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1. (教材习题变式)【新情境】(2025·黑龙江)随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由1月份的8 000辆增加到3月份的12 000辆,设该汽车1月份至3月份销售量平均每月增长率为$x$,则可列方程为（
A.$8\ 000(1+2x)=1\ 200$
B.$8\ 000(1+x)^{2}=12\ 000$
C.$8\ 000+8\ 000(1+x)+8\ 000(1+x)^{2}=12\ 000$
D.$8\ 000× 2(1+x)=12\ 000$
B
）A.$8\ 000(1+2x)=1\ 200$
B.$8\ 000(1+x)^{2}=12\ 000$
C.$8\ 000+8\ 000(1+x)+8\ 000(1+x)^{2}=12\ 000$
D.$8\ 000× 2(1+x)=12\ 000$
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道关于增长率的一元二次方程应用题，解题思路为：首先判断题目属于连续增长的增长率问题，明确从1月到3月经过了2次增长；再回忆平均增长率的公式：若初始量为$a$，平均增长率为$x$，经过$n$次增长后的量为$a(1+x)^n$；最后代入1月销量（初始量$a=8000$）、增长次数$n=2$、3月销量（最终量12000），列出方程并对比选项排除错误答案。
【解析】
解：设该汽车1月份至3月份销售量平均每月增长率为$x$，
1月份销售量为8000辆，
则2月份销售量为$8000(1+x)$辆，
3月份销售量为2月份销售量增长$x$后的结果，即$8000(1+x)(1+x)=8000(1+x)^2$辆，
已知3月份销售量为12000辆，因此可列方程：
$8000(1+x)^2 = 12000$，
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】
本题结合“低碳生活，绿色出行”的新情境，考查一元二次方程在增长率问题中的基础应用，是教材习题的典型变式。解题关键是准确确定增长次数，区分连续增长与累计增长的数量关系，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
这是一道关于增长率的一元二次方程应用题，解题思路为：首先判断题目属于连续增长的增长率问题，明确从1月到3月经过了2次增长；再回忆平均增长率的公式：若初始量为$a$，平均增长率为$x$，经过$n$次增长后的量为$a(1+x)^n$；最后代入1月销量（初始量$a=8000$）、增长次数$n=2$、3月销量（最终量12000），列出方程并对比选项排除错误答案。
【解析】
解：设该汽车1月份至3月份销售量平均每月增长率为$x$，
1月份销售量为8000辆，
则2月份销售量为$8000(1+x)$辆，
3月份销售量为2月份销售量增长$x$后的结果，即$8000(1+x)(1+x)=8000(1+x)^2$辆，
已知3月份销售量为12000辆，因此可列方程：
$8000(1+x)^2 = 12000$，
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】
本题结合“低碳生活，绿色出行”的新情境，考查一元二次方程在增长率问题中的基础应用，是教材习题的典型变式。解题关键是准确确定增长次数，区分连续增长与累计增长的数量关系，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 【新情境】(2024·通辽)如图,小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长 5.5 m)的矩形鸭舍,其面积为 $15\ \mathrm{m}^2$,在鸭舍侧面中间位置留一个 1 m 宽的门(由其他材料组成),则 $BC$ 的长为 （
A.5 m 或 6 m
B.2.5 m 或 3 m
C.5 m
D.3 m
C
）A.5 m 或 6 m
B.2.5 m 或 3 m
C.5 m
D.3 m
答案
2. C 解析:设 BC 的长为 x m,则 AB 的长为$\frac{1}{2}(10+1-x)$m.根据题意,得$\frac{1}{2}(10+1-x)x=15$,解得$x=5$或$x=6＞5.5$(不符合题意,舍去),即 BC 的长为 5 m.
