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6. 已知关于x，y的二元一次方程$2x - y + 3 + a(3x + y - 8) = 0$，不论a取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为。
答案
6. $\begin{cases}x=1,\\y=5\end{cases}$
解析
【分析】
题目要求不论a取何值，方程都有固定解，说明方程的成立和参数a无关。我们可以先将原方程整理为“不含a的项 + 含a的项 = 0”的形式，要让等式对任意a都成立，只需要满足两个条件：一是含a的项的系数为0，二是不含a的部分也等于0，由此就能得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到固定解。
【解析】
首先整理原方程：
$2x - y + 3 + a(3x + y - 8) = 0$
要使不论a取何值等式恒成立，需满足含a的项的系数为0，且剩余部分的值也为0，因此得到方程组：
$\begin{cases}3x + y - 8 = 0 ①\\2x - y + 3 = 0 ②\end{cases}$
用加减消元法解方程组，①+②得：
$3x + y - 8 + 2x - y + 3 = 0$
化简得$5x - 5 = 0$，解得$x=1$
将$x=1$代入①式：$3×1 + y - 8 = 0$，解得$y=5$
【答案】
$\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}$
【知识点】
含参方程恒成立条件，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是含参二元一次方程的常考题型，解题关键是理解“不论参数取何值方程都成立”的含义，将其转化为二元一次方程组求解，掌握该类题型的转化思路就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
题目要求不论a取何值，方程都有固定解，说明方程的成立和参数a无关。我们可以先将原方程整理为“不含a的项 + 含a的项 = 0”的形式，要让等式对任意a都成立，只需要满足两个条件：一是含a的项的系数为0，二是不含a的部分也等于0，由此就能得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到固定解。
【解析】
首先整理原方程：
$2x - y + 3 + a(3x + y - 8) = 0$
要使不论a取何值等式恒成立，需满足含a的项的系数为0，且剩余部分的值也为0，因此得到方程组：
$\begin{cases}3x + y - 8 = 0 ①\\2x - y + 3 = 0 ②\end{cases}$
用加减消元法解方程组，①+②得：
$3x + y - 8 + 2x - y + 3 = 0$
化简得$5x - 5 = 0$，解得$x=1$
将$x=1$代入①式：$3×1 + y - 8 = 0$，解得$y=5$
【答案】
$\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}$
【知识点】
含参方程恒成立条件，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是含参二元一次方程的常考题型，解题关键是理解“不论参数取何值方程都成立”的含义，将其转化为二元一次方程组求解，掌握该类题型的转化思路就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
7. 老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四名成员都知道老师所给的方程组，但每人只能做一步，且每人只能看到前一人给的结果，并按前一人所给结果进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程。解方程组的过程如图所示，但老师发现答案错误，则过程中出现错误的同学是
丙
.答案
7. 丙
解析
【分析】
本题需要依次检查接力过程中每一步的计算是否正确，按照代入消元法解二元一次方程组的步骤判断：首先看甲将方程①变形为用y表示x的形式是否正确；再看乙将所得表达式代入方程②的步骤是否正确；接着检查丙去分母的步骤是否符合等式的性质（去分母时等式两边每一项都要乘分母的最小公倍数，不能漏乘）；最后丁的计算是基于前一步的结果，若前一步出错，后续结果也会错误，找到最先出错的步骤即可。
【解析】
1. 检查甲的步骤：由方程①$2x+3y=8$，移项得$2x=8-3y$，系数化为1得$x=\frac{8-3y}{2}$，步骤正确。
2. 检查乙的步骤：把$x=\frac{8-3y}{2}$代入方程②$3x-5y=5$，得到$3×\frac{8-3y}{2}-5y=5$，代入正确，步骤无误。
3. 检查丙的步骤：对$3×\frac{8-3y}{2}-5y=5$去分母，等式两边同时乘2，所有项都要乘2，应得$3(8-3y)-10y=10$，展开为$24-9y-10y=10$，但丙的结果中右边常数项漏乘2，写为了5，步骤错误。
