1. (2025·焦作期中)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是$(-5,0)$,点B的坐标是$(0,12)$,点M是OB上一点,将$△ ABM$沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点$B'$处,则点M的坐标为.

1. $(0,\dfrac{10}{3})$ 解析:$\because A(-5,0),B(0,12),∠ AOB=∠ MOB'=90°,\therefore OA=5,OB=12,\therefore AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$,由折叠得 $AB'=AB=13,B'M=BM=12-OM,\therefore OB'=AB'-OA=13-5=8.\because OM^{2}+OB'^{2}=B'M^{2},\therefore OM^{2}+8^{2}=(12-OM)^{2}$,解得 $OM=\dfrac{10}{3},\therefore M(0,\dfrac{10}{3})$.

2. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABO$的顶点分别为$O(0,0),A(2a,0),B(0,-a)$,线段$EF$两端点分别为$E(-m,a+1),F(-m,1)(2a＞m＞a)$.直线$l// y$轴交$x$轴于$P(a,0)$,且线段$EF$与$CD$关于$y$轴对称,线段$CD$与$MN$关于直线$l$对称.
(1)求点$N,M$的坐标(用含$m,a$的代数式表示).
(2)$△ ABO$与$△ MFE$通过平移能重合吗?能与不能都要说明其理由.若能,请你写出一个平移方案.(平移的单位长度数用$m,a$表示)

(1)$\because EF$ 与 $CD$ 关于 $y$ 轴对称,$EF$ 两端点分别为 $E(-m,a+1),F(-m,1),\therefore C(m,a+1),D(m,1)$. 设 $CD$ 与直线 $l$ 之间的距离为 $x$,$\because CD$ 与 $MN$ 关于直线 $l$ 对称,$l$ 与 $y$ 轴之间的距离为 $a$,$\therefore MN$ 与 $y$ 轴之间的距离为 $a-x$.$\because x=m-a$,$\therefore M$ 的横坐标为 $a-(m-a)=2a-m$,$\therefore M(2a-m,a+1),N(2a-m,1)$.
(2)能重合.理由:$\because EM=2a-m-(-m)=2a=OA,EF=a+1-1=a=OB$. 又$\because EF// y$ 轴,$EM// x$ 轴,$\therefore ∠ MEF=∠ AOB=90°$.易证$△ ABO≌△ MFE$,$\therefore △ ABO$ 与 $△ MFE$ 通过平移能重合.平移方案:将$△ ABO$ 向上平移 $(a+1)$ 个单位长度后,再向左平移 $m$ 个单位长度,即可重合.(平移方案不唯一)

3. 在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,点 A的坐标是$(a,-a)$,点 B 的坐标是$(b,c)$,且 a,
$b,c\mathrm{ 满足 }\begin{cases}3a-b+2c=6,\\ a-2b-c=-3.\end{cases}$
(1)若 a 为不等式$2x+8≤ 0$的最大整数解,判断点 A 在第几象限,说明理由.
(2)在(1)的条件下,求点 B 的坐标.
(3)在(2)的条件下,若有两个动点 $M(k-$$1,k),N(-3h+10,h)$,请探索是否存在以两个动点 M,N 为端点的线段 $MN// AB$,且 $MN=$$AB$,若存在,求 M,N 两点的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)点 $A$ 在第二象限.理由:$\because a$ 为不等式 $2x+8≤0$ 的最大整数解,解不等式得 $x≤-4$,$\therefore a=-4$.$\because$ 点 $A$ 的坐标是 $(a,-a)$,$\therefore A(-4,4)$,$\therefore$ 点 $A$ 在第二象限.
(2)$\because a,b,c$ 满足 $\begin{cases} 3a-b+2c=6,\\ a-2b-c=-3, \end{cases}$ 由(1)可得 $a=-4$,$\therefore$ 方程组为 $\begin{cases} -12-b+2c=6,\\ -4-2b-c=-3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} b=-4,\\ c=7. \end{cases}$ $\because$ 点 $B$ 的坐标是 $(b,c)$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(-4,7)$.
(3)存在.$\because M(k-1,k),N(-3h+10,h),MN// AB$,且$MN=AB$,又 $A(-4,4),B(-4,7)$,$\therefore AB=3$,且 $AB// y$ 轴,$\therefore \begin{cases} k-1=-3h+10,\\ k-h=3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} k-1=-3h+10,\\ h-k=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=5,\\ h=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} k=\dfrac{1}{2},\\ h=\dfrac{7}{2}, \end{cases}$$\therefore M(4,5),N(4,2)$ 或 $M(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}),N(-\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{2})$.

4. (2026·淄博校级月考)已知$A(3,0),C(0,4)$,点$B$在$x$轴上,且$AB=4$.
(1)求点$B$的坐标,并求出$△ ABC$的面积.
(2)在$y$轴上是否存在点$P$,使得以$A,C,P$为顶点的三角形的面积为9? 若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在$y$轴上是否存在点$Q$,使得$△ ACQ$是等腰三角形? 若存在,请直接写出点$Q$的坐标.

(1)$\because A(3,0),C(0,4)$,点 $B$ 在 $x$ 轴上,且 $AB=4$,$\therefore$ 设点 $B$ 的坐标为 $(x,0)$,$|x-3|=4$,解得 $x=-1$ 或 $x=7$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(7,0)$ 或 $(-1,0)$.在平面直角坐标系中画出 $△ ABC$,如图所示:

$\therefore S_{△ AB_{1}C}=\dfrac{1}{2}×4×4=8$,$S_{△ AB_{2}C}=\dfrac{1}{2}×4×4=8$. 即 $△ ABC$ 的面积为8.
(2)在 $y$ 轴上存在点 $P$,使得以 $A,C,P$ 为顶点的三角形的面积为9.设点 $P$ 的坐标为 $(0,y)$,由题意可知点 $P$ 可能在点 $C$ 的上方或下方.当点 $P$ 在点 $C$ 上方时,$S_{△ ACP}=\dfrac{(y-4)×3}{2}=9$,解得 $y=10$.当点 $P$ 在点 $C$ 下方时,$S_{△ ACP}=\dfrac{(4-y)×3}{2}=9$,解得 $y=-2$.综上所述,点 $P$ 的坐标为 $(0,10)$ 或 $(0,-2)$.
(3)点 $Q$ 的坐标为 $(0,9)$ 或 $(0,-4)$ 或 $(0,\dfrac{7}{8})$ 或 $(0,-1)$.
解析:$\because A(3,0),C(0,4)$,$\therefore AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.当 $QC=AC=5$时,点 $Q$ 的坐标为 $(0,9)$ 或 $(0,-1)$;
当 $AQ=AC=5$ 时,点 $Q$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称,点 $Q$ 的坐标为$(0,-4)$;
当 $QC=QA$ 时,设点 $Q$ 的坐标为 $(0,y)$,则 $(4-y)^{2}=3^{2}+y^{2}$,解得 $y=\dfrac{7}{8}$,$\therefore$ 点 $Q$ 的坐标为 $(0,\dfrac{7}{8})$.综上,使得 $△ ACQ$ 是等腰三角形的点 $Q$ 的坐标为 $(0,9)$ 或 $(0,-4)$ 或 $(0,\dfrac{7}{8})$ 或$(0,-1)$.