10. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（$△ ABE,△ BCF,△ CDG,△ DAH$）和一个小正方形$EFGH$拼成的大正方形$ABCD$。若$E$是$AH$的中点，连结$BH$并延长交$CD$于点$I$，$DI=1$，则线段$BI$的长为（）

A.$4$
B.$5$
C.$\sqrt{15}+1$
D.$2\sqrt{3}+1$

10.B 【解析】因为四个直角三角形全等,设∠ABE=α,则∠CDG=α。因为E是AH的中点,所以AE=EH。又因为BE⊥AH,所以BE垂直平分AH。所以AB=BH。所以∠EBH=∠ABE=α。又因为GH//EF,所以∠EBH=∠DHI=α。所以∠IHD=∠IDH。所以HI=DI=1。设AB=x,则BH=AB=x,BI=x+1。在Rt△BIC中,IC=CD−ID=x−1,BC=x,$BI^2=IC^2+BC^2$,即$(x+1)^2=(x-1)^2+x^2$,解得x=4或x=0(舍去),所以BI=5。故选B。

【分析】
本题是赵爽弦图相关的几何计算问题，解题思路如下：1. 利用赵爽弦图中四个直角三角形全等的性质，结合E是AH中点、BE⊥AH的条件，推出BE垂直平分AH，得到AB=BH；2. 通过角的等量关系，推导出HI=DI=1；3. 设大正方形边长为x，在Rt△BIC中利用勾股定理建立方程，求解边长后计算BI的长度。
【解析】
根据赵爽弦图的性质，四个直角三角形△ABE、△BCF、△CDG、△DAH全等，因此BE⊥AH。已知E是AH的中点，故BE垂直平分AH，可得AB=BH。设∠ABE=α，则∠EBH=∠ABE=α，又因GH//EF，所以∠DHI=∠EBH=α，而∠IDH=∠ABE=α，因此∠IHD=∠IDH，故HI=DI=1。设大正方形ABCD的边长为x，则BH=AB=x，BI=BH+HI=x+1，IC=CD-DI=x-1，BC=x。在Rt△BIC中，由勾股定理得：$BI^2=IC^2+BC^2$，即$(x+1)^2=(x-1)^2+x^2$，展开整理得$x^2-4x=0$，解得x=4（x=0舍去），因此BI=x+1=5。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理、正方形性质、垂直平分线性质
【点评】
本题结合赵爽弦图的几何特征，综合运用垂直平分线性质、角的等量关系和勾股定理求解，需要熟练掌握正方形和直角三角形的相关性质，逻辑推导要求较高。
【难度系数】
0.5

11.$\sqrt{2}+\sqrt{8}=$。

11.$3\sqrt{2}$

【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路是：先将算式中的非最简二次根式化简为最简二次根式，再识别出同类二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：先化简非最简二次根式：$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，
则原式$= \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (1 + 2)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简、同类二次根式的合并
【点评】
本题是二次根式加减的基础计算题，核心是掌握二次根式化简及同类二次根式合并的方法，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8

12. 六边形的内角和等于°。

12.720

【分析】首先回忆多边形内角和的计算公式，n边形的内角和为$(n-2)×180°$，本题是六边形，边数$n=6$，将$n$代入公式即可计算出内角和。
【解析】根据多边形内角和公式：$n$边形内角和=$(n-2)×180°$，对于六边形，$n=6$，代入得：$(6-2)×180°=4×180°=720°$。
【答案】720
【知识点】多边形内角和公式
【点评】本题考查多边形内角和公式的基础应用，属于几何基础题，只要牢记公式并正确代入边数计算就能得出结果，难度较低。
【难度系数】0.9

13. 已知关于$ x $的方程$ 3x^2 + kx - 2 = 0 $的一个根为2，则另一个根为________。

13.$-\frac{1}{3}$

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需先求参数k，直接通过两根之积的关系计算另一个根。首先明确：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），两根$x_1$、$x_2$满足$x_1·x_2 = \frac{c}{a}$。已知方程的一个根为2，设另一个根为$x$，代入公式即可快速求解。
【解析】
设方程的另一个根为$x$，对于方程$3x^2 + kx - 2 = 0$，二次项系数$a=3$，常数项$c=-2$。根据韦达定理，两根之积为$\frac{c}{a}$，因此：
$2·x = \frac{-2}{3}$
两边同时除以2，解得：
$x = \frac{-2}{3}÷2 = -\frac{1}{3}$
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型，利用韦达定理可简化计算，避免了先求参数$k$再解方程的繁琐步骤，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8

14.已知某组数据的方差为$S^2=\frac{1}{4}[(3-\overline{x})^2+(4-\overline{x})^2+(7-\overline{x})^2+(10-\overline{x})^2]$，则$\overline{x}$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

14.6

15.一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度$h(\mathrm{m})$和经过的水平距离$d(\mathrm{m})$可用公式$h=d-0.01d^2$来估计。当球的高度第二次达到$16\ \mathrm{m}$时，球的水平距离是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$。

