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6. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是7，若十位上的数字与个位上的数字对换，得到的新两位数比原来的两位数大9，则新两位数是（
A.43
B.34
C.25
D.52
A
）A.43
B.34
C.25
D.52
答案
6.A
解析
【分析】
这是一道数位类的一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字；第二步，根据“十位与个位数字的和是7”，我们可以设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含未知数的式子表示；第三步，分别写出原两位数和对换后新两位数的表达式；第四步，根据“新两位数比原两位数大9”的等量关系列方程，求解得到原数的数位数字，进而算出新两位数。也可以直接将选项代入条件验证，快速排除错误选项。
【解析】
方法一（列方程求解）：
设原两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$7-x$。
原两位数可表示为：$10x + (7-x) = 9x +7$
十位和个位对换后的新两位数可表示为：$10(7-x) + x = 70 - 9x$
根据题意，新数比原数大9，列方程：
$(70 - 9x) - (9x +7) =9$
解方程：
$\begin{aligned}70 -9x -9x -7 &=9\\63 -18x &=9\\18x &=63 -9\\18x &=54\\x &=3\end{aligned}$
所以原十位数字是3，个位数字是$7-3=4$，原两位数是34，对换后的新两位数是43。
方法二（代入验证）：
依次验证选项：
A选项43，对应的原数是34，$3+4=7$，$43-34=9$，完全符合题意，当选。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 两位数的数位表示
【点评】
这道题是数位类应用题的基础题型，解题核心是掌握多位数的数位表示方法，找准等量关系列方程，也可通过代入选项快速验证得到答案，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
这是一道数位类的一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字；第二步，根据“十位与个位数字的和是7”，我们可以设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含未知数的式子表示；第三步，分别写出原两位数和对换后新两位数的表达式；第四步，根据“新两位数比原两位数大9”的等量关系列方程，求解得到原数的数位数字，进而算出新两位数。也可以直接将选项代入条件验证，快速排除错误选项。
【解析】
方法一（列方程求解）：
设原两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$7-x$。
原两位数可表示为：$10x + (7-x) = 9x +7$
十位和个位对换后的新两位数可表示为：$10(7-x) + x = 70 - 9x$
根据题意，新数比原数大9，列方程：
$(70 - 9x) - (9x +7) =9$
解方程：
$\begin{aligned}70 -9x -9x -7 &=9\\63 -18x &=9\\18x &=63 -9\\18x &=54\\x &=3\end{aligned}$
所以原十位数字是3，个位数字是$7-3=4$，原两位数是34，对换后的新两位数是43。
方法二（代入验证）：
依次验证选项：
A选项43，对应的原数是34，$3+4=7$，$43-34=9$，完全符合题意，当选。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 两位数的数位表示
【点评】
这道题是数位类应用题的基础题型，解题核心是掌握多位数的数位表示方法，找准等量关系列方程，也可通过代入选项快速验证得到答案，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
7. 若$\sqrt{x+2y}+(x-y+8)^2=0$，则$2x+y$的立方根是
-2
。答案
7.-2
解析
【分析】
算术平方根和偶次平方的结果都是非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，据此可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值后，代入计算2x+y的值，再求其立方根即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+2y} ≥ 0$，$(x-y+8)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x+2y}+(x-y+8)^2=0$
∴ 根据非负数的性质可得方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 0 \quad ① \\x - y + 8 = 0 \quad ②\end{cases}$
由②移项得：$x = y - 8 \quad ③$
将③代入①得：$y - 8 + 2y = 0$
合并同类项得$3y = 8$，解得$y = \frac{8}{3}$
把$y = \frac{8}{3}$代入③得：$x = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$
将x、y代入$2x+y$得：
$2x + y = 2×(-\frac{16}{3}) + \frac{8}{3} = -\frac{32}{3} + \frac{8}{3} = -8$
∵ $(-2)^3 = -8$
∴ $-8$的立方根是$-2$。
【答案】
-2
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，立方根的计算
【点评】
本题是基础常考题，解题的突破口是掌握非负数的和为0时每个非负数都为0的性质，再结合二元一次方程组和立方根的相关知识求解即可，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
算术平方根和偶次平方的结果都是非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，据此可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值后，代入计算2x+y的值，再求其立方根即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+2y} ≥ 0$，$(x-y+8)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x+2y}+(x-y+8)^2=0$