4. 丁的计算是基于丙的错误结果展开的，因此过程中出现错误的是丙。
【答案】
丙
【知识点】
代入消元法，等式的性质，去分母运算
【点评】
本题考查解二元一次方程组的易错点，去分母时漏乘不含分母的项是常见错误，计算时要严格遵循等式的性质，避免这类失误。
【难度系数】
0.7
本题需要依次检查接力过程中每一步的计算是否正确，按照代入消元法解二元一次方程组的步骤判断：首先看甲将方程①变形为用y表示x的形式是否正确；再看乙将所得表达式代入方程②的步骤是否正确；接着检查丙去分母的步骤是否符合等式的性质（去分母时等式两边每一项都要乘分母的最小公倍数，不能漏乘）；最后丁的计算是基于前一步的结果，若前一步出错，后续结果也会错误，找到最先出错的步骤即可。
【解析】
1. 检查甲的步骤：由方程①$2x+3y=8$，移项得$2x=8-3y$，系数化为1得$x=\frac{8-3y}{2}$，步骤正确。
2. 检查乙的步骤：把$x=\frac{8-3y}{2}$代入方程②$3x-5y=5$，得到$3×\frac{8-3y}{2}-5y=5$，代入正确，步骤无误。
3. 检查丙的步骤：对$3×\frac{8-3y}{2}-5y=5$去分母，等式两边同时乘2，所有项都要乘2，应得$3(8-3y)-10y=10$，展开为$24-9y-10y=10$，但丙的结果中右边常数项漏乘2，写为了5，步骤错误。
4. 丁的计算是基于丙的错误结果展开的，因此过程中出现错误的是丙。
【答案】
丙
【知识点】
代入消元法，等式的性质，去分母运算
【点评】
本题考查解二元一次方程组的易错点，去分母时漏乘不含分母的项是常见错误，计算时要严格遵循等式的性质，避免这类失误。
【难度系数】
0.7
8. 小慧去花店购买鲜花，若买5枝玫瑰和3枝百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3枝玫瑰和5枝百合，则她所带的钱还缺4元。若只买8枝玫瑰，则她所带的钱还剩下
31
元。答案
8. 31
解析
【分析】
我们可以通过设未知数表示玫瑰单价、百合单价和小慧带的总钱数，根据题干给出的两种购买场景列出等量关系，再通过消元法找到百合和玫瑰单价的关系，最后代入式子计算只买8枝玫瑰剩余的钱即可，不需要求出每个未知量的具体数值。
【解析】
解：设每枝玫瑰的价格为$x$元，每枝百合的价格为$y$元，小慧带的总钱数为$m$元。
根据“买5枝玫瑰和3枝百合，所带的钱还剩下10元”可列方程：
$5x + 3y = m - 10$ ①
根据“买3枝玫瑰和5枝百合，所带的钱还缺4元”可列方程：
$3x + 5y = m + 4$ ②
用①式减去②式消去$m$：
$(5x+3y)-(3x+5y)=(m-10)-(m+4)$
化简得：$2x - 2y = -14$，即$y = x + 7$ ③
将③代入①式：
$5x + 3(x+7) = m - 10$
展开计算得：$8x + 21 = m - 10$
整理得：$m = 8x + 31$
只买8枝玫瑰剩余的钱为$m - 8x$，代入上式得：
$m - 8x = (8x + 31) - 8x = 31$
【答案】
31
【知识点】
二元一次方程的应用；消元法解方程；代数式化简
【点评】
本题是典型的方程思想解决实际消费问题，核心是利用等量关系消去无关未知量，不需要求出所有未知数的具体值就能得到结果，解题的关键是准确根据题意列出对应等式。
【难度系数】
0.65
我们可以通过设未知数表示玫瑰单价、百合单价和小慧带的总钱数，根据题干给出的两种购买场景列出等量关系，再通过消元法找到百合和玫瑰单价的关系，最后代入式子计算只买8枝玫瑰剩余的钱即可，不需要求出每个未知量的具体数值。
【解析】
解：设每枝玫瑰的价格为$x$元，每枝百合的价格为$y$元，小慧带的总钱数为$m$元。
根据“买5枝玫瑰和3枝百合，所带的钱还剩下10元”可列方程：
$5x + 3y = m - 10$ ①
根据“买3枝玫瑰和5枝百合，所带的钱还缺4元”可列方程：
$3x + 5y = m + 4$ ②
用①式减去②式消去$m$：
$(5x+3y)-(3x+5y)=(m-10)-(m+4)$
化简得：$2x - 2y = -14$，即$y = x + 7$ ③
将③代入①式：
$5x + 3(x+7) = m - 10$
展开计算得：$8x + 21 = m - 10$
整理得：$m = 8x + 31$
只买8枝玫瑰剩余的钱为$m - 8x$，代入上式得：
$m - 8x = (8x + 31) - 8x = 31$
【答案】
31
【知识点】
二元一次方程的应用；消元法解方程；代数式化简
【点评】
本题是典型的方程思想解决实际消费问题，核心是利用等量关系消去无关未知量，不需要求出所有未知数的具体值就能得到结果，解题的关键是准确根据题意列出对应等式。
【难度系数】
0.65
三、解答题
9. 对于 $ x $，$ y $ 定义一种新运算“$*$”，$ x*y=ax+by $，其中 $ a $，$ b $ 是常数. 已知 $ 3*5=15 $，$ 4*7=18 $，求 $ 1*1 $ 的值.
