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11. 当$a=$
-2
时，关于$x$的一元二次方程$a^2x^2+(2a-1)x+1=0$有一个根为$1$。答案
11.-2
12. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $(a - 1)x^2 + x + a^2 + 2a - 3 = 0$ 的一个根是 $ 0 $，则 $ a $ 的值是
-3
。答案
12.-3
13. 已知关于$ x $的一元二次方程$ ax^2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) $有一个根为$-2$，则$\dfrac{2b - 1}{a}$的值为________。
答案
13.4
14.(湖州市吴兴区)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(m-1)x+\frac{1}{4}m^{2}=0$有两个实数根，则$m$的取值范围是$\underline{\hspace{3em}}$。
答案
14.$m≤\frac{1}{2}$
15. 对于实数 $ p,q $，定义一种运算“☆”：$ p☆q = pq + p + q $。如果关于 $ x $ 的方程 $ x☆(a+x) = -2 $ 有两个相等的实数根，那么满足条件的实数 $ a $ 的值是
$\pm2$
。答案
15.$\pm2$
16. 等腰三角形各边长分别为$a,b,5$，且$a,b$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + n - 1 = 0$的两根，则$n$的值为________。
答案
16.10或6
17.(8分)已知关于x的方程$x^2+ax+a-1=0$。
(1)若该方程的一个根为4,求a的值及方程的另一个根。
(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个实数根。
(1)若该方程的一个根为4,求a的值及方程的另一个根。
(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个实数根。
答案
17.(1)将$x=4$代入方程$x^{2}+ax+a-1=0$得$16+4a+a-1=0$,解得$a=-3$。所以方程为$x^{2}-3x-4=0$。解方程得$x_1=4,x_2=-1$,所以方程的另一根为$-1$。
(2)因为$\Delta=a^{2}-4(a-1)=(a-2)^{2}≥0$,所以不论$a$取何实数,该方程都有两个实数根。
(2)因为$\Delta=a^{2}-4(a-1)=(a-2)^{2}≥0$,所以不论$a$取何实数,该方程都有两个实数根。
18.(8分)已知关于$x$的方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 = 0$有两个实数根。
(1)求$m$的取值范围。
(2)当$m$取最小整数时,求这两个实数根。
(1)求$m$的取值范围。
(2)当$m$取最小整数时,求这两个实数根。
答案
18.(1)因为关于$x$的方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}=0$有两个实数根,所以$\Delta=[-2(m+1)]^{2}-4m^{2}=8m+4≥0$。
所以$m≥-\frac{1}{2}$。
(2)当$m$为最小整数时,$m$的值为0。当$m=0$时,方程为$x^{2}-2x=0$。所以$x(x-2)=0$。所以$x=0$或$x-2=0$。所以$x_1=0,x_2=2$。
所以$m≥-\frac{1}{2}$。
(2)当$m$为最小整数时,$m$的值为0。当$m=0$时,方程为$x^{2}-2x=0$。所以$x(x-2)=0$。所以$x=0$或$x-2=0$。所以$x_1=0,x_2=2$。
