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21.(8分)如图,在矩形ABCD中,O为对角线BD的中点,直线EF过点O且与边AD,BC分别交于点E,F,EF⊥BD,连结BE,DF。
(1)求证:四边形EBFD是菱形。
(2)若AD=2AB=4,求菱形EBFD的周长。
(1)求证:四边形EBFD是菱形。
(2)若AD=2AB=4,求菱形EBFD的周长。
答案
21.(1)因为四边形ABCD是矩形,所以AD//BC。所以∠EDO=∠FBO。因为O是BD的中点,所以BO=DO。在△DEO和△BFO中,因为$\begin{cases} ∠EDO=∠FBO, \\ DO=BO, \\ ∠EOD=∠FOB, \end{cases}$所以△DEO≌△BFO(ASA)。所以OE=OF。所以四边形EBFD是平行四边形。
又因为EF⊥BD,所以四边形EBFD是菱形。
(2)因为四边形EBFD是菱形,所以ED=EB。因为AD=2AB=4,所以AB=2。设AE=x,则ED=EB=4−x。
在Rt△ABE中,$BE^2=AB^2+AE^2$,即$(4-x)^2=2^2+x^2$,解得$x=\frac{3}{2}$,所以$AE=\frac{3}{2}$。所以$DE=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
所以菱形EBFD的周长=$4×\frac{5}{2}=10$。
又因为EF⊥BD,所以四边形EBFD是菱形。
(2)因为四边形EBFD是菱形,所以ED=EB。因为AD=2AB=4,所以AB=2。设AE=x,则ED=EB=4−x。
在Rt△ABE中,$BE^2=AB^2+AE^2$,即$(4-x)^2=2^2+x^2$,解得$x=\frac{3}{2}$,所以$AE=\frac{3}{2}$。所以$DE=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
所以菱形EBFD的周长=$4×\frac{5}{2}=10$。
解析
【分析】
要证明四边形EBFD是菱形，需先证其为平行四边形，再结合EF⊥BD的条件判定菱形：利用矩形对边平行得内错角相等，结合O是BD中点及对顶角相等，用ASA证△DEO≌△BFO，得OE=OF，结合BO=DO，可证四边形EBFD是平行四边形，再由EF⊥BD即可判定为菱形；求菱形周长时，利用菱形四边相等，结合矩形边长，设AE为未知数，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求解边长，进而计算周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDO=∠FBO。
∵ O为BD的中点，
∴ BO=DO。
在△DEO和△BFO中，
$\{\begin{array}{l}∠EDO=∠FBO, \\DO=BO, \\∠EOD=∠FOB,\end{array} $
∴ △DEO≌△BFO（ASA），
∴ OE=OF。
又
∵ BO=DO，
∴ 四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ EF⊥BD，
∴ 平行四边形EBFD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
由AD=2AB=4，得AB=2，AD=4。
∵ 四边形EBFD是菱形，
∴ EB=ED。
设AE=x，则EB=ED=AD - AE=4 - x。
在Rt△ABE中，根据勾股定理：
$BE^2 = AB^2 + AE^2$，
即 $(4 - x)^2 = 2^2 + x^2$，
展开得：$16 - 8x + x^2 = 4 + x^2$，
化简得：$8x = 12$，解得$x=\frac{3}{2}$。
∴ $ED=4 - \frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，
∴ 菱形EBFD的周长为$4×\frac{5}{2}=10$。
【答案】
(1) 四边形EBFD是菱形，证明如上；(2) 菱形EBFD的周长为10。
【知识点】
矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、菱形的相关性质与判定，需熟练运用全等三角形判定、平行四边形及菱形的判定定理，结合勾股定理求解边长，逻辑清晰，是几何证明与计算的常规题型。
【难度系数】
0.5
要证明四边形EBFD是菱形，需先证其为平行四边形，再结合EF⊥BD的条件判定菱形：利用矩形对边平行得内错角相等，结合O是BD中点及对顶角相等，用ASA证△DEO≌△BFO，得OE=OF，结合BO=DO，可证四边形EBFD是平行四边形，再由EF⊥BD即可判定为菱形；求菱形周长时，利用菱形四边相等，结合矩形边长，设AE为未知数，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求解边长，进而计算周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDO=∠FBO。
∵ O为BD的中点，
∴ BO=DO。
在△DEO和△BFO中，
$\{\begin{array}{l}∠EDO=∠FBO, \\DO=BO, \\∠EOD=∠FOB,\end{array} $
∴ △DEO≌△BFO（ASA），
∴ OE=OF。
又
∵ BO=DO，
∴ 四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ EF⊥BD，
∴ 平行四边形EBFD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
由AD=2AB=4，得AB=2，AD=4。
∵ 四边形EBFD是菱形，
∴ EB=ED。
设AE=x，则EB=ED=AD - AE=4 - x。
在Rt△ABE中，根据勾股定理：
$BE^2 = AB^2 + AE^2$，
即 $(4 - x)^2 = 2^2 + x^2$，
展开得：$16 - 8x + x^2 = 4 + x^2$，
化简得：$8x = 12$，解得$x=\frac{3}{2}$。
∴ $ED=4 - \frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，
∴ 菱形EBFD的周长为$4×\frac{5}{2}=10$。
【答案】
(1) 四边形EBFD是菱形，证明如上；(2) 菱形EBFD的周长为10。
【知识点】
矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、菱形的相关性质与判定，需熟练运用全等三角形判定、平行四边形及菱形的判定定理，结合勾股定理求解边长，逻辑清晰，是几何证明与计算的常规题型。
【难度系数】
0.5
22. (10分)2025年11月19日,我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A,B,C星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务取得圆满成功。为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情,某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动,为了解活动效果,从七、八年级学生的知识问答成绩中,各随机抽取12名学生的成绩(单位:分)进行统计整理。下面给出了部分信息:
