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8. 小明到某文具店购买若干笔记本和中性笔共花费198元,已知笔记本每本5元,中性笔每支3元,
设购买笔记本x本,购买中性笔y支,x,y均为正整数,则满足条件的购买方案有(
A.10种
B.11种
C.12种
D.13种
设购买笔记本x本,购买中性笔y支,x,y均为正整数,则满足条件的购买方案有(
D
).A.10种
B.11种
C.12种
D.13种
答案
8. D 【点拨】本题考查二元一次方程的应用,解题的关键是正确理解题意.
【解析】根据题意得,5x + 3y = 198,即 $y = 66 - \frac{5}{3}x$.
∵ x,y均为正整数,
∴ 当x=3时,y=61;当x=6时,y=56;当x=9时,y=51;当x=12时,y=46;当x=15时,y=41;当x=18时,y=36;当x=21时,y=31;当x=24时,y=26;当x=27时,y=21;当x=30时,y=16;当x=33时,y=11;当x=36时,y=6;当x=39时,y=1,故满足条件的购买方案有13种. 故选D.
【解析】根据题意得,5x + 3y = 198,即 $y = 66 - \frac{5}{3}x$.
∵ x,y均为正整数,
∴ 当x=3时,y=61;当x=6时,y=56;当x=9时,y=51;当x=12时,y=46;当x=15时,y=41;当x=18时,y=36;当x=21时,y=31;当x=24时,y=26;当x=27时,y=21;当x=30时,y=16;当x=33时,y=11;当x=36时,y=6;当x=39时,y=1,故满足条件的购买方案有13种. 故选D.
9. 若关于$ x $的不等式组$\begin{cases}2x + 3 ＞ 12, \\x - a ≤ 0\end{cases}$恰有3个整数解,则实数$ a $的取值范围是( ).
A.$ 7 ＜ a ＜ 8 $
B.$ 7 ＜ a ≤ 8 $
C.$ 7 ≤ a ≤ 8 $
D.$ 7 ≤ a ＜ 8 $
A.$ 7 ＜ a ＜ 8 $
B.$ 7 ＜ a ≤ 8 $
C.$ 7 ≤ a ≤ 8 $
D.$ 7 ≤ a ＜ 8 $
答案
9. D 【点拨】本题考查一元一次不等式组和不等式组的整数解,解题的关键是能根据不等式组的解集和不等式组的整数解得出a的取值范围.
【解析】解不等式2x + 3 ＞ 12,得 $x ＞ \frac{9}{2}$;解不等式x - a ≤ 0,得x ≤ a.
∵ 不等式组有3个整数解,
∴ 在不等式组的解集 $\frac{9}{2} ＜ x ≤ a$ 中,整数解为5,6,7,
∴ a的取值范围为7 ≤ a ＜ 8. 故选D.
【解析】解不等式2x + 3 ＞ 12,得 $x ＞ \frac{9}{2}$;解不等式x - a ≤ 0,得x ≤ a.
∵ 不等式组有3个整数解,
∴ 在不等式组的解集 $\frac{9}{2} ＜ x ≤ a$ 中,整数解为5,6,7,
∴ a的取值范围为7 ≤ a ＜ 8. 故选D.
10. 已知实数$a(a≥0)$，$b$满足$\dfrac{a - 2}{3} = \dfrac{1 - b}{2}$。若$m = a + 3b$，则$m$的最大值为（
A.9
B.7
C.5
D.3.5
B
）。A.9
B.7
C.5
D.3.5
答案
10. B 【点拨】本题考查解一元一次方程,解题的关键是把b当作一个已知数求解,用a表示b.
【解析】
∵ $\frac{a - 2}{3} = \frac{1 - b}{2}$,
∴ 2(a - 2) = 3(1 - b),
∴ 3b = 7 - 2a,
∴ m = a + 3b = a + 7 - 2a = 7 - a.
∵ a ≥ 0,
∴ 当a = 0时,m有最大值,最大值为7. 故选B.