解析
【分析】
本题为结合实际情境的一元二次方程应用题，需先理清鸭舍各边与铁丝网长度的关系：鸭舍一边靠墙，铁丝网总长10m，侧面留1m宽的门，因此垂直于墙的两条边长度相等。设平行于墙的边BC为x m，则两条垂直边的总长度为（10 +1 -x）m（门的1m需计入，用于构成完整的边），据此可表示出垂直边的长度，再根据矩形面积公式列方程，最后结合墙长限制舍去不符合实际的解。
【解析】
设BC的长为$ x \ \mathrm{m} $，则垂直于墙的边AB的长为$ \frac{1}{2}(10 + 1 - x) = \frac{11 - x}{2}\ \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式，面积为长×宽，可列方程：
$\frac{1}{2}(11 - x) · x = 15$
整理方程得：
$x^2 - 11x + 30 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 6) = 0$
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 6 $。
由于墙长为$ 5.5 \ \mathrm{m} $，BC是平行于墙的边，其长度不能超过墙长，因此$ x = 6 $不符合题意，舍去。
故BC的长为$ 5 \ \mathrm{m} $。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是理清边长与铁丝网长度的关系，需注意实际问题中边长的取值限制（如本题的墙长），避免解不符合实际情况，是中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
本题为结合实际情境的一元二次方程应用题，需先理清鸭舍各边与铁丝网长度的关系：鸭舍一边靠墙，铁丝网总长10m，侧面留1m宽的门，因此垂直于墙的两条边长度相等。设平行于墙的边BC为x m，则两条垂直边的总长度为（10 +1 -x）m（门的1m需计入，用于构成完整的边），据此可表示出垂直边的长度，再根据矩形面积公式列方程，最后结合墙长限制舍去不符合实际的解。
【解析】
设BC的长为$ x \ \mathrm{m} $，则垂直于墙的边AB的长为$ \frac{1}{2}(10 + 1 - x) = \frac{11 - x}{2}\ \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式，面积为长×宽，可列方程：
$\frac{1}{2}(11 - x) · x = 15$
整理方程得：
$x^2 - 11x + 30 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 6) = 0$
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 6 $。
由于墙长为$ 5.5 \ \mathrm{m} $，BC是平行于墙的边，其长度不能超过墙长，因此$ x = 6 $不符合题意，舍去。
故BC的长为$ 5 \ \mathrm{m} $。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是理清边长与铁丝网长度的关系，需注意实际问题中边长的取值限制（如本题的墙长），避免解不符合实际情况，是中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
3. 在一次宴会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，则参加该宴会的人数为
11
。答案
3. 11
解析:设参加酒会的人数为 x. 根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=55$,整理,得$x^2-x-110=0$,解得$x_1=11$,$x_2=-10$(不符合题意,舍去),
∴参加酒会的人数为 11.
解析:设参加酒会的人数为 x. 根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=55$,整理,得$x^2-x-110=0$,解得$x_1=11$,$x_2=-10$(不符合题意,舍去),
∴参加酒会的人数为 11.
解析
【分析】这是一元二次方程应用中的典型碰杯问题，核心是理解“每两人只碰一次杯”意味着总碰杯次数是从x人中选2人的组合数，需避免重复计数，因此总次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，据此建立方程求解，同时注意人数不能为负数，需舍去不合理解。
【解析】设参加宴会的人数为$x$人。根据题意，每两人碰一次杯，总碰杯次数为55次，可得等量关系：$\frac{1}{2}x(x-1)=55$。整理方程：两边同乘2得$x^2 - x = 110$，移项后为$x^2 - x - 110 = 0$。用因式分解法解方程：$(x-11)(x+10)=0$，解得$x_1=11$，$x_2=-10$。因为人数不能为负数，舍去$x=-10$，因此参加宴会的人数为11人。
【答案】11
【知识点】一元二次方程的应用，单循环问题
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用，关键是准确理解碰杯问题的计数逻辑，避免重复计算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设参加宴会的人数为$x$人。根据题意，每两人碰一次杯，总碰杯次数为55次，可得等量关系：$\frac{1}{2}x(x-1)=55$。整理方程：两边同乘2得$x^2 - x = 110$，移项后为$x^2 - x - 110 = 0$。用因式分解法解方程：$(x-11)(x+10)=0$，解得$x_1=11$，$x_2=-10$。因为人数不能为负数，舍去$x=-10$，因此参加宴会的人数为11人。
【答案】11
【知识点】一元二次方程的应用，单循环问题
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用，关键是准确理解碰杯问题的计数逻辑，避免重复计算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
4. 刘师傅开了一家商店,今年2月份盈利6 400元.4月份的盈利达到8 100元,且从2月份到4月份每个月盈利的增长率相同.
(1)求每个月盈利的增长率.
(2)按照这个增长率,请你估计这家商店5月份盈利多少元.
(1)求每个月盈利的增长率.
(2)按照这个增长率,请你估计这家商店5月份盈利多少元.
答案
4. (1)设每个月盈利的增长率为 x. 根据题意,得$6\ 400(1+x)^2=8\ 100$,解得$x_1=0.125=12.5\%$,$x_2=-2.125$(不符合题意,舍去).答:每个月盈利的增长率为 12.5%.
(2)$8\ 100×(1+12.5\%)=9\ 112.5$(元).答:按照这个增长率,估计这家商店5月份盈利9 112.5元.
(2)$8\ 100×(1+12.5\%)=9\ 112.5$(元).答:按照这个增长率,估计这家商店5月份盈利9 112.5元.