七年级:60,70,70,80,87,89,91,94,95,97,99,100；
八年级:70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96。
抽取的七、八年级学生成绩不完整的统计表(单位:分)
抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图
根据以上信息,回答下列问题:
(1)请补全统计表。
(2)请补全七、八年级箱线图。
(3)基于上述材料分析,可以发现
(4)若该校八年级有600名学生参与了此次活动,请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数。
七年级:60,70,70,80,87,89,91,94,95,97,99,100；
八年级:70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96。
抽取的七、八年级学生成绩不完整的统计表(单位:分)
抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图
根据以上信息,回答下列问题:
(1)请补全统计表。
(2)请补全七、八年级箱线图。
(3)基于上述材料分析,可以发现
八
年级学生成绩稳定。(4)若该校八年级有600名学生参与了此次活动,请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数。
答案
22.(1)①七年级$m_{25}$:将七年级数据从小到大排序后第3,4个数:70,80,所以$m_{25}=\frac{70+80}{2}=75$。
②七年级$m_{50}$:七年级的中位数,为排序后第6,7个数的平均数,所以$m_{50}=\frac{89+91}{2}=90$。③八年级$m_{75}$:将八年级数据从小到大排序后第9,10个数:93,93,所以$m_{75}=\frac{93+93}{2}=93$。故答案为:75;90;93。
(2)如图所示。
(3)由题意,结合箱线图可以发现,八年级成绩比较集中,波动较小,更稳定。故答案为:八。
(4)由题意,八年级抽取的12名学生中,成绩超过94分的有95,96,共2人,所以根据样本估计总体,该校八年级600名学生中成绩超过94分的人数为$600×\frac{1}{6}=100$(人)。
解析
【分析】
本题围绕七、八年级学生的知识问答成绩统计展开，需掌握分位数、中位数的计算方法，箱线图的绘制规则，数据稳定性的判断依据，以及用样本估计总体的思路。首先根据给定的各12名学生的成绩排序，计算对应的分位数、中位数；再结合统计量补全箱线图；通过比较数据的离散程度判断稳定性；最后利用样本中超过94分的比例估计总体人数。
【解析】
(1) 计算各统计量：
七年级成绩排序：60,70,70,80,87,89,91,94,95,97,99,100（共12个数据）
25%分位数（$m_{25}$）：取第3、4个数的平均数，即$\frac{70+80}{2}=75$；
中位数（$m_{50}$）：取第6、7个数的平均数，即$\frac{89+91}{2}=90$；
八年级成绩排序：70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96（共12个数据）
75%分位数（$m_{75}$）：取第9、10个数的平均数，即$\frac{93+93}{2}=93$；
(2) 补全箱线图：
七年级：最小值60，最大值100，$m_{25}=75$，$m_{50}=90$，$m_{75}=95$；
八年级：最小值70，最大值96，$m_{25}=80$，$m_{50}=90$，$m_{75}=93$；（按上述统计量绘制箱线图）
(3) 数据稳定性：八年级成绩的离散程度更小，成绩更集中，故八年级学生成绩更稳定；
(4) 估计人数：八年级抽取的12名学生中，成绩超过94分的有95、96，共2人，占比为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，则600名学生中超过94分的人数为$600×\frac{1}{6}=100$人。
【答案】
(1) 75；90；93；
(2) 如图所示；
(3) 八；
(4) 100人；
【知识点】
分位数计算、中位数、箱线图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计核心知识的综合应用，涵盖分位数与中位数的计算、箱线图的绘制、数据稳定性判断及样本估计总体，是统计模块的典型基础题，需熟练掌握统计量的计算规则。
【难度系数】
0.6
本题围绕七、八年级学生的知识问答成绩统计展开，需掌握分位数、中位数的计算方法，箱线图的绘制规则，数据稳定性的判断依据，以及用样本估计总体的思路。首先根据给定的各12名学生的成绩排序，计算对应的分位数、中位数；再结合统计量补全箱线图；通过比较数据的离散程度判断稳定性；最后利用样本中超过94分的比例估计总体人数。
【解析】
(1) 计算各统计量：
七年级成绩排序：60,70,70,80,87,89,91,94,95,97,99,100（共12个数据）
25%分位数（$m_{25}$）：取第3、4个数的平均数，即$\frac{70+80}{2}=75$；
中位数（$m_{50}$）：取第6、7个数的平均数，即$\frac{89+91}{2}=90$；
八年级成绩排序：70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96（共12个数据）
75%分位数（$m_{75}$）：取第9、10个数的平均数，即$\frac{93+93}{2}=93$；
(2) 补全箱线图：
七年级：最小值60，最大值100，$m_{25}=75$，$m_{50}=90$，$m_{75}=95$；
八年级：最小值70，最大值96，$m_{25}=80$，$m_{50}=90$，$m_{75}=93$；（按上述统计量绘制箱线图）
(3) 数据稳定性：八年级成绩的离散程度更小，成绩更集中，故八年级学生成绩更稳定；
(4) 估计人数：八年级抽取的12名学生中，成绩超过94分的有95、96，共2人，占比为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，则600名学生中超过94分的人数为$600×\frac{1}{6}=100$人。
【答案】
(1) 75；90；93；
(2) 如图所示；
(3) 八；
(4) 100人；
【知识点】
分位数计算、中位数、箱线图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计核心知识的综合应用，涵盖分位数与中位数的计算、箱线图的绘制、数据稳定性判断及样本估计总体，是统计模块的典型基础题，需熟练掌握统计量的计算规则。
【难度系数】
0.6
