7. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-3,0)$,$B(0,4)$,对$△ OAB$连续作旋转变换,依次得到$△_1,△_2,△_3,△_4,\dots$,则$△_{999}$的直角顶点的坐标为.

7. $(3\ 996,0)$ 解析: $\because$点$A(-3,0),B(0,4),\therefore AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$.由题图可知,每三个三角形为一个循环组依次循环,一个循环组前进的长度为$4+5+3=12$.$\because999÷3=333,\therefore△_{999}$的直角顶点是第333个循环组的最后一个三角形的直角顶点.$\because333×12=3\ 996,\therefore△_{999}$的直角顶点的坐标为$(3\ 996,0).$

8. 如图,在平面直角坐标系中,将正方形$OABC$绕点$O$逆时针旋转$45^{\circ }$后得到正方形$OA_{1}B_{1}C_{1}$,依此方式,绕点$O$连续旋转$2\,025$次得到正方形$OA_{2\,025}B_{2\,025}C_{2\,025}$,如果点$A$的坐标为$(1,0)$,那么点$B_{2\,025}$的坐标为.

8. $(0,\sqrt{2})$ 解析:如图,$\because$四边形$OABC$是正方形,且$OA=1,\therefore B(1,1)$.连接$OB$,由勾股定理得,$OB=\sqrt{2}$.由旋转得,$OB=OB_1=OB_2=OB_3=···=\sqrt{2}$.$\because$将正方形$OABC$绕点$O$逆时针旋转$45°$后得到正方形$OA_1B_1C_1$,相当于将线段$OB$绕点$O$逆时针旋转$45°$,依次得到$∠ AOB=∠ BOB_1=∠ B_1OB_2=···=45°,\therefore B_1(0,\sqrt{2}),B_2(-1,1),B_3(-\sqrt{2},0),B_4(-1,-1),B_5(0,-\sqrt{2}),B_6(1,-1),B_7(\sqrt{2},0),···$,发现是8次一循环,$2\ 025÷8=253······1,\therefore$点$B_{2\ 025}$的坐标为$(0,\sqrt{2}).$

9. 如图,弹性小球从点$P(0,1)$出发,沿如图所示方向运动,每当小球碰到正方形$DABC$的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1 次碰到正方形的边时的点为$P_{1}(-2,0)$,第2 次碰到正方形的边时的点为$P_{2},···$,第$n$次碰到正方形的边时的点为$P_{n}$,则点$P_{2026}$的坐标是.

9. $(-2,4)$ 解析:如图,根据反射角等于入射角画图,可知小球从$P_2$反弹后到$P_3(0,3)$,再反弹到$P_4(-2,4)$,再反弹到$P_5(-4,3)$,再反弹到$P(0,1)$之后,再循环反弹,每6次一循环.$\because2\ 026÷6=337······4,\therefore$点$P_{2\ 026}$的坐标是$(-2,4).$

10. 已知整点(横、纵坐标都是整数)$P_{0}$在平面直角坐标系内做“跳马运动”(即中国象棋“日”字型跳跃).例如在图①中,从点A做一次“跳马运动”,可以到点B,也可以到点C.设$P_{0}$做一次“跳马运动”到点$P_{1}$,做第二次“跳马运动”到点$P_{2}$,做第三次“跳马运动”到点$P_{3},···$,如此依次进行.
(1)若$P_{0}(1,0)$,则$P_{1}$可能是下列的点.
$D(-1,2);E(-2,0);F(0,2).$
(2)已知点$P_{0}(4,2),P_{2}(1,3)$,则点$P_{1}$的所有可能坐标为.
(3)若$P_{0}(0,0)$,则$P_{12},P_{13}$可能与$P_{0}$重合的是.
(4)如图②,点$P_{0}(1,0)$沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”,若$P_{0}$跳到$Q_{1}$位置,称为做一次“正横跳马”;若$P_{0}$跳到$Q_{2}$位置,称为做一次“正竖跳马”.当点$P_{0}$连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后,到达点$P_{n}(14,11)$,求$a+b$的值.

10. (1)$F(0,2)$ 解析:由题意知,"跳马运动"一次,有2种情况,一种为横坐标变化2个单位长度,纵坐标变化1个单位长度;另一种为横坐标变化1个单位长度,纵坐标变化2个单位长度,$\therefore P_1$可能为$F(0,2).$
(2)$(2,1)$或$(3,4)$ 解析:$\because$经过两次变化后横坐标减小了3个单位长度,纵坐标增加了1个单位长度,结合(1)中分析的规律,$\therefore$"横坐标减小3个单位长度"应由"横坐标减小1个单位长度"和"横坐标减小2个单位长度"组成,"纵坐标增加1个单位长度"应由"纵坐标增加2个单位长度"和"纵坐标减小1个单位长度"组成,$\therefore$第一次运动的坐标变化为"横坐标减小2个单位长度,纵坐标减小1个单位长度"或"横坐标减小1个单位长度,纵坐标增加2个单位长度",则$P_1$为$(2,1)$或$(3,4).$
(3)$P_{12}$ 解析:设横坐标总变化量为$m$,纵坐标总变化量为$n$,要使得与$P_0$重合,则$m=0,n=0$,则$m+n=0$,即横、纵坐标变化量之和为0才有可能与$P_0$重合.由变化规律可得,每次运动的横、纵坐标变化量之和为$\pm3$或$\pm1$,要使得所有运动的横、纵坐标变化量之和为0,则运动总数一定为偶数,故$P_{12}$可能与$P_0$重合.
(4)做"正横跳马"时,横坐标增加2,纵坐标增加1,做"正竖跳马"时,横坐标增加1,纵坐标增加2,
$\therefore\begin{cases}2a+b=14-1,\\a+2b=11-0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=5,\\b=3,\end{cases}\therefore a+b=8.$