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25.为了促进学生课后服务多样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个社团(假设该校要求人人参与社团，且每人只能选择一个).为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，并绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题.
(1)求抽取参加调查的学生人数；
(2)将以上两幅不完整的统计图补充完整；
(3)若该校有1 600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数.
(1)求抽取参加调查的学生人数；
(2)将以上两幅不完整的统计图补充完整；
(3)若该校有1 600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数.
答案
25.(1)$5÷12.5\%=40$(人).
故此次共调查了40人.
(2)体育类有$40×25\%=10$(人),
文艺类社团的人数所占百分比为$15÷40×100\%=37.5\%$,阅读类社团的人数所占百分比为$10÷40×100\%=25\%$,将统计图补充完整如图
、
所示.(3)$1600×12.5\%=200$(人).
故估计该校报兴趣类社团的学生有200人.
解析
【分析】
1. 求抽样总人数：找到同时已知具体人数和对应占比的兴趣类社团，兴趣类共5人，占抽样人数的12.5%，根据“总人数=部分人数÷对应占比”即可计算。
2. 补全统计图：①补全条形图：用总人数乘体育类的占比25%得到体育类人数，补充到条形图对应位置；②补全扇形图：分别用文艺类、阅读类的人数除以总人数再乘100%，得到两类的占比，填入扇形图对应位置。
3. 估计全校兴趣类人数：用全校总人数乘样本中兴趣类的占比，即可得到估计值。
【解析】
(1) 由统计图可知兴趣类社团有5人，占抽样人数的12.5%，因此抽取参加调查的学生人数为：
$5÷12.5\% = 40$（人）
(2) 计算体育类人数：$40×25\% = 10$（人），补充到条形图体育类对应位置；
计算各类别占比：
文艺类占比：$15÷40×100\% = 37.5\%$
阅读类占比：$10÷40×100\% = 25\%$
将上述占比填入扇形图对应位置，即可补全两幅统计图。
(3) 用样本估计总体，该校报兴趣类社团的学生人数约为：
$1600×12.5\% = 200$（人）
【答案】
(1) 此次共调查了40人。
(2) 体育类有$40×25\%=10$(人),
文艺类社团的人数所占百分比为$15÷40×100\%=37.5\%$,阅读类社团的人数所占百分比为$10÷40×100\%=25\%$,将统计图补充完整如图、所示。
(3) 估计该校报兴趣类社团的学生有200人。
【知识点】
条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体
【点评】
本题是统计模块的典型题型，考查对两类统计图表的信息提取和应用能力，解题核心是掌握部分量、总数量、对应占比三者的换算关系，理解用样本估计总体的统计思想。
【难度系数】
0.8
1. 求抽样总人数：找到同时已知具体人数和对应占比的兴趣类社团，兴趣类共5人，占抽样人数的12.5%，根据“总人数=部分人数÷对应占比”即可计算。
2. 补全统计图：①补全条形图：用总人数乘体育类的占比25%得到体育类人数，补充到条形图对应位置；②补全扇形图：分别用文艺类、阅读类的人数除以总人数再乘100%，得到两类的占比，填入扇形图对应位置。
3. 估计全校兴趣类人数：用全校总人数乘样本中兴趣类的占比，即可得到估计值。
【解析】
(1) 由统计图可知兴趣类社团有5人，占抽样人数的12.5%，因此抽取参加调查的学生人数为：
$5÷12.5\% = 40$（人）
(2) 计算体育类人数：$40×25\% = 10$（人），补充到条形图体育类对应位置；
计算各类别占比：
文艺类占比：$15÷40×100\% = 37.5\%$
阅读类占比：$10÷40×100\% = 25\%$
将上述占比填入扇形图对应位置，即可补全两幅统计图。
(3) 用样本估计总体，该校报兴趣类社团的学生人数约为：
$1600×12.5\% = 200$（人）
【答案】
(1) 此次共调查了40人。
(2) 体育类有$40×25\%=10$(人),
文艺类社团的人数所占百分比为$15÷40×100\%=37.5\%$,阅读类社团的人数所占百分比为$10÷40×100\%=25\%$,将统计图补充完整如图
、所示。(3) 估计该校报兴趣类社团的学生有200人。
【知识点】
条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体
