1. (2024·绥化中考) 如图, 已知 $A_1(1,-\sqrt{3})$, $A_2(3,-\sqrt{3}),A_3(4,0),A_4(6,0),A_5(7,\sqrt{3})$, $A_6(9,\sqrt{3}),A_7(10,0),A_8(11,-\sqrt{3}),···$, 依此规律, 则点 $A_{2\ 024}$ 的坐标为.

1. $(2\ 891,-\sqrt{3})$ 解析: $\because A_1(1,-\sqrt{3}),A_2(3,-\sqrt{3}),A_3(4,0),A_4(6,0),A_5(7,\sqrt{3}),A_6(9,\sqrt{3}),A_7(10,0),A_8(11,-\sqrt{3}),···,\therefore$ 可知7个点坐标的纵坐标为一个循环,$A_{7n}$的坐标为$(10n,0),A_{7n+1}(10n+1,-\sqrt{3}).\because 2\ 024÷7=289······1,\therefore A_{2\ 023}$的坐标为$(2\ 890,0),\therefore A_{2\ 024}$的坐标为$(2\ 891,-\sqrt{3}).$

2. (2026·蚌埠期中) 如图,点$A(-1,0)$第一次向上平移1个单位长度至点$A_1(-1,1)$,第二次向右平移1个单位长度至点$A_2(0,1)$,第三次向上平移1个单位长度至点$A_3(0,2)$,第四次向右平移1个单位长度至点$A_4(1,2),···$,照此规律平移下去,点$A_{2026}$的坐标是.

2. $(1\ 012,1\ 013)$ 解析:第一次向上平移1个单位长度至点$A_1(-1,1)$,第二次向右平移1个单位长度至点$A_2(0,1)$,第三次向上平移1个单位长度至点$A_3(0,2)$,第四次向右平移1个单位长度至点$A_4(1,2),···$,可以发现平移规律:奇数次平移是向上平移1个单位长度,偶数次平移是向右平移1个单位长度.$A_{2\ 026}$是经过2 026次平移得到的,从点$A(-1,0)$开始,经过2 026次平移,横坐标的变化是向右平移了$2\ 026÷2=1\ 013$(个)单位长度,所以$A_{2\ 026}$的横坐标为$-1+1\ 013=1\ 012$;纵坐标的变化是向上平移了$2\ 026÷2=1\ 013$(个)单位长度,所以$A_{2\ 026}$的纵坐标为$0+1\ 013=1\ 013,\therefore A_{2\ 026}(1\ 012,1\ 013).$

3. (潍坊中考改编)在平面直角坐标系中,点$A_1$从原点出发,沿如图所示的方向运动,到达位置的坐标依次为$A_2(1,0),A_3(1,1),A_4(-1,1)$,$A_5(-1,-1),A_6(2,-1),A_7(2,2),···.$若到达终点$A_n(507,-506)$,则$n$的值为.

3. 2 026 解析: $\because(507,-506)$是第四象限的点,$\therefore A_n(507,-506)$落在第四象限.由题得在第四象限的点为$A_6(2,-1),A_{10}(3,-2),A_{14}(4,-3),···,A_n(507,-506).\because6=4×|-1|+2,10=4×|-2|+2,14=4×|-3|+2,18=4×|-4|+2,···,\therefore n=4×|-506|+2=2\ 026.$

4. (毕节中考)如图,在平面直角坐标系中,把一个点从原点开始向上平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到点$A_{1}(1,1)$;把点$A_{1}$向上平移2个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点$A_{2}(-1,3)$;把点$A_{2}$向下平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到点$A_{3}(-4,0)$;把点$A_{3}$向下平移4个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到点$A_{4}(0,-4)······$按此做法进行下去,则点$A_{10}$的坐标为.

4. $(-1,11)$ 解析:可以看作每四次坐标变换为一个循环,每一个循环里面第四个点的横坐标不发生变化,纵坐标每次向下平移4个单位长度,$\therefore$点$A_8$的坐标为$(0,-8),\therefore$点$A_8$到$A_9$的平移方式与$O$到$A_1$的平移方式相同(只指平移方向),即$A_8$向右平移9个单位长度,向上平移9个单位长度到$A_9,\therefore A_9$的坐标为$(9,1)$,同理$A_9$到$A_{10}$的平移方式与$A_1$到$A_2$的平移方式相同(只指平移方向),即$A_9$向上平移10个单位长度,向左平移10个单位长度到$A_{10},\therefore A_{10}$的坐标为$(-1,11).$

5. (朝阳中考) 如图,动点$P$从坐标原点$(0,0)$出发,以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动,第1秒运动到点$(1,0)$,第2秒运动到点$(1,1)$,第3秒运动到点$(0,1)$,第4秒运动到点$(0,2),···$,则第2068秒点$P$所在位置的坐标是.

5. $(45,43)$ 解析:由题意分析可得,动点$P$第$(2×4)$秒运动到$(2,0)$,动点$P$第$(4×6)$秒运动到$(4,0)$,动点$P$第$(6×8)$秒运动到$(6,0),···$,以此类推,动点$P$第$2n×(2n+2)$秒运动到$(2n,0),\therefore$动点$P$第$44×46=2\ 024$(秒)运动到$(44,0)$.$2\ 068-2\ 024=44,\therefore$按照运动路线,点$P$到达$(44,0)$后,先向右移动一个单位长度,然后向上移动43个单位长度,$\therefore$第2 068秒点$P$所在位置的坐标是$(45,43).$

6. 如图, 在平面直角坐标系中, 对$△ ABC$进行循环往复的轴对称变换, 若原来点$A$的坐标是$(a,b)$, 经过第 1 次变换后所得的点$A_1$的坐标是($a$,$-b$), 则经过第 2 026 次变换后所得的点$A_{2\ 026}$的坐标是.

6. $(-a,-b)$ 解析:点$A$第一次关于$x$轴对称后在第四象限,点$A$第二次关于$y$轴对称后在第三象限,点$A$第三次关于$x$轴对称后在第二象限,点$A$第四次关于$y$轴对称后在第一象限,即点$A$回到原始位置,所以,每四次对称为一个循环组依次循环.$\because2\ 026÷4=506······2,\therefore$经过第2 026次变换后所得的$A$点与第2次变换后的位置相同,在第三象限,故点$A_{2\ 026}$的坐标为$(-a,-b).$