登录
10. 已知关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}ax + 5y = 15, & ① \\4x - by = -2, & ②\end{cases}$ 甲看错了方程①中的 $ a $，得到方程组的解为 $\begin{cases}x = -3, \\y = 1;\end{cases}$ 乙看错了方程②中的 $ b $，得到方程组的解为 $\begin{cases}x = 1, \\y = 4.\end{cases}$ 若按正确的 $ a $，$ b $ 计算，求原方程组的解。
答案
10. 解：把$\begin{cases}x=-3, \\y=1\end{cases}$代入②中，
得$-12-b=-2.$
解得$b=-10.$
把$\begin{cases}x=1, \\y=4\end{cases}$代入①中，得$a+20=15.$
解得$a=-5.$
所以原方程组为$\begin{cases}-5x+5y=15, \\4x+10y=-2.\end{cases}$
整理，得$\begin{cases}-x+y=3，③ \\2x+5y=-1. ④\end{cases}$
③$×2+$④，得$7y=5.$
解得$y=\frac{5}{7}.$
把$y=\frac{5}{7}$代入③，得$-x+\frac{5}{7}=3.$
解得$x=-\frac{16}{7}.$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-\frac{16}{7}, \\y=\frac{5}{7}.\end{cases}$
得$-12-b=-2.$
解得$b=-10.$
把$\begin{cases}x=1, \\y=4\end{cases}$代入①中，得$a+20=15.$
解得$a=-5.$
所以原方程组为$\begin{cases}-5x+5y=15, \\4x+10y=-2.\end{cases}$
整理，得$\begin{cases}-x+y=3，③ \\2x+5y=-1. ④\end{cases}$
③$×2+$④，得$7y=5.$
解得$y=\frac{5}{7}.$
把$y=\frac{5}{7}$代入③，得$-x+\frac{5}{7}=3.$
解得$x=-\frac{16}{7}.$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-\frac{16}{7}, \\y=\frac{5}{7}.\end{cases}$
解析
【分析】
解题思路如下：甲只看错了方程①中的$a$，说明他得到的解仍满足未看错的方程②，因此可以将甲的解代入②求出正确的$b$值；同理，乙只看错了方程②中的$b$，他得到的解仍满足未看错的方程①，将乙的解代入①即可求出正确的$a$值。得到正确的$a$、$b$后写出原方程组，再用加减消元法求解即可。
【解析】
把$\begin{cases}x=-3, \\y=1\end{cases}$代入方程②，得：
$4×(-3)-b×1=-2$，即$-12-b=-2$，解得$b=-10$。
把$\begin{cases}x=1, \\y=4\end{cases}$代入方程①，得：
$a×1+5×4=15$，即$a+20=15$，解得$a=-5$。
因此原方程组为$\begin{cases}-5x+5y=15, \\4x+10y=-2.\end{cases}$
整理化简得：$\begin{cases}-x+y=3，③ \\2x+5y=-1. ④\end{cases}$
将③$×2+$④，得$7y=5$，解得$y=\frac{5}{7}$。
把$y=\frac{5}{7}$代入③，得$-x+\frac{5}{7}=3$，解得$x=-\frac{16}{7}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-\dfrac{16}{7}, \\y=\dfrac{5}{7}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解的意义；解二元一次方程组
【点评】
本题关键是理解“看错单个方程的系数时，所得解对另一个未看错的方程仍然成立”，先代入求出正确系数，再求解标准二元一次方程组，考察对概念的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：甲只看错了方程①中的$a$，说明他得到的解仍满足未看错的方程②，因此可以将甲的解代入②求出正确的$b$值；同理，乙只看错了方程②中的$b$，他得到的解仍满足未看错的方程①，将乙的解代入①即可求出正确的$a$值。得到正确的$a$、$b$后写出原方程组，再用加减消元法求解即可。
【解析】
把$\begin{cases}x=-3, \\y=1\end{cases}$代入方程②，得：
$4×(-3)-b×1=-2$，即$-12-b=-2$，解得$b=-10$。
把$\begin{cases}x=1, \\y=4\end{cases}$代入方程①，得：
$a×1+5×4=15$，即$a+20=15$，解得$a=-5$。
因此原方程组为$\begin{cases}-5x+5y=15, \\4x+10y=-2.\end{cases}$
整理化简得：$\begin{cases}-x+y=3，③ \\2x+5y=-1. ④\end{cases}$
将③$×2+$④，得$7y=5$，解得$y=\frac{5}{7}$。
把$y=\frac{5}{7}$代入③，得$-x+\frac{5}{7}=3$，解得$x=-\frac{16}{7}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-\dfrac{16}{7}, \\y=\dfrac{5}{7}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解的意义；解二元一次方程组
【点评】
本题关键是理解“看错单个方程的系数时，所得解对另一个未看错的方程仍然成立”，先代入求出正确系数，再求解标准二元一次方程组，考察对概念的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
11. 某公司欲将本地脐橙运往外地销售，用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走10 t；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走11 t. 现有脐橙31 t，计划租用a辆A型车和b辆B型车，一次运完，且每辆车都载满脐橙.
(1) 1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？
(2) 请你帮该公司设计租车方案.
(1) 1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？
(2) 请你帮该公司设计租车方案.
答案
11. 解：(1) 设1辆A型车载满脐橙一次可运送$x$ t，1辆B型车载满脐橙一次可运送$y$ t.
依题意可得方程组$\begin{cases}2x+y=10, \\x+2y=11.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3, \\y=4.\end{cases}$
答：1辆A型车载满脐橙一次可运送3 t，1辆B型车载满脐橙一次可运送4 t.