9. 对于 $ x $，$ y $ 定义一种新运算“$*$”，$ x*y=ax+by $，其中 $ a $，$ b $ 是常数. 已知 $ 3*5=15 $，$ 4*7=18 $，求 $ 1*1 $ 的值.
答案
9. 解：由题意，得 3*5=3a+5b=15，①
4 * 7=4a+7b=18. ②
联立①②，得$\begin{cases}3a+5b=15,\\4a+7b=18.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=15,\\b=-6.\end{cases}$
所以 $ x * y=15x-6y. $
所以 1 * 1=15×1-6×1=9.
4 * 7=4a+7b=18. ②
联立①②，得$\begin{cases}3a+5b=15,\\4a+7b=18.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=15,\\b=-6.\end{cases}$
所以 $ x * y=15x-6y. $
所以 1 * 1=15×1-6×1=9.
解析
【分析】
解题首先要理解新运算“*”的规则：x*y的结果等于a与x的乘积加b与y的乘积。第一步根据已知的两组运算结果，将运算式转化为关于常数a、b的二元一次方程，联立得到方程组；第二步解二元一次方程组求出a、b的值，确定新运算的具体表达式；最后将x=1、y=1代入表达式，即可求出1*1的值。
【解析】
解：根据新运算的定义，可得：
$3*5=3a+5b=15$ ①
$4*7=4a+7b=18$ ②
联立①②得到二元一次方程组：
$\begin{cases}3a+5b=15\\4a+7b=18\end{cases}$
用消元法解方程组：
①×4得：$12a+20b=60$ ③
②×3得：$12a+21b=54$ ④
④-③得：$b=-6$
把$b=-6$代入①得：$3a+5×(-6)=15$，解得$a=15$
所以新运算的表达式为$x*y=15x-6y$
将$x=1,y=1$代入得：$1*1=15×1 - 6×1=9$
【答案】
9
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题核心是将陌生的新定义运算转化为熟悉的代数运算，解题关键是准确根据新运算规则列出方程组，计算时注意系数运算和符号处理，是新定义类题型中的基础考法。
【难度系数】
0.8
解题首先要理解新运算“*”的规则：x*y的结果等于a与x的乘积加b与y的乘积。第一步根据已知的两组运算结果，将运算式转化为关于常数a、b的二元一次方程，联立得到方程组；第二步解二元一次方程组求出a、b的值，确定新运算的具体表达式；最后将x=1、y=1代入表达式，即可求出1*1的值。
【解析】
解：根据新运算的定义，可得：
$3*5=3a+5b=15$ ①
$4*7=4a+7b=18$ ②
联立①②得到二元一次方程组：
$\begin{cases}3a+5b=15\\4a+7b=18\end{cases}$
用消元法解方程组：
①×4得：$12a+20b=60$ ③
②×3得：$12a+21b=54$ ④
④-③得：$b=-6$
把$b=-6$代入①得：$3a+5×(-6)=15$，解得$a=15$
所以新运算的表达式为$x*y=15x-6y$
将$x=1,y=1$代入得：$1*1=15×1 - 6×1=9$
【答案】
9
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题核心是将陌生的新定义运算转化为熟悉的代数运算，解题关键是准确根据新运算规则列出方程组，计算时注意系数运算和符号处理，是新定义类题型中的基础考法。
【难度系数】
0.8