【解析】
∵ $\frac{a - 2}{3} = \frac{1 - b}{2}$,
∴ 2(a - 2) = 3(1 - b),
∴ 3b = 7 - 2a,
∴ m = a + 3b = a + 7 - 2a = 7 - a.
∵ a ≥ 0,
∴ 当a = 0时,m有最大值,最大值为7. 故选B.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 计算$\sqrt{16}$的结果是
12. 若线段$AB// x$轴且$AB=3$,点$A(-2,1)$,则点$B$的坐标为
13. 若$x ＜ a$的解集中的最大整数解为2,则$a$的取值范围是
11. 计算$\sqrt{16}$的结果是
4
.12. 若线段$AB// x$轴且$AB=3$,点$A(-2,1)$,则点$B$的坐标为
(-5,1)或(1,1)
.13. 若$x ＜ a$的解集中的最大整数解为2,则$a$的取值范围是
2 ＜ a ≤ 3
.答案
11. 4 【点拨】本题考查算术平方根的计算.
【解析】
∵ $\sqrt{16} = 4$. 故答案为4.
12. (-5,1)或(1,1) 【点拨】本题考查平面直角坐标系中平行特征和平移时坐标变化规律,分类讨论思想,解题的关键是熟知相关知识点进行分类讨论.
【解析】
∵ AB // x轴,点A的坐标为(-2,1),
∴ A,B两点纵坐标都是1. 又
∵ AB = 3,
∴ 当点B在点A左边时,点B的坐标为(-5,1),当点B在点A右边时,点B的坐标为(1,1). 故答案为(-5,1)或(1,1).
13. 2 ＜ a ≤ 3 【点拨】本题考查一元一次不等式的整数解,解题的关键是熟知解一元一次不等式的方法.
【解析】
∵ x ＜ a的解集中的最大整数解为2,
∴ 2 ＜ a ≤ 3. 故答案为2 ＜ a ≤ 3.
【解析】
∵ $\sqrt{16} = 4$. 故答案为4.
12. (-5,1)或(1,1) 【点拨】本题考查平面直角坐标系中平行特征和平移时坐标变化规律,分类讨论思想,解题的关键是熟知相关知识点进行分类讨论.
【解析】
∵ AB // x轴,点A的坐标为(-2,1),
∴ A,B两点纵坐标都是1. 又
∵ AB = 3,
∴ 当点B在点A左边时,点B的坐标为(-5,1),当点B在点A右边时,点B的坐标为(1,1). 故答案为(-5,1)或(1,1).
13. 2 ＜ a ≤ 3 【点拨】本题考查一元一次不等式的整数解,解题的关键是熟知解一元一次不等式的方法.
【解析】
∵ x ＜ a的解集中的最大整数解为2,
∴ 2 ＜ a ≤ 3. 故答案为2 ＜ a ≤ 3.
14. 如图,一束光线与水平地面成$64°$角照射到地面,现在地面$AB$上斜放一平面镜$CD$,使这束光线经过平面镜反射后成水平光线,则平面镜$CD$与地面$AB$所成夹角$∠ DCB$的度数为________.
答案
14. 32° 【点拨】本题考查平行线的性质,解题的关键是熟练掌握"两直线平行,内错角相等".
【解析】如图,由题意可知OE // AB,
∴ ∠EOF = ∠OFB = 64°,∠2 = ∠4,
∵ ∠1 = ∠2,∠1 = ∠3,
∴ ∠2 = ∠3 = ∠4 = 64° ÷ 2 = 32°,
∴ ∠DCB = 32°. 故答案为32°.
15. 如图,已知$AB// CD$,$E$,$F$分别在直线$AB$,$CD$上,$P$是直线$AB$,$CD$外一点,$EH$平分$∠ PEB$,$FG$平分$∠ PFC$,$EH$的反向延长线交$FG$于点$G$,若$∠ EGF = α$,则$∠ EPF = \underline{\hspace{3em}}$. (用含$α$的式子表示)
答案
15. 2α - 180° 【点拨】本题考查平行线的性质,解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质,角平分线的定义,平行线的性质.
【解析】如题图,延长HG交CD于点M,设PF交AB于点N.
