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10.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD。若四边形BEDF是菱形，且$EF=AE+FC$，则边BC的长为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{3}$
D.$\frac{9}{2}\sqrt{3}$
B
）。A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{3}$
D.$\frac{9}{2}\sqrt{3}$
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先结合矩形和菱形的性质推导边的等量关系：首先矩形ABCD中AD//BC、AD=BC，∠A=90°；菱形BEDF的四条边相等，对角线互相垂直平分，可得ED=BF，EO=OF，BD⊥EF，由此可推出AE=FC。结合题中EF=AE+FC，可得EF=2AE，进而得到AE=EO。根据角平分线的判定可知BE平分∠ABD，即∠ABE=∠EBD。再结合菱形邻边相等得BE=ED，推出∠EBD=∠EDB，又AD//BC得∠EDB=∠DBC，因此∠ABE=∠EBD=∠DBC，三个角和为90°，故每个角为30°。最后在Rt△ABE中利用含30°角的直角三角形的性质求出AE、BE的长，进而求出AD即BC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，AD//BC，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BE=ED，BF=ED，BD⊥EF，$EO=OF=\frac{1}{2}EF$，
∴$AD-ED=BC-BF$，即$AE=FC$，
∵$EF=AE+FC$，
∴$EF=2AE$，即$AE=\frac{1}{2}EF$，
∴$AE=EO$，
又
∵$AE⊥AB$，$EO⊥BD$，
∴BE平分∠ABD，即$∠ABE=∠EBD$，
∵$BE=ED$，
∴$∠EBD=∠EDB$，
∵$AD//BC$，
∴$∠EDB=∠DBC$，
∴$∠ABE=∠EBD=∠DBC$，
∵$∠ABC=90°$，
∴$∠ABE=\frac{1}{3}×90°=30°$，
在Rt△ABE中，$AB=3$，$∠ABE=30°$，
∴$tan30°=\frac{AE}{AB}$，即$AE=AB·tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
由直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得$BE=2AE=2\sqrt{3}$，
∵$BE=ED$，
∴$ED=2\sqrt{3}$，
∴$BC=AD=AE+ED=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是四边形综合题，解题的突破口是结合已知线段关系推导角的三等分关系，再结合特殊直角三角形的性质计算边长，对几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先结合矩形和菱形的性质推导边的等量关系：首先矩形ABCD中AD//BC、AD=BC，∠A=90°；菱形BEDF的四条边相等，对角线互相垂直平分，可得ED=BF，EO=OF，BD⊥EF，由此可推出AE=FC。结合题中EF=AE+FC，可得EF=2AE，进而得到AE=EO。根据角平分线的判定可知BE平分∠ABD，即∠ABE=∠EBD。再结合菱形邻边相等得BE=ED，推出∠EBD=∠EDB，又AD//BC得∠EDB=∠DBC，因此∠ABE=∠EBD=∠DBC，三个角和为90°，故每个角为30°。最后在Rt△ABE中利用含30°角的直角三角形的性质求出AE、BE的长，进而求出AD即BC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，AD//BC，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BE=ED，BF=ED，BD⊥EF，$EO=OF=\frac{1}{2}EF$，
∴$AD-ED=BC-BF$，即$AE=FC$，
∵$EF=AE+FC$，
∴$EF=2AE$，即$AE=\frac{1}{2}EF$，
∴$AE=EO$，
又
∵$AE⊥AB$，$EO⊥BD$，
∴BE平分∠ABD，即$∠ABE=∠EBD$，
∵$BE=ED$，
∴$∠EBD=∠EDB$，
∵$AD//BC$，
∴$∠EDB=∠DBC$，
∴$∠ABE=∠EBD=∠DBC$，
∵$∠ABC=90°$，
∴$∠ABE=\frac{1}{3}×90°=30°$，
在Rt△ABE中，$AB=3$，$∠ABE=30°$，
∴$tan30°=\frac{AE}{AB}$，即$AE=AB·tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
由直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得$BE=2AE=2\sqrt{3}$，
∵$BE=ED$，
∴$ED=2\sqrt{3}$，
∴$BC=AD=AE+ED=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是四边形综合题，解题的突破口是结合已知线段关系推导角的三等分关系，再结合特殊直角三角形的性质计算边长，对几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. 使$\sqrt{x-2}$有意义的$x$的取值范围是
$x≥2$
。答案
11.$x≥2$
解析
