23. (10分)某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车,2021年每辆汽车的日租金为100元,由于物价上涨,2023年日租金上涨到121元。
(1)求2021年至2023年日租金的年平均增长率。
(2)经市场调研发现,从2023年开始,当每辆汽车的日租金定为121元时,汽车可全部租出;日租金每增加1元,就要少租出2辆。已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元,为每辆未租出的汽车支付各类费用10元。
①在每辆汽车的日租金为121元的基础上,设上涨$y$元,则每辆汽车的日租金为元,实际能租出辆车。
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时,该租赁公司的日收益可达28200元?(日收益$=$总租金$-$各类费用)

23.(1)设2021年至2023年日租金的年平均增长率为x。根据题意,得$100(1+x)^2=121$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(不符合题意,舍去)。所以2021年至2023年日租金的年平均增长率为10%。
(2)①$(121+y)$ $(300-2y)$
②根据题意,得$(121+y)(300-2y)-31(300-2y)-10[300-(300-2y)]=28200$,解得$y_1=20$,$y_2=30$。所以当每辆汽车的日租金上涨20或30元时,该租赁公司的日收益可达28200元。

【分析】
本题分为两小问，第(1)问是增长率问题，需利用年平均增长率的公式建立一元二次方程求解，注意舍去不符合实际的负根；第(2)问是经济利润问题，①根据“日租金上涨$ y $元”直接表示日租金，根据“每涨1元少租2辆”表示租出车辆数；②需明确日收益的计算方式：总租金减去租出车辆的费用，再减去未租出车辆的费用，据此建立方程求解，最后得到上涨的金额。
【解析】
(1)设2021年至2023年日租金的年平均增长率为$ x $，根据2021年日租金×$(1+增长率)^2$=2023年日租金，列方程：
$ 100(1+x)^2 = 121 $
解方程得：$ 1+x = \pm1.1 $，即$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = -2.1 $（增长率不能为负，舍去）。
所以年平均增长率为10%。
(2)① 日租金在121元基础上涨$ y $元，故日租金为$ (121+y) $元；每涨1元少租2辆，涨$ y $元少租$ 2y $辆，实际租出$ 300 - 2y $辆。
② 日收益=总租金 - 租出车辆费用 - 未租出车辆费用，其中：
总租金：$ (121+y)(300-2y) $；
租出车辆费用：$ 31(300-2y) $；
未租出车辆数：$ 300 - (300-2y) = 2y $，未租出车辆费用：$ 10×2y $；
根据日收益为28200元，列方程：
$ (121+y)(300-2y) - 31(300-2y) - 10×2y = 28200 $
化简整理得：$ y^2 -50y +600=0 $，因式分解得$ (y-20)(y-30)=0 $，解得$ y_1=20 $，$ y_2=30 $，均符合实际意义。
【答案】
(1)10%；
(2)①$ (121+y) $，$ (300-2y) $；②20元或30元。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元二次方程的应用（经济利润问题）
【点评】
本题结合汽车租赁的实际场景，考查一元二次方程在增长率和经济利润问题中的应用，关键是准确理解题意找到等量关系，需注意舍去不符合实际的解，整体难度适中，能有效考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.6