∴ 根据非负数的性质可得方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 0 \quad ① \\x - y + 8 = 0 \quad ②\end{cases}$
由②移项得：$x = y - 8 \quad ③$
将③代入①得：$y - 8 + 2y = 0$
合并同类项得$3y = 8$，解得$y = \frac{8}{3}$
把$y = \frac{8}{3}$代入③得：$x = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$
将x、y代入$2x+y$得：
$2x + y = 2×(-\frac{16}{3}) + \frac{8}{3} = -\frac{32}{3} + \frac{8}{3} = -8$
∵ $(-2)^3 = -8$
∴ $-8$的立方根是$-2$。
【答案】
-2
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，立方根的计算
【点评】
本题是基础常考题，解题的突破口是掌握非负数的和为0时每个非负数都为0的性质，再结合二元一次方程组和立方根的相关知识求解即可，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+3y=4-a, \\ x-y=3a,\end{cases}$给出下列结论：①若$\begin{cases}x=5, \\ y=-1\end{cases}$是方程组的解，则$a=2$；②当$a=-2$时，$x$，$y$的值互为相反数；③当$a=1$时，方程组的解也是方程$x+y=4-a$的解。其中正确的是 ______ （填序号）。
答案
8.①②③
解析
【分析】
要判断三个结论是否正确，可采用逐个验证的思路：①将给出的x、y值代入原方程组，求解a的值，判断是否等于2；②把a=-2代入原方程组，解出x、y的值，验证二者是否互为相反数（即x+y=0）；③把a=1代入原方程组求出解，再代入方程x+y=4-a，验证等式是否成立。
【解析】
我们对三个结论逐一验证：
1. 验证结论①：
将$\begin{cases}x=5 \\ y=-1\end{cases}$代入原方程组：
代入$x-y=3a$得：$5 - (-1) = 3a$，即$6=3a$，解得$a=2$；
再代入$x+3y=4-a$验证：左边$=5+3×(-1)=2$，右边$=4-2=2$，左右相等，故①正确。
2. 验证结论②：
当$a=-2$时，原方程组变为：
$\begin{cases}x+3y=6 \\ x-y=-6\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$4y=12$，解得$y=3$；
将$y=3$代入$x-y=-6$得$x=-3$；
此时$x=-3$，$y=3$，$x+y=0$，二者互为相反数，故②正确。
3. 验证结论③：
当$a=1$时，原方程组变为：
$\begin{cases}x+3y=3 \\ x-y=3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$4y=0$，解得$y=0$；
将$y=0$代入$x-y=3$得$x=3$，即方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=0\end{cases}$；
代入方程$x+y=4-a$，右边$=4-1=3$，左边$=3+0=3$，左右相等，故③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，相反数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二元一次方程组解的验证，解题时只需按照结论要求依次代入计算即可，计算过程注意符号问题，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
要判断三个结论是否正确，可采用逐个验证的思路：①将给出的x、y值代入原方程组，求解a的值，判断是否等于2；②把a=-2代入原方程组，解出x、y的值，验证二者是否互为相反数（即x+y=0）；③把a=1代入原方程组求出解，再代入方程x+y=4-a，验证等式是否成立。
【解析】
我们对三个结论逐一验证：
1. 验证结论①：
将$\begin{cases}x=5 \\ y=-1\end{cases}$代入原方程组：
代入$x-y=3a$得：$5 - (-1) = 3a$，即$6=3a$，解得$a=2$；
再代入$x+3y=4-a$验证：左边$=5+3×(-1)=2$，右边$=4-2=2$，左右相等，故①正确。
2. 验证结论②：
当$a=-2$时，原方程组变为：
$\begin{cases}x+3y=6 \\ x-y=-6\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$4y=12$，解得$y=3$；
将$y=3$代入$x-y=-6$得$x=-3$；
此时$x=-3$，$y=3$，$x+y=0$，二者互为相反数，故②正确。
3. 验证结论③：
当$a=1$时，原方程组变为：
$\begin{cases}x+3y=3 \\ x-y=3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$4y=0$，解得$y=0$；
将$y=0$代入$x-y=3$得$x=3$，即方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=0\end{cases}$；
代入方程$x+y=4-a$，右边$=4-1=3$，左边$=3+0=3$，左右相等，故③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，相反数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二元一次方程组解的验证，解题时只需按照结论要求依次代入计算即可，计算过程注意符号问题，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
三、解答题
9. 例：解方程组$\begin{cases} x - y -1 =0, \\4(x - y)-y=5. \end{cases}$
解：$\begin{cases} x - y -1 =0, &① \\4(x - y)-y=5. &② \end{cases}$
由①，得$x - y =1$. ③
将③代入②，得$4×1 - y=5$，解得$y=-1$.
