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1. 李师傅有一根长为10 m的木料，要截成几段长分别为1 m和2 m的短木料，在没有余料的前提下，不同的截法有 （
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
B
）A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
答案
1. B
解析
【分析】要解决这个问题，我们可以通过设未知数建立等量关系求解。首先设1m长的短木料有x段，2m长的短木料有y段，根据木料总长10m且无余料，可得到方程x+2y=10。同时题目要求截出1m和2m两种短木料，因此x、y都必须是正整数（段数不能为0、负数或小数），接下来只需找出该方程所有符合要求的正整数解，解的个数就是不同截法的数量。
【解析】解：设截成1m长的木料x段，2m长的木料y段，根据题意可得：
$x + 2y = 10$，且x、y均为正整数。
整理得$x = 10 - 2y$，
因为$x ＞ 0$，所以$10 - 2y ＞ 0$，解得$y ＜ 5$，
又因为y是正整数，所以y的取值为1、2、3、4，
对应x的取值分别为8、6、4、2，均符合要求，
因此共有4种不同的截法。
【答案】B
【知识点】二元一次方程的整数解；实际方案设计
【点评】本题是结合生活实际的方案设计类题目，解题时要注意结合题干的隐含要求确定未知数的取值范围，避免多算或漏算不符合实际意义的解。
【难度系数】0.7
【解析】解：设截成1m长的木料x段，2m长的木料y段，根据题意可得：
$x + 2y = 10$，且x、y均为正整数。
整理得$x = 10 - 2y$，
因为$x ＞ 0$，所以$10 - 2y ＞ 0$，解得$y ＜ 5$，
又因为y是正整数，所以y的取值为1、2、3、4，
对应x的取值分别为8、6、4、2，均符合要求，
因此共有4种不同的截法。
【答案】B
【知识点】二元一次方程的整数解；实际方案设计
【点评】本题是结合生活实际的方案设计类题目，解题时要注意结合题干的隐含要求确定未知数的取值范围，避免多算或漏算不符合实际意义的解。
【难度系数】0.7
2. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x+y=0,\\ax+5y=4\end{cases}$与$\begin{cases}x-y=3,\\5x+by=1\end{cases}$有相同的解，则$a$和$b$的值为（ ）
A.$\begin{cases}a=-6,\\b=2\end{cases}$
B.$\begin{cases}a=14,\\b=-2\end{cases}$
C.$\begin{cases}a=-6,\\b=-2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a=14,\\b=2\end{cases}$
A.$\begin{cases}a=-6,\\b=2\end{cases}$
B.$\begin{cases}a=14,\\b=-2\end{cases}$
C.$\begin{cases}a=-6,\\b=-2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a=14,\\b=2\end{cases}$
答案
2. D
解析
【分析】
题目中两个二元一次方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。解题时可以先把不含参数a、b的两个方程组合成新的二元一次方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含有a、b的两个方程中，即可求出a、b的数值。
【解析】
∵两个方程组有相同的解，
∴该解同时满足方程$2x+y=0$和$x-y=3$
联立得新方程组：$\begin{cases}2x+y=0\\x-y=3\end{cases}$
将两个方程相加，得：$3x=3$，解得$x=1$
把$x=1$代入$x-y=3$，得：$1-y=3$，解得$y=-2$
把$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$ax+5y=4$，得：$a×1 +5×(-2)=4$，即$a-10=4$，解得$a=14$
把$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$5x+by=1$，得：$5×1 +b×(-2)=1$，即$5-2b=1$，解得$b=2$
∴$\begin{cases}a=14\\b=2\end{cases}$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代入求值
【点评】
本题解题的核心是理解“相同的解”的含义，即公共解满足所有方程，先求公共解再代入求参数是这类题型的通用解法，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
题目中两个二元一次方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。解题时可以先把不含参数a、b的两个方程组合成新的二元一次方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含有a、b的两个方程中，即可求出a、b的数值。
【解析】
∵两个方程组有相同的解，
∴该解同时满足方程$2x+y=0$和$x-y=3$
联立得新方程组：$\begin{cases}2x+y=0\\x-y=3\end{cases}$
将两个方程相加，得：$3x=3$，解得$x=1$
把$x=1$代入$x-y=3$，得：$1-y=3$，解得$y=-2$
把$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$ax+5y=4$，得：$a×1 +5×(-2)=4$，即$a-10=4$，解得$a=14$
