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22. 已知 $3a - 2b = 0$，求 $(1 + \frac{b}{a} - \frac{a}{a - b}) ÷ (1 - \frac{b}{a} - \frac{a}{a + b})$ 的值。
答案
22.$-5$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先根据分式混合运算的法则，对原式进行化简，将复杂的分式运算转化为最简形式；第二步根据已知条件$3a-2b=0$得到$a$与$b$的数量关系，代入最简式计算即可得到结果。运算时注意先处理括号内的加减运算，通分时找准最简公分母，除法运算要转化为乘法运算再约分。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算第一个括号内的式子：
$1+\frac{b}{a}-\frac{a}{a-b}=\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}$
通分，最简公分母为$a(a-b)$：
$=\frac{(a+b)(a-b)-a^2}{a(a-b)}=\frac{a^2-b^2-a^2}{a(a-b)}=\frac{-b^2}{a(a-b)}$
2. 计算第二个括号内的式子：
$1-\frac{b}{a}-\frac{a}{a+b}=\frac{a-b}{a}-\frac{a}{a+b}$
通分，最简公分母为$a(a+b)$：
$=\frac{(a-b)(a+b)-a^2}{a(a+b)}=\frac{a^2-b^2-a^2}{a(a+b)}=\frac{-b^2}{a(a+b)}$
3. 将除法转化为乘法计算：
原式$=\frac{-b^2}{a(a-b)} ÷ \frac{-b^2}{a(a+b)}=\frac{-b^2}{a(a-b)} × \frac{a(a+b)}{-b^2}$
约分后得：$\frac{a+b}{a-b}$
4. 代入已知条件计算：
由$3a-2b=0$得$b=\frac{3}{2}a$，代入上式：
$\frac{a+\frac{3}{2}a}{a-\frac{3}{2}a}=\frac{\frac{5}{2}a}{-\frac{1}{2}a}=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
分式混合运算，分式化简求值，代数式代入求值
【点评】
本题重点考查分式运算的基本功，解题的核心是先化简再代入求值，能有效减少计算量，运算过程中要注意通分、约分的规则，以及符号的处理，避免因运算失误失分。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先根据分式混合运算的法则，对原式进行化简，将复杂的分式运算转化为最简形式；第二步根据已知条件$3a-2b=0$得到$a$与$b$的数量关系，代入最简式计算即可得到结果。运算时注意先处理括号内的加减运算，通分时找准最简公分母，除法运算要转化为乘法运算再约分。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算第一个括号内的式子：
$1+\frac{b}{a}-\frac{a}{a-b}=\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}$
通分，最简公分母为$a(a-b)$：
$=\frac{(a+b)(a-b)-a^2}{a(a-b)}=\frac{a^2-b^2-a^2}{a(a-b)}=\frac{-b^2}{a(a-b)}$
2. 计算第二个括号内的式子：
$1-\frac{b}{a}-\frac{a}{a+b}=\frac{a-b}{a}-\frac{a}{a+b}$
通分，最简公分母为$a(a+b)$：
$=\frac{(a-b)(a+b)-a^2}{a(a+b)}=\frac{a^2-b^2-a^2}{a(a+b)}=\frac{-b^2}{a(a+b)}$
3. 将除法转化为乘法计算：
原式$=\frac{-b^2}{a(a-b)} ÷ \frac{-b^2}{a(a+b)}=\frac{-b^2}{a(a-b)} × \frac{a(a+b)}{-b^2}$
约分后得：$\frac{a+b}{a-b}$
4. 代入已知条件计算：
由$3a-2b=0$得$b=\frac{3}{2}a$，代入上式：
$\frac{a+\frac{3}{2}a}{a-\frac{3}{2}a}=\frac{\frac{5}{2}a}{-\frac{1}{2}a}=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
分式混合运算，分式化简求值，代数式代入求值
【点评】
本题重点考查分式运算的基本功，解题的核心是先化简再代入求值，能有效减少计算量，运算过程中要注意通分、约分的规则，以及符号的处理，避免因运算失误失分。
【难度系数】
0.7
23.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD//BC,∠ABC=90°,有下列条件:①AB//CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
答案
23.(1)选择①,证明:$\because AD// BC,AB// CD$,
$\therefore$四边形ABCD是平行四边形.
$\because ∠ ABC=90°$,$\therefore$四边形ABCD是矩形.
选择②,证明:$\because AD// BC,AD=BC$,$\therefore$四边形ABCD是平行四边形.
$\because ∠ ABC=90°$,$\therefore$四边形ABCD是矩形.
(2)$\because ∠ ABC=90°,AB=3,AC=5$,
$\therefore BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=4$,
$\therefore$四边形ABCD的面积$=AB· BC=3×4=12$.
