x^2+3x-4=0$，两边除以2得：$x^2+\dfrac{3}{2}x=2$，
配方：两边加$(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，得$x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}=2+\dfrac{9}{16}$，
即$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{41}{16}$，
开方得：$x+\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{41}}{4}$，
解得$x_1=\dfrac{-3+\sqrt{41}}{4}$，$x_2=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{4}$。
(4) 方程$3x^2-6x+1=0$，其中$a=3$，$b=-6$，$c=1$，
计算判别式$\Delta=(-6)^2-4×3×1=24＞0$，
代入求根公式$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\dfrac{6\pm\sqrt{24}}{6}=\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{3}$，
解得$x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$，$x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
11. (1)$x_1=2$，$x_2=-1$；(2)$x_1=1$，$x_2=\dfrac{1}{3}$；(3)$x_1=\dfrac{-3+\sqrt{41}}{4}$，$x_2=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{4}$；(4)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$，$x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程
【点评】
本题覆盖一元二次方程的四种核心解法，要求学生掌握不同方法的适用条件与操作步骤，是初中代数的基础考点，需熟练运用。
【难度系数】
0.7