解析
【分析】
本题是增长率类一元二次方程的应用问题，从2月份到4月份盈利经过了2次增长，设每月盈利的增长率为$x$，根据“增长后的量=初始量×(1+增长率)^增长次数”的关系，结合2月和4月的盈利额可列方程求解；第二问利用求得的增长率，用4月盈利额乘以$(1+增长率)$即可得到5月盈利额，注意舍去不符合实际意义的负增长率。
【解析】
(1)设每个月盈利的增长率为$x$，根据题意，得：
$6400(1+x)^2 = 8100$
两边同时除以6400，得：$(1+x)^2 = \frac{81}{64}$
开平方得：$1+x = \pm\frac{9}{8}$
因为增长率为正，舍去负根$1+x = -\frac{9}{8}$，取$1+x = \frac{9}{8}$
解得：$x = \frac{9}{8} - 1 = 0.125 = 12.5\%$
答：每个月盈利的增长率为12.5%。
(2)5月份的盈利为：
$8100×(1+12.5\%) = 8100×1.125 = 9112.5$（元）
答：按照这个增长率，这家商店5月份盈利9112.5元。
【答案】
(1)每个月盈利的增长率为12.5%；(2)这家商店5月份盈利9112.5元。
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率实际应用题，考查一元二次方程在生活中的应用，解题核心是明确增长次数，正确列方程并舍去不符合实际的解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是增长率类一元二次方程的应用问题，从2月份到4月份盈利经过了2次增长，设每月盈利的增长率为$x$，根据“增长后的量=初始量×(1+增长率)^增长次数”的关系，结合2月和4月的盈利额可列方程求解；第二问利用求得的增长率，用4月盈利额乘以$(1+增长率)$即可得到5月盈利额，注意舍去不符合实际意义的负增长率。
【解析】
(1)设每个月盈利的增长率为$x$，根据题意，得：
$6400(1+x)^2 = 8100$
两边同时除以6400，得：$(1+x)^2 = \frac{81}{64}$
开平方得：$1+x = \pm\frac{9}{8}$
因为增长率为正，舍去负根$1+x = -\frac{9}{8}$，取$1+x = \frac{9}{8}$
解得：$x = \frac{9}{8} - 1 = 0.125 = 12.5\%$
答：每个月盈利的增长率为12.5%。
(2)5月份的盈利为：
$8100×(1+12.5\%) = 8100×1.125 = 9112.5$（元）
答：按照这个增长率，这家商店5月份盈利9112.5元。
【答案】
(1)每个月盈利的增长率为12.5%；(2)这家商店5月份盈利9112.5元。
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率实际应用题，考查一元二次方程在生活中的应用，解题核心是明确增长次数，正确列方程并舍去不符合实际的解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
5. 综合与实践.
主题:利用一张长 80 cm、宽 40 cm 的长方形硬纸板制作一个有盖的长方体收纳盒.
方案设计:如图1,把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,折成一个如图2所示的有盖的长方体收纳盒,$EF$ 和 $HG$ 两边恰好重合且无重叠部分.
任务:
(1)若收纳盒的高为 $x\ \mathrm{cm}$,用含 $x$ 的代数式表示收纳盒的底面 $ABCD$ 的边 $BC$、$AB$ 的长.
(2)若收纳盒的底面积为 $600\ \mathrm{cm}^2$,求该收纳盒的高.
主题:利用一张长 80 cm、宽 40 cm 的长方形硬纸板制作一个有盖的长方体收纳盒.
方案设计:如图1,把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,折成一个如图2所示的有盖的长方体收纳盒,$EF$ 和 $HG$ 两边恰好重合且无重叠部分.
任务:
(1)若收纳盒的高为 $x\ \mathrm{cm}$,用含 $x$ 的代数式表示收纳盒的底面 $ABCD$ 的边 $BC$、$AB$ 的长.
(2)若收纳盒的底面积为 $600\ \mathrm{cm}^2$,求该收纳盒的高.
答案
5. (1)$BC=(40-2x)\mathrm{cm}$,$AB=\frac{80-2x}{2}=(40-x)\mathrm{cm}$.
(2)根据题意,得$(40-x)(40-2x)=600$,整理,得$x^2-60x+500=0$,解得$x_1=10$,$x_2=50$(不符合题意,舍去).答:该收纳盒的高为 10 cm.
(2)根据题意,得$(40-x)(40-2x)=600$,整理,得$x^2-60x+500=0$,解得$x_1=10$,$x_2=50$(不符合题意,舍去).答:该收纳盒的高为 10 cm.