$\therefore$四边形ABCD是平行四边形.
$\because ∠ ABC=90°$,$\therefore$四边形ABCD是矩形.
选择②,证明:$\because AD// BC,AD=BC$,$\therefore$四边形ABCD是平行四边形.
$\because ∠ ABC=90°$,$\therefore$四边形ABCD是矩形.
(2)$\because ∠ ABC=90°,AB=3,AC=5$,
$\therefore BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=4$,
$\therefore$四边形ABCD的面积$=AB· BC=3×4=12$.
解析
【分析】
(1)要证明四边形ABCD是矩形，需先根据所选条件结合已知的$AD// BC$判定四边形是平行四边形，再结合已知的$∠ ABC=90°$，依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”完成证明：若选①$AB// CD$，可通过“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定；若选②$AD=BC$，可通过“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定。(2)已经确定四边形是矩形，可先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出$BC$的长度，再用矩形面积公式计算面积即可。
【解析】
(1) 选择①的证明：
$\because AD// BC,AB// CD$，
$\therefore$四边形ABCD是平行四边形。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore$平行四边形ABCD是矩形。
选择②的证明：
$\because AD// BC,AD=BC$，
$\therefore$四边形ABCD是平行四边形。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore$平行四边形ABCD是矩形。
(2) $\because ∠ ABC=90°,AB=3,AC=5$，
$\therefore$在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\therefore$四边形ABCD的面积$=AB·BC=3×4=12$。
【答案】
(1) 证明见上述过程（任选一个条件即可）；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
平行四边形的判定，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于特殊四边形与勾股定理的综合基础题，解题核心是熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理，能灵活运用勾股定理计算直角三角形的边长。
【难度系数】
0.85
(1)要证明四边形ABCD是矩形，需先根据所选条件结合已知的$AD// BC$判定四边形是平行四边形，再结合已知的$∠ ABC=90°$，依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”完成证明：若选①$AB// CD$，可通过“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定；若选②$AD=BC$，可通过“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定。(2)已经确定四边形是矩形，可先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出$BC$的长度，再用矩形面积公式计算面积即可。
【解析】
(1) 选择①的证明：
$\because AD// BC,AB// CD$，
$\therefore$四边形ABCD是平行四边形。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore$平行四边形ABCD是矩形。
选择②的证明：
$\because AD// BC,AD=BC$，
$\therefore$四边形ABCD是平行四边形。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore$平行四边形ABCD是矩形。
(2) $\because ∠ ABC=90°,AB=3,AC=5$，
$\therefore$在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\therefore$四边形ABCD的面积$=AB·BC=3×4=12$。
【答案】
(1) 证明见上述过程（任选一个条件即可）；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
平行四边形的判定，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于特殊四边形与勾股定理的综合基础题，解题核心是熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理，能灵活运用勾股定理计算直角三角形的边长。
【难度系数】
0.85
24. 新情境 绿色出行 随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机.某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%.
(1)求A型自行车去年每辆售价为多少元？
(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍.已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
(1)求A型自行车去年每辆售价为多少元？
(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍.已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
答案
24.(1)设A型自行车去年每辆售价为$x$元,则今年每辆售价为$(x-200)$元,由题意,得
$\frac{80\ 000}{x}=\frac{80\ 000(1-10\%)}{x-200}$,
解得$x=2\ 000$.
经检验,$x=2\ 000$是原方程的根.
故A型自行车去年每辆售价为2 000元.
(2)设今年新进A型车$a$辆,则新进B型车$(60-a)$辆,获利$y$元,由题意,得
$y=(1\ 800-1\ 500)a+(2\ 400-1\ 800)×(60-a)=-300a+36\ 000$.
$\because$B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,
$\therefore 60-a≤2a$,$\therefore a≥20$.
$\because y=-300a+36\ 000$,
$\therefore k=-300＜0$,
$\therefore y$随$a$的增大而减小,
$\therefore$当$a=20$时,$y_{\mathrm{最大}}=30\ 000$,
$\therefore$B型车的数量为$60-20=40$(辆),
$\therefore$当新进A型车20辆,B型车40辆时,这批车获利最大.
$\frac{80\ 000}{x}=\frac{80\ 000(1-10\%)}{x-200}$,
解得$x=2\ 000$.
经检验,$x=2\ 000$是原方程的根.
故A型自行车去年每辆售价为2 000元.
(2)设今年新进A型车$a$辆,则新进B型车$(60-a)$辆,获利$y$元,由题意,得
$y=(1\ 800-1\ 500)a+(2\ 400-1\ 800)×(60-a)=-300a+36\ 000$.
$\because$B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,
$\therefore 60-a≤2a$,$\therefore a≥20$.