【分析】要确定使二次根式有意义的x的取值范围，首先回忆二次根式的核心性质：二次根式的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义。本题中$\sqrt{x-2}$的被开方数是$x-2$，因此只需令$x-2$大于等于0，解这个一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可列不等式：
$x-2≥0$
移项解得：
$x≥2$
【答案】$x≥2$
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】本题是基础概念题，主要考查二次根式的相关性质，牢记被开方数非负的要求即可快速求解，是常考的基础题型。
【难度系数】0.9
【解析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可列不等式：
$x-2≥0$
移项解得：
$x≥2$
【答案】$x≥2$
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】本题是基础概念题，主要考查二次根式的相关性质，牢记被开方数非负的要求即可快速求解，是常考的基础题型。
【难度系数】0.9
12.因式分解：$-a^3 + 2a^2 - a = \_\_\_\_\_\_$
答案
12.$-a(a-1)^2$
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察是否有公因式可提，本题首项系数为负，优先提取负公因式，第二步再看剩余多项式是否符合乘法公式的特征继续分解，最后检查是否分解彻底。观察原式各项均含公因式$-a$，提取后剩余的多项式符合完全平方公式的结构，可继续分解。
【解析】
解：$-a^3 + 2a^2 - a$
$=-a(a^2 - 2a + 1)$（提取公因式$-a$）
$=-a(a - 1)^2$（利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解）
【答案】
$-a(a-1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意优先提取公因式，若首项为负需先提取负号，分解完成后要确认每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.75
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察是否有公因式可提，本题首项系数为负，优先提取负公因式，第二步再看剩余多项式是否符合乘法公式的特征继续分解，最后检查是否分解彻底。观察原式各项均含公因式$-a$，提取后剩余的多项式符合完全平方公式的结构，可继续分解。
【解析】
解：$-a^3 + 2a^2 - a$
$=-a(a^2 - 2a + 1)$（提取公因式$-a$）
$=-a(a - 1)^2$（利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解）
【答案】
$-a(a-1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意优先提取公因式，若首项为负需先提取负号，分解完成后要确认每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.75
13.某学校计划开设A,B,C,D四门课程供全体学生选修,规定每人必须并且只能选修其中一门,为了了解各门课程的选修人数,现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查,并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图.已知该校全体学生人数为1 200名,由此可以估计选修C课程的学生有
240
人.答案
13.240
解析
【分析】
这是一道统计应用类题目，解题思路遵循“用样本估计总体”的逻辑：第一步先从条形统计图中提取各课程的选修人数，计算出抽取的样本总人数；第二步计算样本中选修C课程的人数占样本总人数的比例；第三步用全校总人数乘该比例，即可估计出全校选修C课程的总人数。
【解析】
首先计算抽取的样本总人数：
$20+12+10+8=50$（人）
再计算样本中选修C课程的人数占比：
$\frac{10}{50}=0.2$
最后估计全校选修C课程的人数：
$1200×0.2=240$（人）
【答案】
240
【知识点】
条形统计图、用样本估计总体、频率计算
【点评】
本题结合校园课程选修的实际场景考查统计知识的基础应用，解题核心是准确读取条形统计图中的数据，掌握“样本占比近似等于总体占比”的统计思想，难度较低，属于统计模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道统计应用类题目，解题思路遵循“用样本估计总体”的逻辑：第一步先从条形统计图中提取各课程的选修人数，计算出抽取的样本总人数；第二步计算样本中选修C课程的人数占样本总人数的比例；第三步用全校总人数乘该比例，即可估计出全校选修C课程的总人数。
【解析】
首先计算抽取的样本总人数：
$20+12+10+8=50$（人）
再计算样本中选修C课程的人数占比：
$\frac{10}{50}=0.2$
最后估计全校选修C课程的人数：
$1200×0.2=240$（人）
【答案】
240
【知识点】
条形统计图、用样本估计总体、频率计算
【点评】
本题结合校园课程选修的实际场景考查统计知识的基础应用，解题核心是准确读取条形统计图中的数据，掌握“样本占比近似等于总体占比”的统计思想，难度较低，属于统计模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
14.如图,在A,B,C(AB＞BC)三地之间的电缆有一处断点,断点出现在A,B两地之间的可能性为$P_1$,断点出现在B,C两地之间的可能性为$P_2$,则$P_1$