把$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$5x+by=1$，得：$5×1 +b×(-2)=1$，即$5-2b=1$，解得$b=2$
∴$\begin{cases}a=14\\b=2\end{cases}$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代入求值
【点评】
本题解题的核心是理解“相同的解”的含义，即公共解满足所有方程，先求公共解再代入求参数是这类题型的通用解法，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
3. 小亮解方程组$\begin{cases}2x + y = ●, \\2x - y = 12,\end{cases}$求出的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = ■.\end{cases}$由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和■，则这两个数的值为（ ）
答案
3. B
解析
【分析】
首先明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中所有方程的x、y的值，已知解中x=5，我们可以先将x=5代入没有被墨水遮挡的方程2x - y=12，先求出y即被遮挡的■的值，再将x和求出的y代入第一个方程2x + y，即可算出被遮挡的●的值，最后对应选项选出答案。
【解析】
1. 求■的值：
将x=5代入方程$2x - y = 12$，可得：
$2×5 - y = 12$
计算得$10 - y = 12$，移项得$y = 10 - 12 = -2$，即$\boxed{■=-2}$。
2. 求●的值：
将$x=5$，$y=-2$代入方程$2x + y = ●$，可得：
$●=2×5 + (-2) = 10 - 2 = 8$，即$\boxed{●=8}$。
因此两个数分别为●=8，■=-2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解，代入法求值
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是理解二元一次方程组的解的性质，即解会满足方程组中的每一个方程，先借助完整的方程求出未知的y值，再计算另一个被遮挡的数值即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
首先明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中所有方程的x、y的值，已知解中x=5，我们可以先将x=5代入没有被墨水遮挡的方程2x - y=12，先求出y即被遮挡的■的值，再将x和求出的y代入第一个方程2x + y，即可算出被遮挡的●的值，最后对应选项选出答案。
【解析】
1. 求■的值：
将x=5代入方程$2x - y = 12$，可得：
$2×5 - y = 12$
计算得$10 - y = 12$，移项得$y = 10 - 12 = -2$，即$\boxed{■=-2}$。
2. 求●的值：
将$x=5$，$y=-2$代入方程$2x + y = ●$，可得：
$●=2×5 + (-2) = 10 - 2 = 8$，即$\boxed{●=8}$。
因此两个数分别为●=8，■=-2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解，代入法求值
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是理解二元一次方程组的解的性质，即解会满足方程组中的每一个方程，先借助完整的方程求出未知的y值，再计算另一个被遮挡的数值即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
4. 如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每块长方形地砖的面积是 （
A.$200\ \mathrm{cm}^2$
B.$300\ \mathrm{cm}^2$
C.$600\ \mathrm{cm}^2$
D.$2\ 400\ \mathrm{cm}^2$
B
）A.$200\ \mathrm{cm}^2$
B.$300\ \mathrm{cm}^2$
C.$600\ \mathrm{cm}^2$
D.$2\ 400\ \mathrm{cm}^2$
答案
4. B
解析
【分析】
要解决本题，需先从拼接图中找到长方形地砖长和宽的等量关系，通过设未知数列方程求出长和宽，再计算地砖面积。首先观察大长方形的侧边：大长方形的宽为40cm，恰好等于1块地砖的长加1块地砖的宽；再观察地砖的拼接规律：1块地砖的长等于3块地砖的宽（3块横放地砖的宽度和与1块竖放地砖的长度相等）。联立两个等量关系即可求出长、宽，进而得到面积。
【解析】
设每块长方形地砖的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 40 \\x = 3y\end{cases}$
将$x=3y$代入$x+y=40$，得：
$3y + y = 40$
解得$y=10$
把$y=10$代入$x=3y$，得$x=3×10=30$
因此每块地砖的面积为$x× y=30×10=300\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；长方形面积计算
【点评】
本题属于图形拼接类的应用题，解题核心是从拼接图中准确提取未知量的等量关系，考查了读图分析能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先从拼接图中找到长方形地砖长和宽的等量关系，通过设未知数列方程求出长和宽，再计算地砖面积。首先观察大长方形的侧边：大长方形的宽为40cm，恰好等于1块地砖的长加1块地砖的宽；再观察地砖的拼接规律：1块地砖的长等于3块地砖的宽（3块横放地砖的宽度和与1块竖放地砖的长度相等）。联立两个等量关系即可求出长、宽，进而得到面积。