将$y=-1$代入③，得$x +1=1$，解得$x=0$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=0, \\y=-1. \end{cases}$
按照例题的方法解方程组$\begin{cases} 2x -3y=2, \\\frac{2x -3y +5}{7} +2y=9. \end{cases}$
9. 例：解方程组$\begin{cases} x - y -1 =0, \\4(x - y)-y=5. \end{cases}$
解：$\begin{cases} x - y -1 =0, &① \\4(x - y)-y=5. &② \end{cases}$
由①，得$x - y =1$. ③
将③代入②，得$4×1 - y=5$，解得$y=-1$.
将$y=-1$代入③，得$x +1=1$，解得$x=0$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=0, \\y=-1. \end{cases}$
按照例题的方法解方程组$\begin{cases} 2x -3y=2, \\\frac{2x -3y +5}{7} +2y=9. \end{cases}$
答案
9. 解：$\begin{cases}2x - 3y=2，① \\\frac{2x - 3y +5}{7} +2y=9. ②\end{cases}$
将①代入②，得$\frac{2+5}{7}+2y=9.$
解得$y=4.$
将$y=4$代入①，得$2x-3×4=2,$
解得$x=7.$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=7, \\y=4.\end{cases}$
将①代入②，得$\frac{2+5}{7}+2y=9.$
解得$y=4.$
将$y=4$代入①，得$2x-3×4=2,$
解得$x=7.$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=7, \\y=4.\end{cases}$
解析
【分析】
观察方程组的两个方程，发现均含有相同的代数式$2x-3y$，且方程①直接给出$2x-3y=2$，我们可以借鉴例题的整体代入思路，将$2x-3y$看作一个整体代入方程②，先消去未知数$x$求出$y$的值，再将求出的$y$代入方程①求出$x$的值，即可得到方程组的解。
【解析】
$\begin{cases}2x - 3y=2，① \\\frac{2x - 3y +5}{7} +2y=9. ②\end{cases}$
将①代入②，得$\frac{2+5}{7}+2y=9$，
计算得$1+2y=9$，解得$y=4$。
将$y=4$代入①，得$2x-3×4=2$，
即$2x-12=2$，解得$x=7$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=7, \\y=4.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=7, \\y=4.\end{cases}$
【知识点】
整体代入法，解二元一次方程组
【点评】
本题侧重考查整体代入的数学思想，解题的核心是找到两个方程中相同的整体代数式，使用整体代入法可简化消元步骤，有效降低计算量，提高解题正确率。
【难度系数】
0.7
观察方程组的两个方程，发现均含有相同的代数式$2x-3y$，且方程①直接给出$2x-3y=2$，我们可以借鉴例题的整体代入思路，将$2x-3y$看作一个整体代入方程②，先消去未知数$x$求出$y$的值，再将求出的$y$代入方程①求出$x$的值，即可得到方程组的解。
【解析】
$\begin{cases}2x - 3y=2，① \\\frac{2x - 3y +5}{7} +2y=9. ②\end{cases}$
将①代入②，得$\frac{2+5}{7}+2y=9$，
计算得$1+2y=9$，解得$y=4$。
将$y=4$代入①，得$2x-3×4=2$，
即$2x-12=2$，解得$x=7$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=7, \\y=4.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=7, \\y=4.\end{cases}$
【知识点】
整体代入法，解二元一次方程组
【点评】
本题侧重考查整体代入的数学思想，解题的核心是找到两个方程中相同的整体代数式，使用整体代入法可简化消元步骤，有效降低计算量，提高解题正确率。
【难度系数】
0.7