15.80 【解析】令h=16,则$d-0.01d^2=16$,解得$d_1=20,d_2=80$,因为80＞20,所以当球的高度第二次达到16 m时,球的水平距离是80 m。

【分析】
要解决这个问题，需将高度$h=16\ \mathrm{m}$代入给定公式，得到关于水平距离$d$的一元二次方程；由于公式对应的是开口向下的抛物线，同一高度会对应两个水平距离，较小的是第一次达到该高度的距离，较大的是第二次达到的距离，因此解方程后取较大的根即可。
【解析】
令球的高度$h=16\ \mathrm{m}$，代入公式$h=d-0.01d^2$，得：
$d - 0.01d^2 = 16$
整理为标准一元二次方程形式：
$0.01d^2 - d + 16 = 0$
两边同乘100消去小数：
$d^2 - 100d + 1600 = 0$
因式分解得：
$(d - 20)(d - 80) = 0$
解得：$d_1=20$，$d_2=80$
因为二次函数$h=d-0.01d^2$的图像开口向下，当$h=16$时，较小的$d=20$是第一次达到该高度的水平距离，较大的$d=80$是第二次达到该高度的水平距离。
【答案】
80
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，核心是利用二次函数与一元二次方程的关系求解，需理解同一函数值对应两个自变量值的实际意义，区分两次达到同一高度的水平距离，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6

16. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD的延长线上,连结AE,AF,EF,AE与CF交于点G。已知∠EAF=45°,AB=3。有以下四个结论:①BE−DF=EF;②∠AEF=∠AEB;③GF=GE;④若DF=1,则△AEF的面积为7.5。其中正确的是。(填序号)

16.①②④ 【解析】如图,在BC上截取BH=DF,连结AH,GH。因为四边形ABCD为正方形,所以AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠B=∠BCD=∠CDA=90°。所以∠B=∠ADF=90°。在△ABH和△ADF中,因为$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠B=∠ADF=90°, \\ BH=DF, \end{cases}$所以△ABH≌△ADF(SAS)。所以AH=AF,∠BAH=∠DAF,∠AHB=∠AFD。因为∠EAF=∠EAD+∠DAF=45°,所以∠EAD+∠BAH=45°。所以∠EAH=∠DAB−(∠EAD+∠BAH)=90°−45°=45°。所以∠EAH=∠EAF=45°。在△EAH和△EAF中,因为$\begin{cases} AH=AF, \\ ∠EAH=∠EAF, \\ EA=EA, \end{cases}$所以△EAH≌△EAF(SAS)。所以EH=EF。因为EH=BE−BH=BE−DF,所以BE−DF=EF,故①正确。因为△EAH≌△EAF,所以∠AEF=∠AEB,故②正确。设∠DAF=α,所以∠BAH=∠DAF=α。所以∠AHB=∠AFD=90°−α。因为∠EAH=45°,所以∠EAB=∠EAH+∠BAH=45°+α。所以∠AEB=90°−∠EAB=90°−(45°+α)=45°−α。在△AHG和△AFG中,因为$\begin{cases} AH=AF, \\ ∠EAH=∠EAF, \\ AG=AG, \end{cases}$所以△AHG≌△AFG(SAS)。所以∠AHG=∠AFD=90°−α,GH=GF。所以∠BHG=∠AHB+∠AHG=90°−α+90°−α=180°−2α。所以∠GHE=180°−∠BHG=180°−(180°−2α)=2α。所以∠AEB不一定等于∠GHE。所以GE不一定等于GH,即GF不一定等于GE,故③不正确。设EH=EF=x。因为DF=1,AB=3,所以CH=2,CF=4,CE=x−2。在Rt△CEF中,$CE^2+CF^2=EF^2$,所以$(x-2)^2+4^2=x^2$,解得x=5。所以EH=5。所以$S_{△ AEF}=S_{△ EAH}=\frac{1}{2}EH·AB=\frac{1}{2}×5×3=7.5$,故④正确。综上所述,正确的结论是①②④。