＞
$P_2$.(填“＞”“＜”或“=”)答案
14.＞
解析
【分析】
这是几何概率相关的题目，解题思路如下：首先明确断点在整段电缆的任意位置出现是等可能的，这类问题中断点出现在某段的可能性大小和该段的长度成正比，线段越长，断点出现在该段的概率越大。结合题目给出的AB＞BC的条件，只需对比两段长度就能判断两个概率的大小关系。
【解析】
由于断点在AC段电缆上每个位置出现的可能性相等，属于几何概率问题，断点出现在某段的概率等于该段长度除以总长度AC。
因此可得：$P_1=\frac{AB}{AC}$，$P_2=\frac{BC}{AC}$，
已知$AB＞BC$，两个分数的分母AC相同，分子越大分数值越大，所以$\frac{AB}{AC}＞\frac{BC}{AC}$，即$P_1＞P_2$。
【答案】
＞
【知识点】
几何概率，概率大小比较
【点评】
本题考查基础的几何概率应用，只要理解等可能条件下，线段类几何概率和对应线段长度成正比的规律，结合已知的线段长度关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
这是几何概率相关的题目，解题思路如下：首先明确断点在整段电缆的任意位置出现是等可能的，这类问题中断点出现在某段的可能性大小和该段的长度成正比，线段越长，断点出现在该段的概率越大。结合题目给出的AB＞BC的条件，只需对比两段长度就能判断两个概率的大小关系。
【解析】
由于断点在AC段电缆上每个位置出现的可能性相等，属于几何概率问题，断点出现在某段的概率等于该段长度除以总长度AC。
因此可得：$P_1=\frac{AB}{AC}$，$P_2=\frac{BC}{AC}$，
已知$AB＞BC$，两个分数的分母AC相同，分子越大分数值越大，所以$\frac{AB}{AC}＞\frac{BC}{AC}$，即$P_1＞P_2$。
【答案】
＞
【知识点】
几何概率，概率大小比较
【点评】
本题考查基础的几何概率应用，只要理解等可能条件下，线段类几何概率和对应线段长度成正比的规律，结合已知的线段长度关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
15.如图，在$□ ABCD$中，BE平分$∠ ABC$，BC=6，DE=2，则$□ ABCD$的周长等于
20
.答案
15.20
解析
【分析】
解题时首先从平行四边形的性质入手，可得AD与BC平行且相等，AB与CD相等；再结合角平分线的定义，可得∠ABE=∠EBC，利用平行线的内错角相等推出∠AEB=∠EBC，等量代换后得到∠ABE=∠AEB，即可判定△ABE为等腰三角形，AB=AE；接着用AD的长度减去DE的长度求出AE，也就是AB的长度，最后代入平行四边形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6，AB=CD，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE（等角对等边），
又
∵AE=AD - DE=6 - 2=4，
∴AB=4，
∴□ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(4+6)=20。
【答案】
20
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是结合平行线性质和角平分线特征推导得到等腰三角形，进而求出平行四边形的边长，这类题型是四边形章节的常见考点。
【难度系数】
0.8
解题时首先从平行四边形的性质入手，可得AD与BC平行且相等，AB与CD相等；再结合角平分线的定义，可得∠ABE=∠EBC，利用平行线的内错角相等推出∠AEB=∠EBC，等量代换后得到∠ABE=∠AEB，即可判定△ABE为等腰三角形，AB=AE；接着用AD的长度减去DE的长度求出AE，也就是AB的长度，最后代入平行四边形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6，AB=CD，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE（等角对等边），
又
∵AE=AD - DE=6 - 2=4，
∴AB=4，
∴□ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(4+6)=20。
【答案】
20
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是结合平行线性质和角平分线特征推导得到等腰三角形，进而求出平行四边形的边长，这类题型是四边形章节的常见考点。
【难度系数】
0.8
16. 新考法 添加条件开放 在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是
$AB// CD$(答案不唯一)
.(只要填写一种情况)答案
16.$AB// CD$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先我们明确：平行四边形是典型的中心对称图形，要让四边形ABCD是中心对称图形，只需让它成为平行四边形即可。题目已知AB=CD，结合平行四边形的判定定理，我们可以选择添加“一组对边平行”的条件，即AB//CD，此时满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可满足要求；也可添加AD=BC等其他能判定平行四边形的条件，任选其一即可。
【解析】
解：
∵平行四边形属于中心对称图形，
∴要使四边形ABCD是中心对称图形，只需证明四边形ABCD为平行四边形即可。
已知AB=CD，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可添加条件$AB// CD$，此时AB平行且等于CD，四边形ABCD是平行四边形，属于中心对称图形，符合题意。