解析
【分析】
首先明确收纳盒的高为$x\ \mathrm{cm}$，剪去的小长方形边长等于收纳盒的高$x$。观察硬纸板的展开图：竖直方向（原宽$40\ \mathrm{cm}$）左右各剪去1个边长为$x$的小长方形，可推导底面$BC$的长度；水平方向（原长$80\ \mathrm{cm}$）左右剪去$x$后，剩余部分分为两部分作为底面的长$AB$，由此得到$AB$的表达式。第二问利用底面积公式列方程，求解后需舍去不符合实际的解。
【解析】
(1) 已知收纳盒的高为$x\ \mathrm{cm}$，剪去的小长方形边长为$x\ \mathrm{cm}$。
观察图1，原硬纸板宽为$40\ \mathrm{cm}$，竖直方向左右各剪去1个边长为$x$的小长方形，因此底面$BC$的长为：$ BC = 40 - 2x\ (\mathrm{cm}) $；
原硬纸板长为$80\ \mathrm{cm}$，水平方向左右各剪去1个边长为$x$的小长方形，剩余长度为$80 - 2x$，因折成有盖长方体，剩余部分分为两部分作为底面的长$AB$，因此：$ AB = \frac{80 - 2x}{2} = 40 - x\ (\mathrm{cm}) $。
(2) 由底面积为$600\ \mathrm{cm}^2$，根据底面积公式$ S = AB × BC $，代入得：
$ (40 - x)(40 - 2x) = 600 $
展开并整理方程：
$ 2x^2 - 120x + 1000 = 0 $，两边同除以2得$ x^2 - 60x + 500 = 0 $
因式分解得$ (x - 10)(x - 50) = 0 $，解得$ x_1 = 10 $，$ x_2 = 50 $。
验证合理性：当$ x = 50 $时，$ BC = 40 - 2×50 = -60 $，长度为负，不符合实际，舍去。
因此，该收纳盒的高为$10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $ BC=(40-2x)\ \mathrm{cm} $，$ AB=(40-x)\ \mathrm{cm} $；(2) $ 10\ \mathrm{cm} $
【知识点】
长方体展开图、一元二次方程应用
【点评】
本题结合长方体展开图的特点，考查一元二次方程在实际问题中的应用，关键是根据展开图正确推导底面边长，求解后需检验解的实际意义，属于中等难度的实际应用问题。
【难度系数】
0.5
首先明确收纳盒的高为$x\ \mathrm{cm}$，剪去的小长方形边长等于收纳盒的高$x$。观察硬纸板的展开图：竖直方向（原宽$40\ \mathrm{cm}$）左右各剪去1个边长为$x$的小长方形，可推导底面$BC$的长度；水平方向（原长$80\ \mathrm{cm}$）左右剪去$x$后，剩余部分分为两部分作为底面的长$AB$，由此得到$AB$的表达式。第二问利用底面积公式列方程，求解后需舍去不符合实际的解。
【解析】
(1) 已知收纳盒的高为$x\ \mathrm{cm}$，剪去的小长方形边长为$x\ \mathrm{cm}$。
观察图1，原硬纸板宽为$40\ \mathrm{cm}$，竖直方向左右各剪去1个边长为$x$的小长方形，因此底面$BC$的长为：$ BC = 40 - 2x\ (\mathrm{cm}) $；
原硬纸板长为$80\ \mathrm{cm}$，水平方向左右各剪去1个边长为$x$的小长方形，剩余长度为$80 - 2x$，因折成有盖长方体，剩余部分分为两部分作为底面的长$AB$，因此：$ AB = \frac{80 - 2x}{2} = 40 - x\ (\mathrm{cm}) $。
(2) 由底面积为$600\ \mathrm{cm}^2$，根据底面积公式$ S = AB × BC $，代入得：
$ (40 - x)(40 - 2x) = 600 $
展开并整理方程：
$ 2x^2 - 120x + 1000 = 0 $，两边同除以2得$ x^2 - 60x + 500 = 0 $
因式分解得$ (x - 10)(x - 50) = 0 $，解得$ x_1 = 10 $，$ x_2 = 50 $。
验证合理性：当$ x = 50 $时，$ BC = 40 - 2×50 = -60 $，长度为负，不符合实际，舍去。
因此，该收纳盒的高为$10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $ BC=(40-2x)\ \mathrm{cm} $，$ AB=(40-x)\ \mathrm{cm} $；(2) $ 10\ \mathrm{cm} $
【知识点】
长方体展开图、一元二次方程应用
【点评】
本题结合长方体展开图的特点，考查一元二次方程在实际问题中的应用，关键是根据展开图正确推导底面边长，求解后需检验解的实际意义，属于中等难度的实际应用问题。
【难度系数】
0.5