$\because y=-300a+36\ 000$,
$\therefore k=-300＜0$,
$\therefore y$随$a$的增大而减小,
$\therefore$当$a=20$时,$y_{\mathrm{最大}}=30\ 000$,
$\therefore$B型车的数量为$60-20=40$(辆),
$\therefore$当新进A型车20辆,B型车40辆时,这批车获利最大.
解析
【分析】
(1) 第一问的核心等量关系是“今年和去年A型车的销售数量相同”，销售数量=销售总额÷单辆售价。我们设去年A型车每辆售价为x元，即可表示出今年的售价，再分别用两年的销售总额除以对应单价得到销量，令二者相等列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根的合理性。
(2) 第二问是利润最大化问题，首先设新进A型车a辆，即可表示出B型车的进货数量，再根据“总利润=A型车单辆利润×A型车数量+B型车单辆利润×B型车数量”列出利润关于a的一次函数表达式；然后根据“B型车进货数量不超过A型车数量的两倍”列不等式求出a的取值范围；最后结合一次函数的增减性，就能找到利润最大时a的取值，确定最优进货方案。
【解析】
(1) 设A型自行车去年每辆售价为$x$元，则今年每辆售价为$(x-200)$元，由题意得：
$\frac{80\ 000}{x}=\frac{80\ 000(1-10\%)}{x-200}$
化简求解得：
$\frac{80000}{x}=\frac{72000}{x-200}$
交叉相乘得$80000(x-200)=72000x$，解得$x=2000$。
经检验，$x=2000$是原方程的根，且符合实际意义。
(2) 设今年新进A型车$a$辆，则新进B型车$(60-a)$辆，销售总获利为$y$元，由题意得：
今年A型车单辆售价为$2000-200=1800$元，单辆利润为$1800-1500=300$元；B型车单辆利润为$2400-1800=600$元。
因此总利润$y=300a+600(60-a)=-300a+36000$。
根据B型车进货数量限制可得：$60-a≤2a$，解得$a≥20$。
在一次函数$y=-300a+36000$中，$k=-300＜0$，所以$y$随$a$的增大而减小，因此当$a=20$时，$y$取得最大值：$y_{\mathrm{最大}}=-300×20+36000=30000$元，此时B型车进货数量为$60-20=40$辆。
【答案】
(1) A型自行车去年每辆售价为2000元；
(2) 新进A型车20辆，B型车40辆时，这批自行车销售获利最多。
【知识点】
分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合绿色出行的生活热点，综合考查方程、不等式、一次函数的实际应用能力，解题核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，结合一次函数增减性求解最值，题目贴近生活，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问的核心等量关系是“今年和去年A型车的销售数量相同”，销售数量=销售总额÷单辆售价。我们设去年A型车每辆售价为x元，即可表示出今年的售价，再分别用两年的销售总额除以对应单价得到销量，令二者相等列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根的合理性。
(2) 第二问是利润最大化问题，首先设新进A型车a辆，即可表示出B型车的进货数量，再根据“总利润=A型车单辆利润×A型车数量+B型车单辆利润×B型车数量”列出利润关于a的一次函数表达式；然后根据“B型车进货数量不超过A型车数量的两倍”列不等式求出a的取值范围；最后结合一次函数的增减性，就能找到利润最大时a的取值，确定最优进货方案。
【解析】
(1) 设A型自行车去年每辆售价为$x$元，则今年每辆售价为$(x-200)$元，由题意得：
$\frac{80\ 000}{x}=\frac{80\ 000(1-10\%)}{x-200}$
化简求解得：
$\frac{80000}{x}=\frac{72000}{x-200}$
交叉相乘得$80000(x-200)=72000x$，解得$x=2000$。
经检验，$x=2000$是原方程的根，且符合实际意义。
(2) 设今年新进A型车$a$辆，则新进B型车$(60-a)$辆，销售总获利为$y$元，由题意得：
今年A型车单辆售价为$2000-200=1800$元，单辆利润为$1800-1500=300$元；B型车单辆利润为$2400-1800=600$元。
因此总利润$y=300a+600(60-a)=-300a+36000$。
根据B型车进货数量限制可得：$60-a≤2a$，解得$a≥20$。
在一次函数$y=-300a+36000$中，$k=-300＜0$，所以$y$随$a$的增大而减小，因此当$a=20$时，$y$取得最大值：$y_{\mathrm{最大}}=-300×20+36000=30000$元，此时B型车进货数量为$60-20=40$辆。
【答案】
(1) A型自行车去年每辆售价为2000元；
(2) 新进A型车20辆，B型车40辆时，这批自行车销售获利最多。
【知识点】
分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合绿色出行的生活热点，综合考查方程、不等式、一次函数的实际应用能力，解题核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，结合一次函数增减性求解最值，题目贴近生活，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
