5. 在平原上有一条笔直的公路,在公路同侧有A,B两个村庄.若以公路为x轴建立平面直角坐标系,如图,已知A,B两个村庄的坐标分别为$(2,2)$,$(7,4)$,一辆汽车(看成点$P$)在$x$轴上行驶.
(1)汽车行驶过程中到A,B两村距离之和最小为多少?
(2)汽车行驶过程中到A,B两村距离之差最大为多少?

(1)如图①,作点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'(2,-2)$,连接 $A'B$,交 $x$ 轴于点 $P$.则汽车行驶过程中到 $A$,$B$ 两村距离之和最小为$A'B$ 的长.
延长 $A'A$,过点 $B$ 作 $A'A$ 的垂线,交 $A'A$ 的延长线于点 $C$,易得 $C$ 点坐标为 $(2,4)$,$\therefore A'C=6$,$BC=5$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BCA'$ 中,$A'B=\sqrt{A'C^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+5^{2}}=\sqrt{61}$. 则汽车行驶过程中到 $A$,$B$ 两村距离之和最小为 $\sqrt{61}$.

(2)如图②,延长 $BA$ 交 $x$ 轴于点 $P$,则此时汽车到 $A$,$B$ 两村距离之差最大,为 $AB$ 的长.
过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线,过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线,两线交点为$D$,易得 $D$ 点坐标为 $(7,2)$,$\therefore AD=5$,$BD=2$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDA$ 中,$AB=\sqrt{BD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{29}$.则汽车行驶过程中到 $A$,$B$ 两村距离之差最大为 $\sqrt{29}$.

6. 新题型 新定义 【了解概念】
在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 若 $P(a,b),Q(c,$ $d)$, 式子 $|a-c|+|b-d|$ 的值就叫作线段 $PQ$ 的“勾股距”, 记作 $d_{PQ}=|a-c|+|b-d|$, 同时, 我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫作“等距三角形”.
【理解运用】
在平面直角坐标系 $xOy$ 中, $A(2,3),B(4,2)$, $C(m,n)$.
(1)线段 $OA$ 的“勾股距” $d_{OA}=$;
(2)若点 $C$ 在第三象限, 且 $d_{OC}=2d_{AB}$, 求 $d_{AC}$ 并判断 $△ ABC$ 是否为“等距三角形”;
【拓展提升】
(3)若点 $C$ 在 $x$ 轴上, $△ ABC$ 是“等距三角形”, 请直接写出 $m$ 的取值范围.
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视频讲题

(1)5 解析:$\because A(2,3)$,$\therefore$ 由“勾股距”的定义知,$d_{OA}=|0-2|+|0-3|=2+3=5$.
(2)$\because d_{AB}=|2-4|+|3-2|=2+1=3$,$\therefore 2d_{AB}=6$.$\because$ 点 $C$ 在第三象限,$\therefore m＜0$,$n＜0$.$\therefore d_{OC}=|0-m|+|0-n|=|m|+|n|=-m-n=-(m+n)$.$\because d_{OC}=2d_{AB}$,$\therefore -(m+n)=6$,即 $m+n=-6$,$\therefore d_{AC}=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-(m+n)=5+6=11$,$d_{BC}=|4-m|+|2-n|=4-m+2-n=6-(m+n)=6+6=12$.$\because 3+11≠12$,$11+12≠3$,$12+3≠11$,$\therefore △ ABC$ 不是“等距三角形”.
(3)$m$ 的取值范围是 $m≥4$ 且 $m≠8$. 解析:点 $C$ 在 $x$ 轴上时,点 $C(m,0)$,则 $d_{AC}=|2-m|+3$,$d_{BC}=|4-m|+2$.①当 $m＜2$时,$d_{AC}=2-m+3=5-m$,$d_{BC}=4-m+2=6-m$. 若 $△ ABC$ 是“等距三角形”,则 $5-m+6-m=11-2m=3$,解得 $m=4$(不合题意).又$\because 5-m+3=8-m≠6-m$,$6-m+3=9-m≠5-m$,$\therefore$ 当 $m＜2$ 时,$△ ABC$ 不是“等距三角形”.
②当 $2≤ m＜4$ 时,$d_{AC}=m-2+3=m+1$,$d_{BC}=4-m+2=6-m$,若$△ ABC$ 是“等距三角形”,则 $m+1+6-m=7≠3$,由 $6-m+3=m+1$,解得 $m=4$(不合题意).又由 $m+1+3=6-m$,解得 $m=1$(不合题意),$\therefore$ 当 $2≤ m＜4$ 时,$△ ABC$ 不是“等距三角形”.
③当 $m≥4$ 时,$d_{AC}=m+1$,$d_{BC}=m-2$,若 $△ ABC$ 是“等距三角形”,则 $m+1+m-2=3$,解得 $m=2$(不合题意).又$\because m+1+3=m+4≠ m-2$,$m-2+3=m+1$ 恒成立,$\therefore$ 当 $m≥4$ 时,$△ ABC$是“等距三角形”.当 $m=8$ 时,点 $A$,$B$,$C$ 在同一直线上,无法构成三角形,$\therefore m≠8$.综上所述,当 $△ ABC$ 是“等距三角形”时,$m$ 的取值范围是 $m≥4$ 且 $m≠8$.