19. (8分)(温州市)已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。
(1)若方程的一个根为2,求$\frac{2b+c}{a}$的值。
(2)当$b-ac=1$时,求证:方程有两个实数根。

19.(1)因为一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的一个根为2,所以$4a+2b+c=0$。所以$2b+c=-4a$。
因为$a≠0$,所以$\frac{2b+c}{a}=-4$。
(2)因为$b-ac=1$,所以$ac=b-1$。
因为$\Delta=b^{2}-4ac=b^{2}-4(b-1)=b^{2}-4b+4=(b-2)^{2}≥0$,所以方程有两个实数根。

20.(8分)(杭州市钱塘区)已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k(k-1)=0$。
(1)求证:该方程必有两个不相等的实数根。
(2)若$x_1,x_2$是该方程的两个根,且满足$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}$,求$k$的值。

20.(1)因为一元二次方程为$x^{2}+(2k-1)x+k(k-1)=0$,所以$\Delta=(2k-1)^{2}-4k(k-1)=4k^{2}-4k+1-4k^{2}+4k=1＞0$。
所以该方程必有两个不相等的实数根。
(2)由题意得,$x_1+x_2=-2k+1$,$x_1x_2=k(k-1)=k^{2}-k$,所以$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-2k+1}{k^{2}-k}$。
又因为$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}$,所以$\frac{-2k+1}{k^{2}-k}=\frac{3}{2}$。所以$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$。

21. (10分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2-3=0$有实数根。
(1)求实数$m$的取值范围。
(2)当$m=2$时,方程的根为$x_1,x_2$,求代数式$(x_1^2+2x_1)(x_2^2+4x_2+2)$的值。

21.(1)由题意得$\Delta≥0$,所以$(2m-1)^{2}-4(m^{2}-3)≥0$。所以$m≤\frac{13}{4}$。
(2)当$m=2$时,方程为$x^{2}+3x+1=0$。因为方程的根为$x_1,x_2$,所以$x_1+x_2=-3$,$x_1x_2=1$,且$x_1^{2}+3x_1+1=0$,$x_2^{2}+3x_2+1=0$。所以$(x_1^{2}+2x_1)(x_2^{2}+4x_2+2)=(x_1^{2}+2x_1+x_1-x_1)(x_2^{2}+3x_2+x_2+2)=(-1-x_1)(-1+x_2+2)=(-1-x_1)(x_2+1)=-x_2-x_1x_2-1-x_1=-(x_1+x_2)-x_1x_2-1=-(-3)-1-1=1$。