【点评】
本题是统计模块的典型题型，考查对两类统计图表的信息提取和应用能力，解题核心是掌握部分量、总数量、对应占比三者的换算关系，理解用样本估计总体的统计思想。
【难度系数】
0.8
26. 新考法 新定义问题 若一个正整数 $ x $ 能表示成 $ a^2 - b^2 $（$ a,b $ 是正整数，且 $ a ＞ b $）的形式，则称这个数为“优美数”，$ a $ 与 $ b $ 是 $ x $ 的一个平方差分解。
例如：因为 $ 5 = 3^2 - 2^2 $，所以 5 是“优美数”，3 与 2 是 5 的平方差分解；
再如：$ M = x^2 + 2xy $ 也是“优美数”。$ \because M = x^2 + 2xy = x^2 + 2xy + y^2 - y^2 = (x + y)^2 - y^2 $（其中 $ x,y $ 是正整数），所以 $ M $ 也是“优美数”，$ (x + y) $ 与 $ y $ 是 $ M $ 的一个平方差分解。
(1) 判断：27 是否是“优美数”，如果是，请写出 27 的所有平方差分解；如果不是，请说明理由。
(2) 设两个连续正奇数为 $ 2n - 1 $ 和 $ 2n + 1 $（其中 $ n $ 是正整数），由它们构成的“优美数”能被 8 整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明。
(3) 已知 $ N = x^2 - y^2 + 6x - 10y + k $（$ x,y $ 是正整数，$ k $ 是常数，且 $ x ＞ y + 2 $），要使 $ N $ 是“优美数”，请写出一个符合条件的 $ k $ 值
例如：因为 $ 5 = 3^2 - 2^2 $，所以 5 是“优美数”，3 与 2 是 5 的平方差分解；
再如：$ M = x^2 + 2xy $ 也是“优美数”。$ \because M = x^2 + 2xy = x^2 + 2xy + y^2 - y^2 = (x + y)^2 - y^2 $（其中 $ x,y $ 是正整数），所以 $ M $ 也是“优美数”，$ (x + y) $ 与 $ y $ 是 $ M $ 的一个平方差分解。
(1) 判断：27 是否是“优美数”，如果是，请写出 27 的所有平方差分解；如果不是，请说明理由。
(2) 设两个连续正奇数为 $ 2n - 1 $ 和 $ 2n + 1 $（其中 $ n $ 是正整数），由它们构成的“优美数”能被 8 整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明。
(3) 已知 $ N = x^2 - y^2 + 6x - 10y + k $（$ x,y $ 是正整数，$ k $ 是常数，且 $ x ＞ y + 2 $），要使 $ N $ 是“优美数”，请写出一个符合条件的 $ k $ 值
$-16$
。答案
26.(1)27是“优美数”.理由如下：
$\because 14^2-13^2=(14+13)×(14-13)=27×1=27$,
$6^2-3^2=(6+3)×(6-3)=9×3=27$,
$\therefore 27$是“优美数”,14与13,6与3都是27的平方差分解.
(2)由它们构成的“优美数”能被8整数.理由如下：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2 &=4n^2+4n+1-(4n^2-4n+1) \\ &=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1=8n.\end{aligned}$
$\because 8n$能被8整除，
$\therefore$由它们构成的“优美数”能被8整除.
(3)$-16$
[解析]$N=x^2-y^2+6x-10y+k$
$=(x^2+6x+9)-(y^2+10y+25)+k+16$
$=(x+3)^2-(y+5)^2+k+16$,
$\therefore$当$k+16=0$时,$N=(x+3)^2-(y+5)^2$为“优美数”,
此时$k=-16$.
$\because 14^2-13^2=(14+13)×(14-13)=27×1=27$,
$6^2-3^2=(6+3)×(6-3)=9×3=27$,
$\therefore 27$是“优美数”,14与13,6与3都是27的平方差分解.
(2)由它们构成的“优美数”能被8整数.理由如下：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2 &=4n^2+4n+1-(4n^2-4n+1) \\ &=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1=8n.\end{aligned}$
$\because 8n$能被8整除，
$\therefore$由它们构成的“优美数”能被8整除.