（也可添加AD=BC等其他合理条件）
【答案】
$AB// CD$(答案不唯一)
【知识点】
中心对称图形的概念；平行四边形的判定
【点评】
本题是条件开放型试题，答案不唯一，主要考查对中心对称图形的识别和平行四边形判定定理的灵活运用，解题时结合已知条件选取最熟悉的判定条件填写即可。
【难度系数】
0.8
首先我们明确：平行四边形是典型的中心对称图形，要让四边形ABCD是中心对称图形，只需让它成为平行四边形即可。题目已知AB=CD，结合平行四边形的判定定理，我们可以选择添加“一组对边平行”的条件，即AB//CD，此时满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可满足要求；也可添加AD=BC等其他能判定平行四边形的条件，任选其一即可。
【解析】
解：
∵平行四边形属于中心对称图形，
∴要使四边形ABCD是中心对称图形，只需证明四边形ABCD为平行四边形即可。
已知AB=CD，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可添加条件$AB// CD$，此时AB平行且等于CD，四边形ABCD是平行四边形，属于中心对称图形，符合题意。
（也可添加AD=BC等其他合理条件）
【答案】
$AB// CD$(答案不唯一)
【知识点】
中心对称图形的概念；平行四边形的判定
【点评】
本题是条件开放型试题，答案不唯一，主要考查对中心对称图形的识别和平行四边形判定定理的灵活运用，解题时结合已知条件选取最熟悉的判定条件填写即可。
【难度系数】
0.8
17. 若分式方程$\frac{x}{x-1}=3-\frac{mx}{1-x}$的解为正整数，则整数$m$的值为
$-1$
。答案
17.$-1$
解析
【分析】
解决本题首先需要掌握分式方程的求解步骤：第一步先将分式方程化为整式方程，注意去分母时要避免符号错误，同时要牢记分式方程分母不能为0，即解不能是增根；第二步用含参数m的代数式表示出方程的解x；第三步结合“解为正整数、m为整数、x≠1”三个条件，筛选出符合要求的m的值即可。
【解析】
原方程可变形为：$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（$x≠1$），去分母得：
$x=3(x-1)+mx$
展开并整理整式方程：
$x=3x-3+mx$
移项合并同类项：
$x-3x-mx=-3$
$-(2+m)x=-3$
即$(2+m)x=3$
系数化为1得：$x=\frac{3}{2+m}$
∵ 方程的解为正整数，且$x≠1$，m为整数
∴ $2+m$是3的正约数，3的正约数为1、3
① 当$2+m=1$时，$m=1-2=-1$，此时$x=\frac{3}{1}=3$，3是正整数且$3≠1$，符合要求；
② 当$2+m=3$时，$m=3-2=1$，此时$x=\frac{3}{3}=1$，$x=1$使原分式分母为0，是增根，舍去。
综上，整数m的值为-1。
【答案】
$-1$
【知识点】
1.分式方程的解法
2.分式方程的增根
3.一元一次方程的整数解
【点评】
本题是分式方程参数求解的典型题型，解题时要注意先去分母转化为整式方程求解，同时一定要检验所求的解是否为原分式方程的增根，再结合解的限制条件筛选参数，避免因忽略增根检验出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解决本题首先需要掌握分式方程的求解步骤：第一步先将分式方程化为整式方程，注意去分母时要避免符号错误，同时要牢记分式方程分母不能为0，即解不能是增根；第二步用含参数m的代数式表示出方程的解x；第三步结合“解为正整数、m为整数、x≠1”三个条件，筛选出符合要求的m的值即可。
【解析】
原方程可变形为：$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（$x≠1$），去分母得：
$x=3(x-1)+mx$
展开并整理整式方程：
$x=3x-3+mx$
移项合并同类项：
$x-3x-mx=-3$
$-(2+m)x=-3$
即$(2+m)x=3$
系数化为1得：$x=\frac{3}{2+m}$
∵ 方程的解为正整数，且$x≠1$，m为整数
∴ $2+m$是3的正约数，3的正约数为1、3
① 当$2+m=1$时，$m=1-2=-1$，此时$x=\frac{3}{1}=3$，3是正整数且$3≠1$，符合要求；
② 当$2+m=3$时，$m=3-2=1$，此时$x=\frac{3}{3}=1$，$x=1$使原分式分母为0，是增根，舍去。
综上，整数m的值为-1。
【答案】
$-1$
【知识点】
1.分式方程的解法
2.分式方程的增根
3.一元一次方程的整数解
【点评】
本题是分式方程参数求解的典型题型，解题时要注意先去分母转化为整式方程求解，同时一定要检验所求的解是否为原分式方程的增根，再结合解的限制条件筛选参数，避免因忽略增根检验出现多解错误。
【难度系数】
0.6
18. 如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F，C两点的距离为
1或5
。答案
18.1或5
[解析]在正方形ABCD中，$AB=AD$，$∠ ABC=∠ D=90°$，
由旋转的性质，得$AF=AE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$\begin{cases} AF=AE, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$，
$\therefore BF=DE=2$。$\because DE=2,EC=1$，
$\therefore$正方形的边长为$2+1=3$。
分两种情况讨论，如图
所示。①当点$F$在线段$BC$上时，$FC=BC-BF=3-2=1$；
②当点$F$在$CB$的延长线上时，$FC=BC+BF'=3+2=5$。
综上所述，F,C两点间的距离为1或5。
解析
【分析】
