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12. (10 分)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2x+2m-1=0$,其中 $m$ 为常数.
(1)若 $x=2$ 是方程的一个根,求 $m$ 的值.
(2)若 $m=-1$,求该方程的根.
(3)若方程有实数根,且 $m$ 为正整数,求 $m$ 的值及此时方程的根.
(1)若 $x=2$ 是方程的一个根,求 $m$ 的值.
(2)若 $m=-1$,求该方程的根.
(3)若方程有实数根,且 $m$ 为正整数,求 $m$ 的值及此时方程的根.
答案
12. (1)把 $x=2$ 代入方程,得 $2^2-2×2+2m-1=0$,解得 $m=\dfrac{1}{2}$.
(2)当 $m=-1$ 时,原方程为 $x^2-2x-3=0$,$\therefore (x-3)(x+1)=0$,$\therefore x-3=0$ 或 $x+1=0$,$\therefore x_1=3$,$x_2=-1$.
(3)$\because$ 方程有实数根,$\therefore \Delta=(-2)^2-4(2m-1)≥0$,解得 $m≤1$.$\because m$ 为正整数,$\therefore m=1$,原方程为 $x^2-2x+1=0$,$\therefore (x-1)^2=0$,$\therefore x_1=x_2=1$.
(2)当 $m=-1$ 时,原方程为 $x^2-2x-3=0$,$\therefore (x-3)(x+1)=0$,$\therefore x-3=0$ 或 $x+1=0$,$\therefore x_1=3$,$x_2=-1$.
(3)$\because$ 方程有实数根,$\therefore \Delta=(-2)^2-4(2m-1)≥0$,解得 $m≤1$.$\because m$ 为正整数,$\therefore m=1$,原方程为 $x^2-2x+1=0$,$\therefore (x-1)^2=0$,$\therefore x_1=x_2=1$.
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程的核心知识设置三个小问：(1)利用“方程的根满足方程”这一性质，将已知根代入方程即可求解参数m；(2)代入给定的m值得到具体的一元二次方程，通过因式分解法求解方程的根；(3)根据一元二次方程有实数根的条件（判别式Δ≥0）求出m的取值范围，结合m为正整数的限制确定m的值，再解方程得到根。
【解析】
(1) 因为x=2是方程$x^2-2x+2m-1=0$的根，将$x=2$代入方程得：
$2^2 - 2×2 + 2m - 1 = 0$
计算得：$4 - 4 + 2m - 1 = 0$ → $2m = 1$ → $m = \frac{1}{2}$。
(2) 当$m=-1$时，原方程为$x^2 - 2x + 2×(-1) - 1 = x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得：$(x - 3)(x + 1) = 0$，
所以$x - 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(3) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），有实数根的条件是判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=2m-1$，因此$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(2m - 1) = 4 - 8m + 4 = 8 - 8m ≥ 0$，
解不等式得：$m ≤ 1$，
又因为$m$为正整数，所以$m=1$，
此时原方程为$x^2 - 2x + 2×1 - 1 = x^2 - 2x + 1 = 0$，
配方得$(x - 1)^2 = 0$，
解得$x_1=x_2=1$。
【答案】
(1) $m=\frac{1}{2}$；(2) $x_1=3$，$x_2=-1$；(3) $m=1$，方程的根为$x_1=x_2=1$。
【知识点】
一元二次方程的根的定义、一元二次方程的解法、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，分别考察了根的定义、一元二次方程的求解方法以及根的判别式的应用，知识点覆盖全面，难度适中，适合巩固一元二次方程的相关基础。
【难度系数】
0.7
本题围绕一元二次方程的核心知识设置三个小问：(1)利用“方程的根满足方程”这一性质，将已知根代入方程即可求解参数m；(2)代入给定的m值得到具体的一元二次方程，通过因式分解法求解方程的根；(3)根据一元二次方程有实数根的条件（判别式Δ≥0）求出m的取值范围，结合m为正整数的限制确定m的值，再解方程得到根。
【解析】
(1) 因为x=2是方程$x^2-2x+2m-1=0$的根，将$x=2$代入方程得：
$2^2 - 2×2 + 2m - 1 = 0$
计算得：$4 - 4 + 2m - 1 = 0$ → $2m = 1$ → $m = \frac{1}{2}$。
(2) 当$m=-1$时，原方程为$x^2 - 2x + 2×(-1) - 1 = x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得：$(x - 3)(x + 1) = 0$，
所以$x - 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(3) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），有实数根的条件是判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=2m-1$，因此$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(2m - 1) = 4 - 8m + 4 = 8 - 8m ≥ 0$，
解不等式得：$m ≤ 1$，
又因为$m$为正整数，所以$m=1$，
此时原方程为$x^2 - 2x + 2×1 - 1 = x^2 - 2x + 1 = 0$，
配方得$(x - 1)^2 = 0$，
解得$x_1=x_2=1$。
【答案】
(1) $m=\frac{1}{2}$；(2) $x_1=3$，$x_2=-1$；(3) $m=1$，方程的根为$x_1=x_2=1$。
【知识点】
一元二次方程的根的定义、一元二次方程的解法、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，分别考察了根的定义、一元二次方程的求解方法以及根的判别式的应用，知识点覆盖全面，难度适中，适合巩固一元二次方程的相关基础。
【难度系数】
0.7
13. (10 分)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4x-2m+5=0$ 有两个实数根.