(3)$-16$
[解析]$N=x^2-y^2+6x-10y+k$
$=(x^2+6x+9)-(y^2+10y+25)+k+16$
$=(x+3)^2-(y+5)^2+k+16$,
$\therefore$当$k+16=0$时,$N=(x+3)^2-(y+5)^2$为“优美数”,
此时$k=-16$.
解析
【分析】
（1）根据“优美数”的定义，结合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，先将27分解为两组同奇偶的正整数乘积，再分别求解对应的$a、b$，即可判断27是否为优美数并得到所有平方差分解。
（2）直接计算两个连续正奇数的平方差，化简后判断结果是否为8的倍数即可。
（3）对$N$的表达式进行配方，将其整理为两个平方差加常数的形式，令多余的常数项为0，即可得到符合条件的$k$值，同时验证配方后的两个底数满足$a＞b$的要求。
【解析】
(1) 27是“优美数”，理由如下：
$\because 14^2-13^2=(14+13)×(14-13)=27×1=27$，
$6^2-3^2=(6+3)×(6-3)=9×3=27$，
$\therefore 27$是“优美数”，14与13、6与3都是27的平方差分解。
(2) 由它们构成的“优美数”能被8整除，理由如下：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2 &=4n^2+4n+1-(4n^2-4n+1) \\ &=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1=8n\end{aligned}$
$\because n$是正整数，$8n$是8的倍数，能被8整除，
$\therefore$两个连续正奇数构成的“优美数”能被8整除。
(3) 对$N$配方变形：
$\begin{aligned}N &=x^2-y^2+6x-10y+k \\&=(x^2+6x+9)-(y^2+10y+25)+k+16 \\&=(x+3)^2-(y+5)^2+k+16\end{aligned}$
当$k+16=0$时，$N=(x+3)^2-(y+5)^2$，
已知$x＞y+2$，则$x+3＞y+2+3=y+5$，满足优美数中$a＞b$的要求，此时$k=-16$。
【答案】
(1) 27是“优美数”，平方差分解为14和13、6和3；
(2) 能被8整除，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{-16}$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式，因式分解，配方法
【点评】
本题为新定义类题型，解题关键是读懂“优美数”的定义，将新问题转化为熟悉的整式运算、配方、因式分解等知识点解决，考查学生的知识迁移能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
（1）根据“优美数”的定义，结合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，先将27分解为两组同奇偶的正整数乘积，再分别求解对应的$a、b$，即可判断27是否为优美数并得到所有平方差分解。
（2）直接计算两个连续正奇数的平方差，化简后判断结果是否为8的倍数即可。
（3）对$N$的表达式进行配方，将其整理为两个平方差加常数的形式，令多余的常数项为0，即可得到符合条件的$k$值，同时验证配方后的两个底数满足$a＞b$的要求。
【解析】
(1) 27是“优美数”，理由如下：
$\because 14^2-13^2=(14+13)×(14-13)=27×1=27$，
$6^2-3^2=(6+3)×(6-3)=9×3=27$，
$\therefore 27$是“优美数”，14与13、6与3都是27的平方差分解。
(2) 由它们构成的“优美数”能被8整除，理由如下：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2 &=4n^2+4n+1-(4n^2-4n+1) \\ &=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1=8n\end{aligned}$
$\because n$是正整数，$8n$是8的倍数，能被8整除，
$\therefore$两个连续正奇数构成的“优美数”能被8整除。
(3) 对$N$配方变形：
$\begin{aligned}N &=x^2-y^2+6x-10y+k \\&=(x^2+6x+9)-(y^2+10y+25)+k+16 \\&=(x+3)^2-(y+5)^2+k+16\end{aligned}$
当$k+16=0$时，$N=(x+3)^2-(y+5)^2$，
已知$x＞y+2$，则$x+3＞y+2+3=y+5$，满足优美数中$a＞b$的要求，此时$k=-16$。
【答案】
(1) 27是“优美数”，平方差分解为14和13、6和3；
(2) 能被8整除，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{-16}$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式，因式分解，配方法
【点评】
本题为新定义类题型，解题关键是读懂“优美数”的定义，将新问题转化为熟悉的整式运算、配方、因式分解等知识点解决，考查学生的知识迁移能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