解题时首先利用正方形的性质得到边、角的关系，再结合旋转的性质得到对应边AF=AE，通过HL证明Rt△ABF和Rt△ADE全等，得到BF的长度；要注意题目中“点落在直线BC上”，说明点F的位置有两种：在线段BC上，或在CB的延长线上，需分类讨论计算FC的长度，避免漏解。
【解析】
在正方形ABCD中，$AB=AD$，$∠ABC=∠D=90°$，
由旋转的性质，得$AF=AE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$\begin{cases} AF=AE, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$，
$\therefore BF=DE=2$。
$\because DE=2,EC=1$，
$\therefore$正方形的边长$BC=DC=2+1=3$。
分两种情况讨论：
①当点$F$在线段$BC$上时，$FC=BC-BF=3-2=1$；
②当点$F$在$CB$的延长线上时，$FC=BC+BF'=3+2=5$。
综上所述，F,C两点间的距离为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题的关键是注意“直线BC”包含线段BC和其延长线两种情况，避免只考虑线段BC上的点而漏解，同时需要熟练运用正方形、旋转的性质和全等三角形的判定来推导边长关系。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用正方形的性质得到边、角的关系，再结合旋转的性质得到对应边AF=AE，通过HL证明Rt△ABF和Rt△ADE全等，得到BF的长度；要注意题目中“点落在直线BC上”，说明点F的位置有两种：在线段BC上，或在CB的延长线上，需分类讨论计算FC的长度，避免漏解。
【解析】
在正方形ABCD中，$AB=AD$，$∠ABC=∠D=90°$，
由旋转的性质，得$AF=AE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$\begin{cases} AF=AE, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$，
$\therefore BF=DE=2$。
$\because DE=2,EC=1$，
$\therefore$正方形的边长$BC=DC=2+1=3$。
分两种情况讨论：
①当点$F$在线段$BC$上时，$FC=BC-BF=3-2=1$；
②当点$F$在$CB$的延长线上时，$FC=BC+BF'=3+2=5$。
综上所述，F,C两点间的距离为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题的关键是注意“直线BC”包含线段BC和其延长线两种情况，避免只考虑线段BC上的点而漏解，同时需要熟练运用正方形、旋转的性质和全等三角形的判定来推导边长关系。
【难度系数】
0.6
19. 已知$a^2 -4ab +b^2=0(a≠0,b≠0)$，则代数式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值等于
4
。答案
19.4
解析
【分析】
要求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值，可先对该代数式通分化简，得到其等价形式为$\frac{a^2+b^2}{ab}$。再观察已知等式$a^2-4ab+b^2=0$，通过移项可直接得到$a^2+b^2$与$ab$的数量关系，最后将该关系整体代入化简后的代数式即可求出结果，题目给出的$a≠0、b≠0$保证了分式有意义，运算合法。
【解析】
1. 化简待求代数式：
对$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分（公分母为$ab$），可得：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}$
2. 变形已知等式：
对$a^2-4ab+b^2=0$移项，得：
$a^2+b^2=4ab$
3. 整体代入求值：
因为$a≠0,b≠0$，所以$ab≠0$，将$a^2+b^2=4ab$代入$\frac{a^2+b^2}{ab}$，得：
$\frac{4ab}{ab}=4$
【答案】
4
【知识点】
分式化简求值、等式的变形、整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题核心是不需要单独求解a、b的具体值，通过化简待求式、变形已知条件后整体代入即可快速计算，主要考查代数式变形能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
要求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值，可先对该代数式通分化简，得到其等价形式为$\frac{a^2+b^2}{ab}$。再观察已知等式$a^2-4ab+b^2=0$，通过移项可直接得到$a^2+b^2$与$ab$的数量关系，最后将该关系整体代入化简后的代数式即可求出结果，题目给出的$a≠0、b≠0$保证了分式有意义，运算合法。
【解析】
1. 化简待求代数式：
对$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分（公分母为$ab$），可得：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}$
2. 变形已知等式：
对$a^2-4ab+b^2=0$移项，得：
$a^2+b^2=4ab$
3. 整体代入求值：
因为$a≠0,b≠0$，所以$ab≠0$，将$a^2+b^2=4ab$代入$\frac{a^2+b^2}{ab}$，得：
$\frac{4ab}{ab}=4$
【答案】
4
【知识点】