【分析】
本题是正方形背景下的几何结论判断题，核心是利用正方形的性质，结合∠EAF=45°的条件，通过截取线段构造全等三角形（半角模型的常用辅助线），逐步推导线段、角的关系来判断结论。解题时，先在BC上截取BH=DF，连接AH、GH，通过两次全等三角形的证明，转化线段和角，再结合勾股定理、三角形面积公式验证各结论。
【解析】
如图，在BC上截取BH=DF，连结AH，GH。
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠CDA=90°，
∴∠B=∠ADF=90°。
在△ABH和△ADF中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠B=∠ADF=90°, \\ BH=DF, \end{cases}$
∴△ABH≌△ADF(SAS)，
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF，∠AHB=∠AFD。
∵∠EAF=∠EAD+∠DAF=45°，
∴∠EAD+∠BAH=45°，
∴∠EAH=∠DAB−(∠EAD+∠BAH)=90°−45°=45°，
∴∠EAH=∠EAF=45°。
在△EAH和△EAF中，
$\begin{cases} AH=AF, \\ ∠EAH=∠EAF, \\ EA=EA, \end{cases}$
∴△EAH≌△EAF(SAS)，
∴EH=EF，∠AEF=∠AEB。
∵EH=BE−BH=BE−DF，
∴BE−DF=EF，故①正确；
由△EAH≌△EAF得∠AEF=∠AEB，故②正确。
设∠DAF=α，则∠BAH=α，∠AHB=∠AFD=90°−α，
∠EAB=∠EAH+∠BAH=45°+α，
∴∠AEB=90°−∠EAB=45°−α。
在△AHG和△AFG中，
$\begin{cases} AH=AF, \\ ∠EAH=∠EAF, \\ AG=AG, \end{cases}$
∴△AHG≌△AFG(SAS)，
∴∠AHG=∠AFD=90°−α，GH=GF，
∴∠BHG=∠AHB+∠AHG=180°−2α，
∴∠GHE=180°−∠BHG=2α，
∠AEB=45°−α，只有当α=22.5°时∠AEB=∠GHE，故GE不一定等于GH，即GF不一定等于GE，③错误。
若DF=1，AB=3，则BH=1，CH=BC−BH=2，CF=CD+DF=4，
设EH=EF=x，则CE=EH−CH=x−2，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：$(x-2)^2+4^2=x^2$，
解得x=5，
∴$S_{△AEF}=S_{△EAH}=\frac{1}{2}×EH×AB=\frac{1}{2}×5×3=7.5$，故④正确。
【答案】①②④
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】本题是正方形半角模型的典型应用，需通过构造辅助线转化线段和角，考查对全等三角形、正方形性质的综合运用，关键是合理构造全等三角形集中分散的条件。
【难度系数】0.5

17.(8分)计算:
(1)$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$。
(2)$(2-\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$。

17.(1)原式=5−3=2。
(2)原式=$6+4\sqrt{2}-3\sqrt{2}-4=2+\sqrt{2}$。

【分析】本题考查二次根式的乘法运算，第(1)小题的式子符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式简化计算；第(2)小题是多项式乘多项式，按照多项式乘法法则展开后合并同类项即可，计算时要注意二次根式的运算规则。
【解析】
(1) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{3}$，则：
原式$=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 =5-3=2$；
(2) 根据多项式乘多项式法则，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项：
原式$=2×3 + 2×2\sqrt{2} - \sqrt{2}×3 - \sqrt{2}×2\sqrt{2}$
$=6 +4\sqrt{2} -3\sqrt{2} -4$
$=(6-4)+(4\sqrt{2}-3\sqrt{2})$
$=2+\sqrt{2}$；
【答案】(1)$2$；(2)$2+\sqrt{2}$；
【知识点】二次根式的乘法、平方差公式、多项式乘多项式；
【点评】本题为二次根式运算的基础题，主要考查平方差公式和多项式乘法法则的应用，计算过程中需注意二次根式的平方运算及同类二次根式的合并，属于对基础知识的常规考查，难度适中。
【难度系数】0.7

18.(8分)图1,图2均是$6×6$的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点。请按要求作图,所作图形的顶点均要落在格点上。
(1)如图1,已知A,B两点是格点,以AB为边作一个面积为6的平行四边形ABCD。
(2)如图2,作一个面积为6的菱形。

18.(1)如图1。
(2)如图2。

【分析】
本题要求在6×6网格中以格点为顶点作图。(1)需作以AB为边、面积为6的平行四边形，利用平行四边形面积公式结合格点坐标确定顶点；(2)需作面积为6的菱形，利用菱形面积公式选取合适对角线长度找到格点顶点。
【解析】
(1) 设A的格点坐标为(1,1)，B的格点坐标为(2,3)，向量$\overrightarrow{AB}=(1,2)$。根据平行四边形对边平行且相等，取向量$\overrightarrow{AD}=(3,0)$，则D点坐标为$(1+3,1)=(4,1)$，C点坐标为$B+\overrightarrow{AD}=(2+3,3)=(5,3)$，顺次连接A、B、C、D，所得平行四边形面积为6，满足要求。
(2) 菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}d_1d_2$，取$d_1=4$，$d_2=3$，则$S=\frac{1}{2}×4×3=6$。在网格中取四个格点：(1,3)、(3,1)、(5,3)、(3,5)，顺次连接这四个点，得到面积为6的菱形，顶点均为格点，符合要求。
【答案】
(1) 所作平行四边形如图1；(2) 所作菱形如图2。
【知识点】
平行四边形面积、菱形面积、格点作图
【点评】
本题结合网格考查平行四边形和菱形的作图，核心是利用面积公式确定顶点位置，属于中等难度的几何作图题，需熟悉图形性质和网格特点。
【难度系数】
0.5