∵ EH平分∠BEP,FG平分∠PFC,
∴ ∠BEP = 2∠BEH,∠CFP = 2∠MFG.
∵ AB // CD,
∴ ∠BEH = ∠FMH,∠PNA = ∠CFP,
∴ ∠BEP = 2∠FMH,∠PNA = 2∠MFG.
∵ ∠EGF = ∠FMH + ∠MFG,
∴ ∠FMH = ∠EGF - ∠MFG = α - ∠MFG,
∴ ∠BEP = 2∠FMH = 2(α - ∠MFG) = 2α - 2∠MFG = 2α - ∠ANP.
∵ ∠BEP = ∠EPF + ∠PNE = ∠EPF + 180° - ∠PNA,
∴ 2α - ∠ANP = ∠EPF + 180° - ∠PNA,
∴ ∠EPF = 2α - 180°. 故答案为2α - 180°.
【解析】如题图,延长HG交CD于点M,设PF交AB于点N.
∵ EH平分∠BEP,FG平分∠PFC,
∴ ∠BEP = 2∠BEH,∠CFP = 2∠MFG.
∵ AB // CD,
∴ ∠BEH = ∠FMH,∠PNA = ∠CFP,
∴ ∠BEP = 2∠FMH,∠PNA = 2∠MFG.
∵ ∠EGF = ∠FMH + ∠MFG,
∴ ∠FMH = ∠EGF - ∠MFG = α - ∠MFG,
∴ ∠BEP = 2∠FMH = 2(α - ∠MFG) = 2α - 2∠MFG = 2α - ∠ANP.
∵ ∠BEP = ∠EPF + ∠PNE = ∠EPF + 180° - ∠PNA,
∴ 2α - ∠ANP = ∠EPF + 180° - ∠PNA,
∴ ∠EPF = 2α - 180°. 故答案为2α - 180°.
16. 对于正实数 $ x $ 四舍五入到个位后得到的整数记为$[x]$，即当 $ n $ 为非负整数时，若 $ n - \frac{1}{2} ≤ x ＜ n + \frac{1}{2} $，则$[x] = n$，如：$[1.414] = 1$，$[2.6] = 3$。
(1)若$[x + 3] = 2$，则 $ x $ 的取值范围为________；(2)若$[x] = \frac{x}{2} + 1$，则$[x]$的值为________。
·92·
(1)若$[x + 3] = 2$，则 $ x $ 的取值范围为________；(2)若$[x] = \frac{x}{2} + 1$，则$[x]$的值为________。
·92·
答案
16. (1) $-1.5 ≤ x ＜ -0.5$ (2) 2 【点拨】本题考查取整函数,解一元一次不等式组,解题的关键是明确题意,列出相应的不等式组,求出相应的数值.
【解析】(1)
∵ [x + 3] = 2,
∴ 1.5 ≤ x + 3 ＜ 2.5,解得-1.5 ≤ x ＜ -0.5.
(2)设 $\frac{x}{2} + 1 = m$,则x = 2m - 2,
∴ [2m - 2] = m,
∴ $m - \frac{1}{2} ≤ 2m - 2 ＜ m + \frac{1}{2}$,解得 $\frac{3}{2} ≤ m ＜ \frac{5}{2}$.
∵ m为非负整数,
∴ 当m = 2时,x = 2. 由以上可得,[x]的值是2. 故答案为(1) $-1.5 ≤ x ＜ -0.5$,(2)2.
【解析】(1)
∵ [x + 3] = 2,
∴ 1.5 ≤ x + 3 ＜ 2.5,解得-1.5 ≤ x ＜ -0.5.
(2)设 $\frac{x}{2} + 1 = m$,则x = 2m - 2,
∴ [2m - 2] = m,
∴ $m - \frac{1}{2} ≤ 2m - 2 ＜ m + \frac{1}{2}$,解得 $\frac{3}{2} ≤ m ＜ \frac{5}{2}$.
∵ m为非负整数,
∴ 当m = 2时,x = 2. 由以上可得,[x]的值是2. 故答案为(1) $-1.5 ≤ x ＜ -0.5$,(2)2.