分式化简求值、等式的变形、整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题核心是不需要单独求解a、b的具体值，通过化简待求式、变形已知条件后整体代入即可快速计算，主要考查代数式变形能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
20.已知 $ m $ 是$ \sqrt{5} $的小数部分，则$ \sqrt{m^2 + \frac{1}{m^2} - 2} $的值为
4
答案
20.4
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先确定m的值，先估算√5的范围得到它的整数部分，用√5减去整数部分即可得到小数部分m；第二步化简所求式子，观察被开方数符合完全平方差公式的形式，逆用公式变形后，根据二次根式的性质√a²=|a|去掉根号；第三步判断m和1/m的大小去掉绝对值，再代入m和1/m的值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵2＜√5＜3，
∴√5的整数部分为2，
∴√5的小数部分m=√5 - 2。
先对$\frac{1}{m}$分母有理化：
$\frac{1}{m}=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2$。
逆用完全平方公式化简被开方数：
$m^2+\frac{1}{m^2}-2=(m-\frac{1}{m})^2$，
∴原式=$\sqrt{(m-\frac{1}{m})^2}=|m-\frac{1}{m}|$。
∵$m=\sqrt{5}-2\approx0.236＜1$，
∴$\frac{1}{m}=\sqrt{5}+2＞1$，即$m＜\frac{1}{m}$，
∴$|m-\frac{1}{m}|=\frac{1}{m}-m$，
代入计算：
$\frac{1}{m}-m=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+2=4$。
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，解题的核心是先准确求出无理数的小数部分，再灵活运用完全平方公式和二次根式的性质化简变形，计算过程中要注意分母有理化的正确运用，以及去绝对值时先判断代数式的正负性。
【难度系数】
0.6
解题思路分为三步：第一步先确定m的值，先估算√5的范围得到它的整数部分，用√5减去整数部分即可得到小数部分m；第二步化简所求式子，观察被开方数符合完全平方差公式的形式，逆用公式变形后，根据二次根式的性质√a²=|a|去掉根号；第三步判断m和1/m的大小去掉绝对值，再代入m和1/m的值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵2＜√5＜3，
∴√5的整数部分为2，
∴√5的小数部分m=√5 - 2。
先对$\frac{1}{m}$分母有理化：
$\frac{1}{m}=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2$。
逆用完全平方公式化简被开方数：
$m^2+\frac{1}{m^2}-2=(m-\frac{1}{m})^2$，
∴原式=$\sqrt{(m-\frac{1}{m})^2}=|m-\frac{1}{m}|$。
∵$m=\sqrt{5}-2\approx0.236＜1$，
∴$\frac{1}{m}=\sqrt{5}+2＞1$，即$m＜\frac{1}{m}$，
∴$|m-\frac{1}{m}|=\frac{1}{m}-m$，
代入计算：
$\frac{1}{m}-m=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+2=4$。
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，解题的核心是先准确求出无理数的小数部分，再灵活运用完全平方公式和二次根式的性质化简变形，计算过程中要注意分母有理化的正确运用，以及去绝对值时先判断代数式的正负性。
【难度系数】
0.6
三、解答题(第21~23题每题8分，其余每题12分，共60分)
21. 计算：
(1)$(\sqrt{48}-\sqrt{75})×\sqrt{1\frac{1}{3}}$；
(2)$\sqrt{50}-\frac{1}{\sqrt{5}}+2\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{\frac{1}{2}}.$
21. 计算：
(1)$(\sqrt{48}-\sqrt{75})×\sqrt{1\frac{1}{3}}$；
(2)$\sqrt{50}-\frac{1}{\sqrt{5}}+2\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{\frac{1}{2}}.$
答案
21.(1)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4\sqrt{3}-5\sqrt{3})×\sqrt{\frac{4}{3}} \\ &=-\sqrt{3}×\sqrt{\frac{4}{3}}=-2.\end{aligned}$
(2)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5\sqrt{2}-\frac{\sqrt{5}}{5}+4\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2} \\ &=\frac{11}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{5}\sqrt{5}.\end{aligned}$