(1)求实数 $m$ 的取值范围.
(2)若 $x_1$、$x_2$ 是该方程的两个根,且满足 $x_1^2+x_2^2=m^2+1$,求 $m$ 的值.
(1)求实数 $m$ 的取值范围.
(2)若 $x_1$、$x_2$ 是该方程的两个根,且满足 $x_1^2+x_2^2=m^2+1$,求 $m$ 的值.
答案
13. (1)由题意可知,$\Delta=16-4(5-2m)≥0$,解得 $m≥\dfrac{1}{2}$.
(2)$\because x_1$、$x_2$ 是该方程的两个根,$\therefore x_1+x_2=4$,$x_1x_2=5-2m$,$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2(5-2m)=m^2+1$,解得 $m=5$ 或 $m=-1$.由(1)可知,$m≥\dfrac{1}{2}$,$\therefore m=5$.
(2)$\because x_1$、$x_2$ 是该方程的两个根,$\therefore x_1+x_2=4$,$x_1x_2=5-2m$,$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2(5-2m)=m^2+1$,解得 $m=5$ 或 $m=-1$.由(1)可知,$m≥\dfrac{1}{2}$,$\therefore m=5$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式Δ≥0求解m的取值范围；第(2)问借助韦达定理（根与系数的关系）得到两根之和与两根之积，将x₁²+x₂²转化为含两根和、积的形式，代入已知等式求m，最后结合第(1)问的m范围确定最终值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），有两个实数根时判别式Δ=b²-4ac≥0。本题中方程为x²-4x-2m+5=0，其中a=1，b=-4，c=-2m+5，计算判别式：
Δ=(-4)² -4×1×(-2m+5)=16 +8m -20=8m-4
令Δ≥0，即8m-4≥0，解得m≥1/2。
(2) 根据韦达定理，方程的两根x₁、x₂满足：
x₁+x₂=-b/a=4，x₁x₂=c/a=-2m+5
利用完全平方公式变形得：
x₁²+x₂²=(x₁+x₂)² -2x₁x₂=4² -2×(-2m+5)=16 +4m -10=4m+6
已知x₁²+x₂²=m²+1，代入得：
4m+6=m²+1，整理为m²-4m-5=0
因式分解得(m-5)(m+1)=0，解得m=5或m=-1
结合第(1)问中m≥1/2，舍去m=-1，故m=5。
【答案】
(1) m≥1/2；(2) m=5
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用，解题关键是准确计算判别式、灵活运用韦达定理转化代数式，需注意求解参数后要结合取值范围取舍，避免增根，是易出错的中档题。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式Δ≥0求解m的取值范围；第(2)问借助韦达定理（根与系数的关系）得到两根之和与两根之积，将x₁²+x₂²转化为含两根和、积的形式，代入已知等式求m，最后结合第(1)问的m范围确定最终值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），有两个实数根时判别式Δ=b²-4ac≥0。本题中方程为x²-4x-2m+5=0，其中a=1，b=-4，c=-2m+5，计算判别式：
Δ=(-4)² -4×1×(-2m+5)=16 +8m -20=8m-4
令Δ≥0，即8m-4≥0，解得m≥1/2。
(2) 根据韦达定理，方程的两根x₁、x₂满足：
x₁+x₂=-b/a=4，x₁x₂=c/a=-2m+5
利用完全平方公式变形得：
x₁²+x₂²=(x₁+x₂)² -2x₁x₂=4² -2×(-2m+5)=16 +4m -10=4m+6
已知x₁²+x₂²=m²+1，代入得：
4m+6=m²+1，整理为m²-4m-5=0
因式分解得(m-5)(m+1)=0，解得m=5或m=-1
结合第(1)问中m≥1/2，舍去m=-1，故m=5。
【答案】
(1) m≥1/2；(2) m=5
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用，解题关键是准确计算判别式、灵活运用韦达定理转化代数式，需注意求解参数后要结合取值范围取舍，避免增根，是易出错的中档题。
【难度系数】
0.6
14. (10 分)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)若$△ ABC$ 的两边 $AB$、$AC$ 的长是方程的两个实数根,第三边 $BC$ 的长为 4,当$△ ABC$ 是等腰三角形时,求 $k$ 的值.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)若$△ ABC$ 的两边 $AB$、$AC$ 的长是方程的两个实数根,第三边 $BC$ 的长为 4,当$△ ABC$ 是等腰三角形时,求 $k$ 的值.