(2) 结合题意和(1)，得$3a+4b=31.$
则$a=\frac{31-4b}{3}.$
因为$a$，$b$都是正整数，
所以$\begin{cases}a=9, \\b=1\end{cases}$或$\begin{cases}a=5, \\b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=1, \\b=7.\end{cases}$
所以一共有3种租车方案.
方案一：租9辆A型车，1辆B型车；
方案二：租5辆A型车，4辆B型车；
方案三：租1辆A型车，7辆B型车.
依题意可得方程组$\begin{cases}2x+y=10, \\x+2y=11.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3, \\y=4.\end{cases}$
答：1辆A型车载满脐橙一次可运送3 t，1辆B型车载满脐橙一次可运送4 t.
(2) 结合题意和(1)，得$3a+4b=31.$
则$a=\frac{31-4b}{3}.$
因为$a$，$b$都是正整数，
所以$\begin{cases}a=9, \\b=1\end{cases}$或$\begin{cases}a=5, \\b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=1, \\b=7.\end{cases}$
所以一共有3种租车方案.
方案一：租9辆A型车，1辆B型车；
方案二：租5辆A型车，4辆B型车；
方案三：租1辆A型车，7辆B型车.
解析
【分析】
(1) 本题包含两个未知量：1辆A型车、1辆B型车的载重，题干给出了两组运输总重量的条件，可通过设两个未知数，对应两组等量关系列二元一次方程组求解。等量关系分别为：①2辆A型车运量+1辆B型车运量=10t；②1辆A型车运量+2辆B型车运量=11t。
(2) 结合第一问求出的两种车型载重，根据总运量31t可列关于租车辆数a、b的方程，由于车辆数必须为正整数，只需找出该二元一次方程的所有正整数解，即可得到全部租车方案。
【解析】
(1) 设1辆A型车载满脐橙一次可运送$x$ t，1辆B型车载满脐橙一次可运送$y$ t。
依题意列方程组：
$\begin{cases}2x+y=10 \\x+2y=11\end{cases}$
由第一个方程得$y=10-2x$，代入第二个方程：
$x+2(10-2x)=11$
展开计算得$x+20-4x=11$，整理得$-3x=-9$，解得$x=3$。
将$x=3$代入$y=10-2x$，得$y=10-2×3=4$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\y=4\end{cases}$。
(2) 根据总运量要求，结合(1)的结论列方程：$3a+4b=31$，变形得$a=\frac{31-4b}{3}$。
因为a、b均为正整数，所以$31-4b$必须为正且能被3整除：
当$b=1$时，$a=\frac{31-4}{3}=9$，符合要求；
当$b=4$时，$a=\frac{31-16}{3}=5$，符合要求；
当$b=7$时，$a=\frac{31-28}{3}=1$，符合要求；
当$b≥10$时，$31-4b＜0$，a为负数，不符合车辆数的实际意义。
综上共有3组正整数解，对应3种租车方案。
【答案】
(1) 1辆A型车载满脐橙一次可运送3 t，1辆B型车载满脐橙一次可运送4 t；
(2) 一共有3种租车方案：
方案一：租9辆A型车，1辆B型车；
方案二：租5辆A型车，4辆B型车；
方案三：租1辆A型车，7辆B型车。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的正整数解；方案设计
【点评】
本题是典型的方程类实际应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系建立方程，求解方案时需结合实际意义限制未知数的取值范围，筛选解时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
(1) 本题包含两个未知量：1辆A型车、1辆B型车的载重，题干给出了两组运输总重量的条件，可通过设两个未知数，对应两组等量关系列二元一次方程组求解。等量关系分别为：①2辆A型车运量+1辆B型车运量=10t；②1辆A型车运量+2辆B型车运量=11t。
(2) 结合第一问求出的两种车型载重，根据总运量31t可列关于租车辆数a、b的方程，由于车辆数必须为正整数，只需找出该二元一次方程的所有正整数解，即可得到全部租车方案。
【解析】
(1) 设1辆A型车载满脐橙一次可运送$x$ t，1辆B型车载满脐橙一次可运送$y$ t。
依题意列方程组：
$\begin{cases}2x+y=10 \\x+2y=11\end{cases}$
由第一个方程得$y=10-2x$，代入第二个方程：
$x+2(10-2x)=11$
展开计算得$x+20-4x=11$，整理得$-3x=-9$，解得$x=3$。
将$x=3$代入$y=10-2x$，得$y=10-2×3=4$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\y=4\end{cases}$。
(2) 根据总运量要求，结合(1)的结论列方程：$3a+4b=31$，变形得$a=\frac{31-4b}{3}$。
因为a、b均为正整数，所以$31-4b$必须为正且能被3整除：
当$b=1$时，$a=\frac{31-4}{3}=9$，符合要求；
当$b=4$时，$a=\frac{31-16}{3}=5$，符合要求；
当$b=7$时，$a=\frac{31-28}{3}=1$，符合要求；
当$b≥10$时，$31-4b＜0$，a为负数，不符合车辆数的实际意义。
综上共有3组正整数解，对应3种租车方案。
【答案】
(1) 1辆A型车载满脐橙一次可运送3 t，1辆B型车载满脐橙一次可运送4 t；
(2) 一共有3种租车方案：
方案一：租9辆A型车，1辆B型车；
方案二：租5辆A型车，4辆B型车；
方案三：租1辆A型车，7辆B型车。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的正整数解；方案设计
【点评】
本题是典型的方程类实际应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系建立方程，求解方案时需结合实际意义限制未知数的取值范围，筛选解时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