【解析】
设每块长方形地砖的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 40 \\x = 3y\end{cases}$
将$x=3y$代入$x+y=40$，得：
$3y + y = 40$
解得$y=10$
把$y=10$代入$x=3y$，得$x=3×10=30$
因此每块地砖的面积为$x× y=30×10=300\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；长方形面积计算
【点评】
本题属于图形拼接类的应用题，解题核心是从拼接图中准确提取未知量的等量关系，考查了读图分析能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
5. 小高家到学校的路程为1 200 m，由一段上坡路和一段下坡路组成. 她去学校共用了16 min. 假设小高在上坡路的平均速度是3 km/h，在下坡路的平均速度是5 km/h. 若设小高上坡用了$x$ min，下坡用了$y$ min，根据题意可列方程组为 （
A.$\begin{cases} 3x + 5y = 1\ 200, \\ x + y = 16 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x + 5y = 1.2, \\ x + y = 16 \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{3}{60}x + \dfrac{5}{60}y = 1.2, \\ x + y = 16 \end{cases}$
D.$\begin{cases} \dfrac{3}{60}x + \dfrac{5}{60}y = 1\ 200, \\ x + y = 16 \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} 3x + 5y = 1\ 200, \\ x + y = 16 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x + 5y = 1.2, \\ x + y = 16 \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{3}{60}x + \dfrac{5}{60}y = 1.2, \\ x + y = 16 \end{cases}$
D.$\begin{cases} \dfrac{3}{60}x + \dfrac{5}{60}y = 1\ 200, \\ x + y = 16 \end{cases}$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先找题目中的两个等量关系：一是上坡时间加下坡时间等于总用时16min；二是上坡路程加下坡路程等于总路程1200m。需要特别注意单位统一：速度单位是km/h，时间单位是min，路程给出的是m，要先把时间换算为小时、路程换算为千米，再根据“路程=速度×时间”列第二个方程，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步，根据总时间列第一个方程：上坡用时$x$min，下坡用时$y$min，总用时16min，可得$x+y=16$。
第二步，统一单位：1h=60min，故$x$min换算为小时为$\frac{x}{60}$h，$y$min换算为小时为$\frac{y}{60}$h；总路程1200m=1.2km。
第三步，根据总路程列第二个方程：上坡路程=上坡速度×上坡时间=$3×\frac{x}{60}$km，下坡路程=下坡速度×下坡时间=$5×\frac{y}{60}$km，总路程为1.2km，可得$\frac{3}{60}x+\frac{5}{60}y=1.2$。
联立两个方程，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用；行程问题；单位换算
【点评】
本题考查实际问题中二元一次方程组的列写，解题的核心是找准等量关系，易错点为忽略单位的统一，计算时要保证速度、时间、路程三者的单位匹配，避免因单位混用导致列式错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先找题目中的两个等量关系：一是上坡时间加下坡时间等于总用时16min；二是上坡路程加下坡路程等于总路程1200m。需要特别注意单位统一：速度单位是km/h，时间单位是min，路程给出的是m，要先把时间换算为小时、路程换算为千米，再根据“路程=速度×时间”列第二个方程，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步，根据总时间列第一个方程：上坡用时$x$min，下坡用时$y$min，总用时16min，可得$x+y=16$。
第二步，统一单位：1h=60min，故$x$min换算为小时为$\frac{x}{60}$h，$y$min换算为小时为$\frac{y}{60}$h；总路程1200m=1.2km。
第三步，根据总路程列第二个方程：上坡路程=上坡速度×上坡时间=$3×\frac{x}{60}$km，下坡路程=下坡速度×下坡时间=$5×\frac{y}{60}$km，总路程为1.2km，可得$\frac{3}{60}x+\frac{5}{60}y=1.2$。
联立两个方程，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用；行程问题；单位换算
【点评】
本题考查实际问题中二元一次方程组的列写，解题的核心是找准等量关系，易错点为忽略单位的统一，计算时要保证速度、时间、路程三者的单位匹配，避免因单位混用导致列式错误。
【难度系数】
0.7