答案
14. (1)证明:$\because \Delta=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+k)=1＞0$,$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2)$\because x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,$\therefore (x-k)[x-(k+1)]=0$,$\therefore x_1=k$,$x_2=k+1$,即 $AB$、$AC$ 的长分别为 $k$、$k+1$.当 $AB=BC$,即 $k=4$ 时,三边长为 $4$、$4$、$5$,$\because 4-4＜5＜4+4$,$\therefore$ 能构成三角形,符合题意;当 $AC=BC$,即 $k+1=4$,$k=3$ 时,三边长为 $3$、$4$、$4$,$\because 4-3＜4＜4+3$,$\therefore$ 能构成三角形,符合题意.综上所述,$k$ 的值为 $3$ 或 $4$.
(2)$\because x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,$\therefore (x-k)[x-(k+1)]=0$,$\therefore x_1=k$,$x_2=k+1$,即 $AB$、$AC$ 的长分别为 $k$、$k+1$.当 $AB=BC$,即 $k=4$ 时,三边长为 $4$、$4$、$5$,$\because 4-4＜5＜4+4$,$\therefore$ 能构成三角形,符合题意;当 $AC=BC$,即 $k+1=4$,$k=3$ 时,三边长为 $3$、$4$、$4$,$\because 4-3＜4＜4+3$,$\therefore$ 能构成三角形,符合题意.综上所述,$k$ 的值为 $3$ 或 $4$.
解析
【分析】
第(1)问要证明方程有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式，计算判别式Δ的值，若Δ＞0则结论成立；第(2)问先通过因式分解法解一元二次方程，得到方程的两个根，即AB、AC的长度，再结合等腰三角形的性质分两种情况讨论（AB=BC或AC=BC），求出k值后，需验证三边是否满足三角形三边关系，排除不能构成三角形的情况，最终确定k的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，其中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2+k$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2+k) = 4k^2 +4k +1 -4k^2 -4k =1＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
(2) 解方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，因式分解得：
$(x -k)[x -(k+1)] =0$，
解得$x_1=k$，$x_2=k+1$，即AB、AC的长分别为$k$和$k+1$。
因为$△ ABC$是等腰三角形，第三边$BC=4$，分两种情况讨论：
① 当$AB=BC=4$时，$k=4$，此时三边长为$4$、$k+1=5$、$4$，即三边为$4$、$4$、$5$，
验证：$4+4＞5$，$4+5＞4$，$4-4＜5$，满足三角形三边关系，符合题意；
② 当$AC=BC=4$时，$k+1=4$，解得$k=3$，此时三边长为$k=3$、$4$、$4$，即三边为$3$、$4$、$4$，
验证：$3+4＞4$，$4+4＞3$，$4-3＜4$，满足三角形三边关系，符合题意；
综上，$k$的值为$3$或$4$。
【答案】
3或4
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程与等腰三角形的综合应用，考查了根的判别式、解方程、等腰三角形的分类讨论及三角形三边关系，解题关键是分类讨论后需验证三边是否能构成三角形，避免漏解或错解，属于常规中档题型。
【难度系数】
0.6
第(1)问要证明方程有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式，计算判别式Δ的值，若Δ＞0则结论成立；第(2)问先通过因式分解法解一元二次方程，得到方程的两个根，即AB、AC的长度，再结合等腰三角形的性质分两种情况讨论（AB=BC或AC=BC），求出k值后，需验证三边是否满足三角形三边关系，排除不能构成三角形的情况，最终确定k的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，其中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2+k$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2+k) = 4k^2 +4k +1 -4k^2 -4k =1＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
(2) 解方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，因式分解得：
$(x -k)[x -(k+1)] =0$，
解得$x_1=k$，$x_2=k+1$，即AB、AC的长分别为$k$和$k+1$。
因为$△ ABC$是等腰三角形，第三边$BC=4$，分两种情况讨论：
① 当$AB=BC=4$时，$k=4$，此时三边长为$4$、$k+1=5$、$4$，即三边为$4$、$4$、$5$，
验证：$4+4＞5$，$4+5＞4$，$4-4＜5$，满足三角形三边关系，符合题意；
② 当$AC=BC=4$时，$k+1=4$，解得$k=3$，此时三边长为$k=3$、$4$、$4$，即三边为$3$、$4$、$4$，
验证：$3+4＞4$，$4+4＞3$，$4-3＜4$，满足三角形三边关系，符合题意；
综上，$k$的值为$3$或$4$。
【答案】
3或4
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程与等腰三角形的综合应用，考查了根的判别式、解方程、等腰三角形的分类讨论及三角形三边关系，解题关键是分类讨论后需验证三边是否能构成三角形，避免漏解或错解，属于常规中档题型。
【难度系数】
0.6