(2)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5\sqrt{2}-\frac{\sqrt{5}}{5}+4\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2} \\ &=\frac{11}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{5}\sqrt{5}.\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题都属于二次根式的混合运算题，解题核心思路是：①先将算式中所有二次根式化为最简二次根式，有分母含根号的先做分母有理化；②再按照运算顺序计算，有括号先算括号内的同类二次根式合并，最后进行乘除或加减运算，合并同类二次根式时只需把系数相加减，根式部分保持不变。
第(1)题可先化简括号内的两个二次根式，合并后再和括号外的根式做乘法运算；第(2)题先把所有根式化简、分母有理化后，再分别合并同类二次根式即可。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4\sqrt{3}-5\sqrt{3})×\sqrt{\frac{4}{3}} \\ &=-\sqrt{3}×\sqrt{\frac{4}{3}}\\&=-\sqrt{3×\frac{4}{3}}\\&=-\sqrt{4}=-2.\end{aligned}$
(2) 先化简各二次根式、做分母有理化：
$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$2\sqrt{20}=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入原式合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5\sqrt{2}-\frac{\sqrt{5}}{5}+4\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2} \\ &=(5\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2})+(-\frac{1}{5}\sqrt{5}+4\sqrt{5}-3\sqrt{5})\\&=\frac{11}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{5}\sqrt{5}.\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-2}$；(2) $\boxed{\frac{11}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{5}\sqrt{5}}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，考查二次根式的化简、运算规则以及同类二次根式的合并方法，解题时注意先化简再运算，避免直接计算出错，熟练掌握运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.75
这两道题都属于二次根式的混合运算题，解题核心思路是：①先将算式中所有二次根式化为最简二次根式，有分母含根号的先做分母有理化；②再按照运算顺序计算，有括号先算括号内的同类二次根式合并，最后进行乘除或加减运算，合并同类二次根式时只需把系数相加减，根式部分保持不变。
第(1)题可先化简括号内的两个二次根式，合并后再和括号外的根式做乘法运算；第(2)题先把所有根式化简、分母有理化后，再分别合并同类二次根式即可。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4\sqrt{3}-5\sqrt{3})×\sqrt{\frac{4}{3}} \\ &=-\sqrt{3}×\sqrt{\frac{4}{3}}\\&=-\sqrt{3×\frac{4}{3}}\\&=-\sqrt{4}=-2.\end{aligned}$
(2) 先化简各二次根式、做分母有理化：
$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$2\sqrt{20}=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入原式合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5\sqrt{2}-\frac{\sqrt{5}}{5}+4\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2} \\ &=(5\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2})+(-\frac{1}{5}\sqrt{5}+4\sqrt{5}-3\sqrt{5})\\&=\frac{11}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{5}\sqrt{5}.\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-2}$；(2) $\boxed{\frac{11}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{5}\sqrt{5}}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，考查二次根式的化简、运算规则以及同类二次根式的合并方法，解题时注意先化简再运算，避免直接计算出错，熟练掌握运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.75
