19.(8分)为增强学生的社会实践能力,促进学生全面发展,某校计划招募若干名学生会干事。现有20名学生报名参加选拔。报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试,每项测试均由七位评委打分(满分100分),取平均分作为该项的测试成绩,再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按$3:3:4$的比例计入每人的总评成绩。
已知圆圆、芳芳三项的测试成绩和总评成绩如下表,这20名学生的总评成绩频数直方图(每组含最小值,不含最大值)如图所示。
|选手|测试成绩/分|总评成绩/分|
|----|----|----|
| |文化水平|口头表达|组织策划|
|圆圆|83|72|80|78.5|
|芳芳|86|84|▲|▲|
(1)在组织策划测试中,七位评委给芳芳打出的分数如下:75,82,74,81,70,83,81。这组数据的中位数是分,众数是分,平均数是分。
(2)请你计算芳芳的总评成绩。
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事。试分析芳芳、圆圆能否入选,并说明理由。

19.(1)七位评委给芳芳打出的分数(单位:分)按从小到大的顺序排列为:70,74,75,81,81,82,83。
所以这组数据的中位数是81分,众数是81分,平均数是$\frac{70+74+75+81+81+82+83}{7}=78$(分)。
(2)$\frac{86×3+84×3+78×4}{10}=82.2$(分),所以芳芳的总评成绩为82.2分。
(3)不能判断圆圆能否入选,但是芳芳能入选。理由如下:由20名学生的总评成绩频数直方图可知,小于80分的有10人,因为圆圆的总评成绩为78.5分、芳芳的总评成绩为82.2分,所以不能判断圆圆能否入选,但是芳芳能入选。

【分析】
本题分为三个小问题，解题思路如下：
1. 第(1)题：求中位数、众数、平均数，需先将数据排序，奇数个数据的中位数是排序后中间位置的数，众数是出现次数最多的数，平均数为数据总和除以数据个数。
2. 第(2)题：总评成绩是加权平均数，权重比为$3:3:4$，总权重为$10$，需用各项成绩乘以对应权重之和再除以总权重。
3. 第(3)题：先根据频数直方图确定各成绩段人数，小于80分的有10人，80分及以上的有10人；要选11人，需从80分及以上的10人中全部入选，再从小于80分的10人中选1人，据此判断圆圆和芳芳的入选情况。
【解析】
(1) 将七位评委给芳芳的分数从小到大排列：$70,74,75,81,81,82,83$。
共7个数据，第4个数据为中位数，即中位数是$81$分；
$81$出现次数最多，众数是$81$分；
平均数为$\frac{70+74+75+81+81+82+83}{7}=\frac{571}{7}=78$分。
(2) 总评成绩按$3:3:4$计算，总权重为$3+3+4=10$，则：
芳芳的总评成绩为$\frac{86×3 + 84×3 + 78×4}{10}=\frac{258+252+312}{10}=82.2$分。
(3) 由频数直方图可知，小于80分的人数为$4+6=10$人，80分及以上的人数为$7+3=10$人。
要选拔11名干事，需选10名80分及以上的学生，再选1名小于80分的学生。
圆圆的总评成绩为78.5分，属于小于80分的10人，无法确定是否为其中排名第1的学生，因此不能判断圆圆能否入选；
芳芳的总评成绩为82.2分，属于80分及以上的10人，因此芳芳能入选。
【答案】
(1) $81$；$81$；$78$
(2) $82.2$分
(3) 芳芳能入选，圆圆不能判断能否入选，理由见解析。
【知识点】
中位数、众数、加权平均数、频数分布直方图
【点评】
本题综合考查统计知识，需掌握中位数、众数、加权平均数的计算方法，能结合频数分布直方图分析数据分布，解题关键是明确加权平均数的权重计算，以及利用直方图确定成绩段人数分布，难度适中。
【难度系数】
0.5

20.(8分)定义:若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根$x_1,x_2$,且$|x_1-x_2|=1$,那么称这样的方程为“邻根方程”。例如,一元二次方程$x^2+x=0$的两个根是$x_1=0,x_2=-1$,$|0-(-1)|=1$,则方程$x^2+x=0$是“邻根方程”。
(1)判断方程$2x^2-3x+1=0$是否为“邻根方程”,并说明理由。
(2)若关于$x$的方程$x^2+3x+c=0(c$是常数$)$是“邻根方程”,求$c$的值。

20.(1)方程$2x^2-3x+1=0$不是“邻根方程”。理由如下:解方程$2x^2-3x+1=0$,得$x_1=\frac{1}{2},x_2=1$,因为$|\frac{1}{2}-1|=\frac{1}{2}≠1$,所以方程$2x^2-3x+1=0$不是“邻根方程”。
(2)设方程$x^2+3x+c=0$的两个根为α,β,根据根与系数的关系得α+β=−3,αβ=c。因为关于x的方程$x^2+3x+c=0$(c是常数)是“邻根方程”,所以|α−β|=1。所以$(α+β)^2-4αβ=1$,即$(-3)^2-4c=1$,解得c=2。

【分析】
本题围绕“邻根方程”的新定义展开，需紧扣“|x₁ - x₂|=1”的核心条件解题。第(1)问先求出方程的两个根，再计算两根差的绝对值，与1对比即可判断；第(2)问利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），将|α-β|=1转化为含两根和、积的式子，代入已知条件求解c。
【解析】
(1) 解方程2x² - 3x +1=0，因式分解得(2x-1)(x-1)=0，解得x₁=1/2，x₂=1。计算两根差的绝对值：|1/2 -1|=1/2≠1，因此方程2x² -3x +1=0不是“邻根方程”。
(2) 设方程x²+3x+c=0的两根为α、β，根据韦达定理，两根之和α+β=-3，两根之积αβ=c。因为该方程是“邻根方程”，所以|α-β|=1，两边平方得(α-β)²=1，利用完全平方公式变形得(α+β)² -4αβ=1，代入α+β=-3、αβ=c，得(-3)² -4c=1，即9-4c=1，解得c=2。
【答案】
(1) 方程2x² -3x +1=0不是“邻根方程”；(2) c的值为2。
【知识点】
一元二次方程的根、根与系数的关系（韦达定理）、新定义运算
【点评】
本题为新定义题型，重点考查一元二次方程的解法及韦达定理的应用，需准确理解“邻根方程”的定义并转化为代数关系，是常规的代数综合题。
【难度系数】
0.6